循环矩阵的探讨

四川师范大学本科毕业论文

循环矩阵的探讨

学生姓名王云肖

院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2011级 3 班

学号 2011060344

指导教师柏明强

完成时间 2015年5月5日

循环矩阵的探讨

数学与应用数学专业

学生姓名：王云肖指导教师：柏明强

摘要: 本文主要介绍了一类特殊的矩阵--循环矩阵.介绍了循环矩阵的概念,代数运算性质,特征值和特征向量的概念以及求法,对角化问题.

关键词: 循环矩阵;特征值;特征向量;对角化.

The discussion of cyclic matrix

Specialization: Mathematics and Applied Mathematics

Undergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai Mingqiang Abstract ：This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof diagonalization of cyclic matrix.

Key words:cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable.

摘要:..................................................................................................... I

1.循环矩阵的产生背景 (1)

2.循环矩阵的代数性质 (1)

2.1循环矩阵的概念 (1)

2.2循环矩阵的运算性质 (2)

3.循环矩阵的特征值与特征向量 (5)

3.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质 (5)

3.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法 (6)

3.2.1 基本计算法 (6)

3.2.2 特殊法 (6)

4.循环矩阵对角化 (7)

4.1循环矩阵可角化的概念以及性质 (7)

4.2对角化的应用 (8)

5.结束语 (9)

参考文献： (9)

1.循环矩阵的产生背景[]10

循环矩阵的概念是T Muir在1885年最先提出的, 一直到1950到1955年, Good等才对其逆, 行列式和特征值进行研究.

循环矩阵是一种很重要的矩阵,在很多领域中都有广泛的应用.如在数理统计,编码理论,理论物理,固态物理,数学图象处理,分子轨道理论等方面应用很广.循环矩阵逆特征值问题,在力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域中也是有很广泛的应用的.因为循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一种特殊矩阵,具有很好的性质和结构,所以对于循环矩阵的研究非常活跃.

和一般矩阵相比,循环矩阵具有和其相似的性质,比如秩, 特征值, 特征向量等都是一般矩阵性质的重要部分.对于循环矩阵的研究愈加深入同时也加深了对一般矩阵的认识,同时对于一般矩阵的性质探索也有一定帮助.

从1950年提出了循环矩阵的概念以来,尤其是近年来,循环矩阵类已然成为了矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃的和重要的研究方向,许多数学工作者对它进行了大量探索,并且得出很多成果.各种新的循环矩阵概念被提出,已有十几种.如向后循环矩阵,循环布尔矩阵, r-循环矩阵,g-循环矩阵,块循环矩阵等.

迄今为止,有关循环矩阵的理论知识还不是很完善,但是在实际生活中循环矩阵的应用还是很广泛的,因此数学工作者对循环矩阵的探索仍在进行着.其中对于它的逆矩阵求法是许多国家数的学工作者研究的一个重要方向.但是对于循环矩阵的代数性质,特征值,特征向量以及对角化问题研究的还不是很多,而对于这类特殊的矩阵——循环矩阵来说这是基本的.

2.循环矩阵的代数性质

2.1循环矩阵的概念

定义1]1[具有如下形式的n阶方阵的C称为一个n阶循环矩阵, 又称轮换矩阵,

01221

10132

21043

23401

12310

-----

----

?? ? ? ? ? ? ?

? ???

n n n n n

n n n n

a a a a a

显然, C由其首行元素唯一确定, 简记为C=circ(a0,a1,…,a n-1).

特别地, n阶循环矩阵K= circ(0,1,0,…,0)=

,称为单位循环矩阵或循环置

换矩阵或移位矩阵.

性质1 C =a 0K 0+ a 1K +a 22K +…+a n -11-n K . 性质2[1] 设f (x )= a 0+a 1x +…+a n -1x n -1, 则C =f (K ).

2.2循环矩阵的运算性质

性质3 设A , B 是两个n 阶循环矩阵, 则A +B 是循环矩阵. 证明设循环矩阵A , B 为

A =01221101322104

32340

310----------?? ? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a , B =0

2211

01322104

32340

310----------??

? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b , 则A +B =00

11222211110011332222

110044

3322334400

1111

3311

00--------------------+++++??

+++++ ? ?

+++++

+++++ ?

?+++++??

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = circ(a 0+b 0,a 1+b 1,…,a n -1+b n -1), 根据定义, 则A +B 也为循环矩阵.

性质4 设A , B 是两个n 阶循环矩阵, 则AB 是循环矩阵, 且AB =BA . 证明设1

(), (),--======∑∑n n i

j i j i j A f K a K B g K b K 则

()()

, ---=====∑∑∑n n n i

i j s i j s AB a K b K

c K 其中+==∑s i

i j s

c a b

因为+=n t t K K ，其中t 为非负整数, 所以

(),--+===

=+∑∑n n s i s

n i

s i AB c K c c

K 其中c 2n -1=0.

所以AB =circ(c 0+c n , c 1+c n +1,…, c n -2+c 2n -2, c n -1)是循环矩阵.

又因为f (x )g (x ) = g (x ) f (x ), 则AB =()()()()==f K g K g K f K BA .

性质5 设A 是一个n 阶循环矩阵, a 是数域P 中的一个数, 则aA 是循环矩阵.

证明设循环矩阵A =01221101322

104

32340

0----------??

? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a , 则 B =aA =0122

1101322

10432340

0n n n n n n n n n n aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa ----------??

? ? ?

? ???

= circ(aa 0,aa 1,…,aa n -1),

故aA 为循环矩阵, 得证.

性质6 设A 是一个n 阶循环矩阵, 则A 的转置矩阵A T 是循环矩阵.

证明设有一个循环矩阵A =01221101322

104

32340

112

0----------??

? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a , 则循环矩阵A 的转置为A T

=012211013221043234

0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------??

? ? ?

? ???

= circ(a 0,a n -1,…,a 1), 从而结论成立. 性质7 设A 是一个n 级可逆循环矩阵, 则A 的逆矩阵A -1是循环矩阵.

证明：根据性质4，两个循环矩阵A , B 的乘积是循环矩阵, 因而只要找到循环矩阵B , 使得AB =E n , 问题即可解决.

设1

, ,n n i

j i j i j A a K B b K --====∑∑ (0b ,1b ,2b ,…,1-n b 为待定常数), 则

01122211

circ ,()(,,),n i n n i n i i n n n c c c c c c c AB c c K +--=--+++?+=+=∑,

其中+==

∑s i

i j s

c a b

, s=0,1,…,2n -1.

要使得AB =E , 其必要条件是使得下列方程组成立：

0011221110011221

10213201...1...0 0

n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------++++=??++++=??

?++++=?, 方程组可以改写为

012210101321210432234

121

0110000n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b ------------?????? ??? ? ??? ? ??? ?= ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ? ?????

???? , 显然，上述方程组的系数矩阵为循环矩阵A 的转置矩阵, 是可逆的, 因而根据Cramer 法则，该方程组存在唯一的一组解(0b ,1b ,2b , …,1-n b ), 从而B 是唯一确定的, 即是A 的逆矩阵, 因此A 的逆矩阵是循环矩阵.

推论1 设A 为n 阶可逆循环矩阵, 则循环矩阵A 的伴随矩阵A *也是循环的. 性质8]8[ 设A 是一个n 级可逆循环矩阵, 则A 的Moore-Penrose 逆A +也为循环矩阵.

性质9 设A , B 是两个n 阶循环矩阵, 则A 与B 的Hadamard 积A ?B 是循环矩阵. 即是, 设A= circ(a 0,a 1,…,a n -1), B= circ(b 0,b 1,…,b n -1), 则

A ?

B = circ(a 0b 0,a 1b 1,…,a n -1b n -1)

是循环矩阵.

性质10 设A , B 是两个n 阶循环矩阵, 则A 与B 的Fan 积A ★B 是循环矩阵. 证明设

A =01221101322104

32340

0----------?? ? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a , B =0

2211

01322104

32340

0----------??

? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b , 则

A ★

B =0011

222211110011332222

1100

3322334400

111122

3311

00n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b ------------------------??

---- ? ?

----

? ?

---- ? ?----?

=circ(a 0b 0,-a 1b 1,…, -a n -1b n -1)

是循环矩阵.

3.循环矩阵的特征值与特征向量

3.1循环矩阵特征值与特征向量的概念以及性质

定义2[]15 设A 是数域P 上的n 阶循环矩阵,则称关于λ的多项式|λE -A |为A 的特征多项式, 其在复数域C 上的根为循环矩阵A 的特征值.

若λ是n 阶循环矩阵A 的特征值, 那么齐次线性方程组(λE -A )X =0的非零解则称为循环矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.

设?是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一数λ0，存在一个非零向量ξ, 使得?ξ=λ0ξ, 那么λ0 成为?的一个特征值, 而ξ称为?的属于特征值λ0的一个特征向量.

性质11 设λ是循环矩阵A 的特征值, 且循环矩阵A 是可逆的, 则λ-1是A -1的特征值.

证明设λ1,λ2,…,λn 为循环矩阵A 的特征值, 则|A |=λ1λ2…λn ≠0, 所以λi ≠0(i =1, 2, …, n ). 设属于循环矩阵A 的特征值i λ的特征向量为ξ, 则A ξ=i λξ, 那么

1A λξξ-=, 则1-A ξ=1-λξ, 因为循环矩阵A 的特征值最多只有n 个, 所以1-λ是

1-A 的特征值.

性质12 若λ是n 阶循环矩阵A 的特征值, f (x )是数域P 上的任意一个多项式, 那么f (λ)是f (A )的特征值.

证明设ξ是循环矩阵A 的特征向量, 0()m

i i i f x a x ==∑, 那么A ξ=λξ, 进而A i ξ=λi ξ

所以0

()()()()m m m m

i i i i i i i i i f A a A a A a a f ξξξλξλξλξ=========∑∑∑∑,

因此f (λ)也是f (A )的特征值.

性质13 设n 阶循环矩阵A 每一行元素之和为a , 那么a 必是A 的特征值.

证明设循环矩阵A =01221101322

104

32340

112

0----------??

? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a , 则由题设条件可知：

122

1101322

4323401

10----------?? ? ? ?

? ? ? ? ???

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a ????????? ??11111 =????????

? ??a a a a a =a ,11111???

????

所以a 是循环矩阵A 的特征值.

3.2循环矩阵特征值与特征向量的一般求法

3.2.1 基本计算法

基本步骤：

1) 求出循环矩阵A 的特征多项式()A f E A λλ=-; 2) 求出A E -λ=0的所有根;

3) 解齐次线性方程组()A E i -λX =0, 其基础解系就是循环矩阵A 的特征根i

λ线性无关的特征向量.

3.2.2 特殊法

第一步：对于单位循环矩阵K =circ(0,1,0,…,0), 其特征方程为λn -1,其特征值为1,w ,w 2,…, w n -1(其中22cos

sin w i n n

ππ=+), 第二步：由于循环矩阵A= circ(a 0,a 1,…,a n -1)=f (K ), 根据性质12, 则矩阵A 的

特征值为

1, f (w ), f (w 2),…, f (w n -1). 第三步：设r k =w k (k=0,1,2,…,n -1), 则属于A 的特征值k λ=f (w k )的特征向量为 (

n k

k k w w w 12

,,,,1- .

4.循环矩阵对角化

4.1循环矩阵可角化的概念以及性质

定义3 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT 为对角阵，则

称A 可以对角化.

引理任意n 阶循环矩阵A 在复数域C 上都是可对角化的. 证明取n 阶可逆矩阵

???????

------)1)(1()

1(21)1(242121111

1111n n n n n n w w w w w w w w w n T

其中)1(2-==-i e

w n

i π且121(1,,,,)n T KT diag w w w --= .

根据 A 为n 阶循环矩阵, 可设A =

n i

i i a K

-=∑, 从而

111

2(1)0

1111

2(1)0

21(1,,,,)

(,,,,)

((1),(),(),...,()).

n n i

i i n i i i i i n n n n i

n i i i i i i i i i n T AT a T K T a diag w w w diag a a w a w a w diag f f w f w f w -----==-----====-====∑∑∑∑∑∑

推论2 任意循环矩阵A 可以表示成n 个循环矩阵A i (i =1, 2, ..., n ).

证明由引理,则1011(,,...,)n T AT diag λλλ--=,那么 1

011(,,...,)n

A T d i a g T λλλ--==1110111221n nn T E T T E T T E T λλλ----+++

=n A A A +++...21.

其中E ij 是第i 行第j 列位置元素为1, 其余为0的n 级矩阵.

性质14 设A 是数域P 上的一个n 阶循环矩阵, t λλλ,...,,21是循环矩阵A 的不同的特征根, 那么存在n 阶循环矩阵t A A A ,...,,21, 使得

(1) A =t t A A A λλλ+++...2211；

(2) t A A A +++...21 =E , E 为单位矩阵；

(3) i i A A =2

证明：(1) 因为循环矩阵A 是可对角化的, 那么就存在数域P 上的一个n 阶可逆

矩阵D , 使得D 1

-AD =12

120

...

00...0 (00)

...t r r

t r E E E λλλ?? ?

? ?

=C , 其中i λ的重数是i r (i=1,2,…,t ), 因为

C =1λ1

00r E ??

? ? ? ??

? +220000t r t r E E λλ????

? ?++ ? ?

? ? ? ????

? 1122...t t B B B λλλ?

=+++,

所以

111122 (...)t t A DBD D B B B D λλλ--==+++ =1λ11()DB D -+…+t λ1()t DB D -, 令1-=D DB A i i , 则A=t t A A A λλλ+++...2211. 由推论2以及性质3和性质5可知i A 为循环矩阵.

(2) 因为i B =diag(0,..,0,i r E ,0,…,0) (i=1,2,…,t ), 所以1B +2B +…+t B =E , 进而

1A +2A +…+t A =11111212()t t DB D DB D DB D D B B B D ----+++=+++ =E , 所以1A +2A +…+t A =E .

(3) i A =1-D DB i , 那么21121()()i i i i i A DB D DB D DB D A ---===.

4.2对角化的应用

例4]7[ 将循环矩阵A 对角化, 其中A =1234412334122341??

解令 f (x ) = 1+2x + 3x 2 + 4x 3, A=f A (K ), 其中K =??

??000110000100

0010, 由于i =η, 所以其特征值为：

f A (1)=10, f A (η)=-2-2i, f A (η2) =-2, f A (η3)=-2+2i,

T =1/2??????? ??------i i i i 111111111111, T 1-=1/2????

??------i i i i 111

111111111, 可验证：TAT -1=diag(10, -2-2i, -2, -2+2i).

5.结束语

迄今为止, 对循环矩阵的认识还处在初级阶段.需要更加深入地探索学习.其应用是一个很重要的研究方向,并且随着研究的深入, 循环矩阵的应用越来越广泛.

参考文献：

[1] 徐仲. 矩阵类的快速算法[M]. 西安：西北工业大学出版, 2001. [2] 王萼芳. 高等代数教程[M]. 北京：清华大学出版社,1996.

[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社, 1999. [4] 威尔全集. 代数特征值问题[M]. 北京：科学出版社, 2001.

[5] 张贤科, 许莆华. 高等代数学[M]. 北京：清华大学出版社,1998. [6] 刘生. 矩阵对角化与循环矩阵[J]. 九江职业技术学院学报, 2006.

[7] 张爱萍. 循环矩阵的性质及其对角化[J]. 广西师院学报, 2000,17(4):10-13. [8] 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M]. 北京：清华大学出版社, 2001. [9] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社,2003.

[10]张盛虞. 关于循环矩阵的一些性质[J]. 黔东南民族师范高等专科学校学报,

2006,6(24):4-6.

[11]郭训香, 吴冬香. 循环矩阵的一些性质[J]. 赣南师范学院学报, 2007, 6:8-9. [12]张禾瑞, 赤炳新. 高等代数[M]. 北京:高等教育出版社,1993.

[13]赵立宽, 岳晓鹏. 关于循环矩阵的几个性质的推广[J]. 曲阜师范大学学报,

2006,32(2):52-56.

[14]张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京：清华大学出版社, 2004.

[15]许甫华, 张贤科. 高等代数解题方法 [M]. 北京：清华大学出版社,2001.

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利

1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ，其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数，定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵，定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs

循环矩阵在密码学中的应用

题目循环矩阵在密码学中的应用学生姓名韩媛媛学号 1109014156 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学1102 指导教师潘平 2015 年 5 月 10 日

循环矩阵在密码学中的应用韩媛媛（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班级，陕西汉中 723000）指导教师：潘平 [摘要]矩阵是线性代数的重要构成部分，而循环矩阵就是一类有特殊结构的矩阵，在许多实际问题中有广泛的应用，有关循环矩阵的问题仍是矩阵论研究中的热点。在当今社会，随着科学技术水平的迅速发展，我们需要更深入的研究数学工具在现实中的实际应用。密码学是研究编译密码和破解密码的尖端技术科学，与数学、信息学、计算机科学有着广泛而密切的联系，由于循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一类特殊矩阵，具有良好的性质和结构，因而关于循环矩阵的研究非常活跃，本文中简单介绍了ElGamal 密码体制，以及循环矩阵在ElGamal 中加密解密过程的描述。利用循环矩阵在密码学中的研究，探索循环矩阵在几类典型密码中加密和破译的研究有着重要的现实意义。 [关键字]循环矩阵；密码学；有限域 1. 循环矩阵的概念定义 1.1 ] 1[设),(n n n n R C A ??∈如果矩阵A 的最小多项式等于特征多项式，则称A 为循环矩阵. 定义1.2 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，若存在向量V ∈α，使得,α αα1A ,,A -n 线性无关.则称α为A 的一个循环向量. 定义1.3 已知n 阶基本循环矩阵 ? ????????? ????? ???? ?=00 110000000001000010 D ，并令 ),,2,1(n i D I i i ==，称121,,,-n I I I I 为循环矩阵基本列（其中n n I D I ==为单位矩阵）. 2. 循环矩阵的性质 2.1 循环矩阵基本性质性质2.1.1 ]3[循环矩阵基本列121,,,-n I I I I 是线性无关的. 性质2.1.2 ] 3[任意的n 阶循环矩阵A 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即 11110--+++=n n I a I a I a A . 性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.

循环矩阵求特征值的方法

1、循环矩阵的定义定义1 数域P 上的n ×n 阶矩阵 ()==-110,,,n n c c c cric C ????? ?? ???? ?????------01 3211043223 10 1122 10c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c n n n n n n ，其中P c i ∈，称为n ×n 阶循环矩阵，或轮回矩阵。如果取下面的基本循环矩阵A=??? ? ??? ?????? ???000 011000000100 0001 ，则上面的n ×n 阶循环矩阵可改写为 1122110--++++=n n n A c A c A c I c C （1）正是由于此时的成立，才能使循环矩阵n C 得以顺利研究。定理1 数域P 上n ×n 阶矩阵n C =()ij c 为循环矩阵的充分必要条件为，当 k=???<+-≥-u v n u v u v u v ,,时，k uv c c =，其中u ，v ，k ，=0，1，2，…，n-1。 2、循环矩阵的性质由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。性质1 基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。证明： 2 A =??? ? ? ???????? ???000 01 10000001000001 0 ??? ? ??? ?????????000 01 10000001000001

=??? ? ????????? ???0001000001000000010 0 ， 3 A =????????????? ???000 1 000010000000100 =??? ? ??? ???? ?? ???001 00 00010000000000 ， … n A =??? ? ??? ?????? ???010 00 00000000011000 ，显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。性质2 任意n 阶循环矩阵n C 都可以用基本循环矩阵线性表示出，即 1 122110--++++=n n n A c A c A c I c C 。性质3 n 阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。定理2 数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为1A ，2A ，3A ，…，n A ，零向量为n 阶零方阵，负向量为-A 。证明：对于数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。证明：设B ，n C 都是循环矩阵，则有n C =∑=n i i i A c 1，∑==B n j j j A b 1 ，那么就有乘积 B n C =∑=n j j j A b 1 ∑=n i i i A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n k k k A I 1 其中k I = ∑=+=n n k j i j i j i b c mo d 1 ,，则B n C 为循环矩阵。

块循环矩阵和块k一循环矩阵的Moore

块循环矩阵和块k一循环矩阵的Moore-Penrose逆和带w权的Drazin 逆研究摘要矩阵理论是二十世纪随着工程科学进步而发展起来的一种数学方法，计算机的发明更加推动了计算数学的应用。如今，矩阵理论作为数学研究的一个基本工具被广泛应用。作为工程计算的产物，矩阵计算出现在很多领域。例如：矩阵的奇异值和谱理论出现在对物质光谱的分析；矩阵的扰动理论对大规模数据的误差分析。一般矩阵固有性质的研究对我们有深刻的指导意义，然而，特殊矩阵的研究也有着同等重要的地位。不仅如此，可以说这些特殊的矩阵是我们整个矩阵群的非常值得研究的那些元素，就像O和l之对应于自然数那样。本文主要是对循环矩阵、块循环矩阵及块后．循环矩阵这类特殊矩阵求逆的一些讨论。我们陈列循环矩阵的一些定理，其中特别提到了Fourier矩阵。这样做有两个目的：一方面，这些定理本身就有很重要的应用，我们特别从循环矩阵的可对角化的角度说明了这些矩阵的内在联系，从而求其逆，这种思想是全新的；另一方面，我们统一了研究矩阵的一个基础出发点，从这些理论的推导，我们想更多的看到块的情形。关于块循环矩阵，前人作了深入的研究，引入了块循环矩阵的概念，并且做了几乎完美的工作，也正是他们的工作激发了我的兴趣。本文分为四个部分：第一部分主要说明背景知识。第二部分介绍一般意义的循环矩阵及其重要性质。在将循环矩阵对角化的基础上，讨论了循环矩阵的Moore-Penrose逆，并举例加以说明，这种在将矩阵对角化再讨论其逆就显得非常简便，我们只需要通过其Moore-Penrose逆的要求，构造出Moore—Penrose逆的形式。第三部分将推广前人的一些工作，块循环矩阵的概念以及一些性质被系统叙述，从而在此基础上求其Moore-Penrose逆及带形权的Drazin逆。这里主要也是根据第二部分的思想，将块循环矩阵对角化，从而简化了我们的运算。 2 第四部分是对第三部分的推广，将块循环矩阵扩展到块七．循环矩阵，利用将块循环矩阵对角化，得出了块七．循环矩阵的对角化形式，从而求出了块尼．循环矩阵的Moore—Penrose逆及带形权的Drazin逆。关于块k．循环矩阵的Moore-Penrose逆在一些文献中有过说明，但都是在七的模为1的情形下进行讨论的，本文的该部分关于块七．循环矩阵的Moore-Penrose及带∥权的Drazin逆，对七∈C都是成立的，这也就推广了前人的结论。总的来说，本文都是确定了其对角化形式，通过运算给出了他们的Moore-Penrose 逆及带矽权的Drazin逆，并结合实例加以说明。关键词：循环矩阵；Fourier矩阵；块后一循环矩阵；Moore-Penrose逆；带形权的Drazin逆。第一章引言

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录 1引言 (2) 2矩阵分块的定义和性质 (2) 2.1 矩阵分块的定义 (2) 2.2 分块矩阵的运算 (2) 2.3 分块矩阵的初等变换 (3) 2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3) 3分块矩阵在高等代数中的应用 (4) 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4) 3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7) 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11) 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16) 4总结 (19) 参考文献 (20)

1 引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。

循环矩阵的性质及其应用

目录一. 相关概念...................................................................................................................... - 2 - 定义1.1............................................................................................................. - 2 -定义1.2............................................................................................................. - 2 -定义1.3............................................................................................................. - 3 -定义1.4............................................................................................................. - 3 - 二. 循环矩阵的性质...................................................................................................... - 3 - 2.1 循环矩阵基本性质.................................................................................... - 3 - 2.2 关于循环矩阵的判定相关性质................................................................ - 5 - 2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论............................................................ - 6 - 2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论.................................................... - 6 - 2.5 循环矩阵对角化相关性质........................................................................ - 7 - 2.6 等比数列构成的循环矩阵相关性质........................................................ - 9 - 2.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质...................................................... - 10 - 2.8 循环矩阵的奇异性.................................................................................. - 12 - 2.9 循环矩阵与向量空间相关性质.............................................................. - 12 - 三．广义循环矩阵 ......................................................................................................... - 13 - 定义3.1........................................................................................................... - 13 -定义3.2........................................................................................................... - 13 -推论3.1........................................................................................................... - 14 -推论3.2........................................................................................................... - 14 -推论3.3........................................................................................................... - 14 -推论3.4........................................................................................................... - 14 -定义3.2........................................................................................................... - 14 -定义3.3........................................................................................................... - 15 -定义3.4........................................................................................................... - 15 -定义3.5........................................................................................................... - 15 - 参考文献 .................................................................................................................... ….. - 15 -

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

关于循环矩阵的计算

引言循环矩阵的概念是T Muir于1885年首先提出来的，直到1950至1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究[1]．从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史．近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向[2-4]．它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因：一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域．另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等．本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究．

1、预备知识 1.1 循环矩阵的概念定义1.1 形如 012110122 1031 2 30n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为循环矩阵．定义1.2 形如 100001000011 000D ?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为基本循环矩阵．定义1.3 若12-1,,,n a a a 为复数域C 上的n 个数，n 阶矩阵()ij A a =满足： , ,1,2,,, j i ij n j i a j i a i j n a j i -+-≥?==?

循环矩阵

循环矩阵一．引言循环矩阵的概念是T Muir 于1885年首先提出来的，直到1950~1955年，Good 等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃的和重要的研究方向。它之所以引起数学工作者如此大的兴趣，主要基于两方面的原因：一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学。二是由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解，多目标决策，二次型化简及平面几何学等。1950年以来，循环矩阵被数学界高度重视，发展迅速，各种新的循环矩阵概念被相继提出，已有十几种。如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，y-（块）循环矩阵，r-循环矩阵，向后（对称）r-循环矩阵，块循环矩阵等。二．基本循环矩阵

1．定义 ??? ???? ? ????? ???=0001100001000010 B 称为n 阶基本循环矩阵。 2．性质 ??? ???? ? ????????=000100000101000001002 B ……， B n =E 。 3．特征多项式 1||-=-n B E λλ 特征根是全部的n 次单位根：12,,,,1-n εεε ，其中n i n π πε2sin 2cos +=，若记 k k εε=，则全部的n 次单位根可记作12,,,,1-n εεε 。由于B 的n 个特征值互不相同，所以B 可以对角化。令 ) ,,,,1() ,,,,1() 1,,1,1(1 12111121121-----===n n n n n n εεεαεεεαα 则 k k k B αεα=，k=1, 2, …, n. 令 ????? ?? ? ??? ?? ???=------1122112 12 2 211211111111n n n n n n T εεεεεεεεε ，则 ) ,,,1() ,,,,1() ,,,,1(111211112 12221211211----------===n n n n n n n diag T B T diag T B T diag BT T εεεεεεεεε

分块矩阵乘法的程序性能

实验四分块矩阵乘法的程序性能一、实验目的本次实验比较分块矩阵乘法与普通矩阵乘法的性能，并考察分块大小对分块矩阵乘法性能的影响。二、实验原理 1、矩阵相乘为简单起见，本次实验矩阵相乘中的矩阵都是方阵，行数和列数都为 n 。 2、程序性能本次实验中考察的程序性能指的是程序的CPU执行时间。在C语言程序中，可以考虑利用clock()函数来计算某段代码执行的CPU时间。注意，clock()的精度为1ms，对于比较小的矩阵相乘，可能精度不够。如果需要使用高精度的计时方法，可以考虑利用CPU内的实时时钟计数器（RTSC），或性能计数器（Performance Counter）。 3、分块矩阵乘法 1、普通矩阵乘法是采用三层循环完成，如下图所示。 2、分块的矩阵乘法为了利用局部性提高Cache（高速缓存）利用率，采用了如下所示代码。

请编写普通矩阵乘法和分块矩阵乘法的实验和测试代码，记录实验结果。另外，本次实验还需要研究不同分块大小对性能的影响，请编写相应的实验和测试代码，并记录实验结果。三、实验步骤 void mmm(double*a,double*b,double*c,int n) { int i,j,k; for(i=0;i

关于循环矩阵的讨论

关于循环矩阵的讨论学生姓名：赵志梅（0405班）指导教师：张东艳摘要：本文给出了一种特殊的矩阵——循环矩阵，主要利用多项式生成矩阵的思想，初步研究了循环矩阵的性质以及它在各个方面的应用．关键词：循环矩阵；行列式；逆矩阵；对角化

Discussion on Cyclical Matrix Student:Zhao Zhimei Instructor:Zhang Dongyan Abstract：This essay gives a special matrix which is called cyclical matrix ,and primarily studies the characters of cyclical matrix and its applications in different aspects according to the idea of forming matrix through multinomial． Key words：cyclical matrix；determint；inverse matrix；diagonalization

目录 1.预备知识 (1) 2.循环矩阵的性质 (1) 2.1 性质1 (1) 2.2 性质2 (1) 2.3 性质3 (2) 3.循环矩阵的应用 (3) 3.1 循环矩阵的行列式的计算 (4) 3.2 循环矩阵的逆矩阵 (6) 3.3 循环矩阵对角化 (8) 参考文献 (11) 致谢 (12)

1.预备知识定义1 复数域C 上的n 阶矩阵012110 1212 3 0n n n a a a a a a a a A a a a a ---?? ? ? = ? ??? 称为n 阶循环矩阵．定义 2 设1n -次多项式210121()n n f x a a x a x a x --=+++ +，A 为n 阶矩阵，则称 ()f A 为多项式()f x 关于矩阵A 的生成矩阵，()f x 为矩阵()f A 的1n -次生成多项式．命题令????? ?? ? ??=00001100000010000010 ξ易知011,, n ξξξ-,n ξ都是n 阶循环矩阵，ξ称为基本循环矩阵,且n I ξ=．I 是n 阶单位矩阵，并记I n ==0ξξ. 任意一个n 阶循环矩阵A 都可用011,, n ξξξ-线性表示；反之，如果A 可用011,,n ξξξ-线性表示，那么A 也一定是n 阶循环矩阵．事实上)(ξf A =,此处，1110)(--+++=n n x a x a a x f . 2.循环矩阵的性质 2.1 性质1 若A ，B 都是n 阶循环矩阵，那么AB 也是n 阶循环矩阵，且AB =BA ．证明设01011n n A a a a ξξξ--=+++;1110--+++=n n b b b B ξξ 又因为n k k ξ ξ+=（k 为非负整数）因而有BA h f g g f AB ====)()()()()(ξξξξξ 这里)(ξh 是一个不高于1n -次的多项式．得证． 2.2 性质2 若A 是n 阶循环矩阵，且A 可逆，那么A 的逆矩阵也是n 阶循环矩阵．证明由性质1，只要能找到n 阶循环矩阵1011n n B b b b ξξ--=+++（i b 为待定常数，1,2, ,1i n =-）使得AB I =即可，其中1110--+++=n n a a a A ξξ 为可逆循环矩阵． AB ))((11101110----++++++=n n n n b b b a a I a ξξξξ

分块矩阵乘法的例子

分块矩阵乘法的例子例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ，其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ；令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024.

循环矩阵的探讨

四川师范大学本科毕业论文循环矩阵的探讨学生姓名王云肖院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级 2011级 3 班学号 2011060344 指导教师柏明强完成时间 2015年5月5日

循环矩阵的探讨数学与应用数学专业学生姓名：王云肖指导教师：柏明强摘要: 本文主要介绍了一类特殊的矩阵--循环矩阵.介绍了循环矩阵的概念,代数运算性质,特征值和特征向量的概念以及求法,对角化问题. 关键词: 循环矩阵;特征值;特征向量;对角化. The discussion of cyclic matrix Specialization: Mathematics and Applied Mathematics Undergraduate: Wang Yunxiao Supervisor: Bai Mingqiang Abstract ：This article mainly introduces a special kind of matrix - cyclic matrix. It introduces the concept , the algebraic operation properties, the concept of eigenvalue and eigenvector and the calculation method ,the problemof diagonalization of cyclic matrix. Key words:cyclic matrix, eigenvalue, eigenvector, diagonalizable.

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健, 数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块. 分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

分块矩阵的方法,技巧与应用

分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。这就是矩阵的分块。设A 是一个m*n 矩阵 11 121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵 1112121 2121 2 s s r r rs A A A A A A A A A A ?????? =???? ?? 其中 ij A 表示一个矩阵。关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵 1. 导言在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。 2. 1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块

A B C D ?? ??? ，其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。例:在矩阵 2 1210000010012101 10 1E A A E ?? ? ?? ?== ? ?-?? ??? 中,2E 代表2级单位矩阵,而 11211A -??= ???,0000O ??= ??? 在矩阵 11 1221221032120124111 15 3B B B B B ?? ? -?? ?== ? ?-?? ?-?? 中, 111012B ?? = ?-?? ,123201B ??= ???, 211011B ??= ?--?? ,224120B ?? = ??? . 在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是 2 11 1211 12 12212211121 112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ??????== ??? ? ++??????