循环矩阵的性质研究
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又 ，当 为偶数时， ，知 ，可得
定理及（3）式成立，证毕.
由上述定理及（3）式易得
推论2.6.1 若等比数列 满足公比 ，当 为偶数时， ，则由该数列构成的循环矩阵 及其逆矩阵 的行列式分别为：
， .
2.7循环矩阵行列式与特征值相关性质
性质2.7.1若 为复数域上的 阶循环矩阵
,
那么 的行列式
，
这里 是全部 次单位根，
2.8 循环矩阵的奇异性
定理2.8.1 在定理2.7.1的条件下，循环矩阵 奇异的充要条件是存在某个
性质2.5.2复数域上任意一个 阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复 阶可逆矩阵，使复数域上任意 阶循环矩阵同时对角化.
证明由性质2.5.1易知，任意一个 阶矩阵 都可以对角化，由于 是任意的，所有的结论全部得证.
2.6等比数列构成的循环矩阵相关性质
设序列 是公比为 的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为
证明 阶循环矩阵 的特征值为
由于 又因 相似于对角矩阵
即存在可逆矩阵 ， .
设 是任意一个循环矩阵，则 相似于对角矩阵
diag
事实上，
定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.
证明设 是 阶对角矩阵
其中 为复数.
构造线性方程组
其中 是 阶循环矩阵 的特征值
则以 为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是德蒙行列式，且 互不相等，从而系数行列式不为零.
性质2.1.4 阶循环矩阵 的伴随矩阵 也是循环矩阵.
证明伴随矩阵 ，由定理2.1.1可知
为循环矩阵，源自文库此
也是循环矩阵.
2.2关于循环矩阵的判定相关性质
由定义1.2，有如下性质：
引理2.2.1 设 则 .
定理2.2.1 设 则 为循环矩阵的充要条件是矩阵
是满秩的.
由定义1.3，有如下性质：
引理2.2.2 设 是 维向量空间 上的一个线性变换， 有一个循环向量的充要条件是 的最小多项式等于特征多项式.
证明(1)设 ，
，因为 （其中 为非负整数， ），所以
，
此处 为不高于 次的多项式，因此 为 阶循环矩阵，且 .
(2)设 为 阶可逆循环矩阵，欲求 的逆矩阵，需求得矩阵
，
满足条件 即可.
设 ， ，有
( )( )
=
要使 ，则以下方程组必须成立：
解以上方程组可转化为求解： ，因为 可逆，所以
，因此方程有唯一的解 ，可得到唯一的矩阵 ， 为 的逆矩阵，且 为循环矩阵.
（1）
矩阵 可逆时，其逆矩阵由序列 构成，记为
（2）
定理2.6.1若等比数列 满足 ，若 为偶数时， ，则由该数列构成的循环矩阵（1）的逆矩阵（2）存在，且
， ， .
即
（3）
证明只须确定 ，由 ，即 知， 乘 的第一列等于 的第一列可得 满足的方程组.
（4）
注意到 ， ，对（4）的增广矩阵进行初等变换.
2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论
推论2.3.1 循环矩阵 可逆的充要条件是方程 无单
位根.
推论2.3.2设 是以 为元素的 阶循环矩阵，则 可逆的充要条件是 与 互素，即 .
证明由 ， 可逆的充要条件是 ，即
与 没有公共根，从而 .
推论2.3.3若 与 互素，则
，
…… 都与 互素.
证明因为分别以 的系数为元素的循环矩阵和以 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.
2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论
定理2.4.1 设循环矩阵 ，则
其中 ， ，即 为所有 次单位根.
我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中， ， 所表示的意义均和定理2.4.1相同.
推论2.4.1 循环矩阵 的秩为 中非零数的个数.
2.5 循环矩阵对角化相关性质
性质2.5.1任何一个循环矩阵 在复数域上都与一个对角矩阵相似.
定义1.2 设 如果矩阵 的最小多项式等于特征多项式，则称 为循环矩阵.
定义1.3 设 是 维向量空间 上的一个线性变换，若存在向量 ，使得
线性无关.则称 为 的一个循环向量.
定义1.4 已知 阶基本循环矩阵
，
并令
，
称 为循环矩阵基本列（其中 为单位矩阵）.
2.循环矩阵的性质
2.1 循环矩阵基本性质
.
证明作 阶矩阵
，
这里 是全部 次单位根，令
，
由于 次单位根满足 ，且对任意非负整数 ，
，考察 与 的乘积
.
由于矩阵 的行列式是一个德蒙行列式，且当 时， 次单位根 ，所以 ，从而
.
定理2.7.1 设 是形如 的循环矩阵，且设
， 是1的全部 次单位根.
这里 是虚数单位（ ），则 的 个特征值是：
,
注意 .
由此可知 为循环矩阵的充要条件是 有一个循环向量.
定理2.2.2设 ，则 为循环矩阵.
证明由于 ，故 ，即 的核空间的维数小于 的核空间的维数.所以必存在向量 ，使得 ，而 .
下面证明 就是 的一个循环向量，即 线性无关.
设 ，且满足 ，则
.
所以 ， ，从而
，
即 ，所以 ， .
依次类推下去，可得 ，因此 线性无关，即 为 的一个循环向量，所以 是循环矩阵.
构造 阶循环矩阵
则 的特征值为 .
由性质2.5.1， 相似于对角矩阵
推论2.5.1 阶方阵 相似于对角矩阵的充要条件是 相似于某个循环矩阵.
证明充分性：若 相似于循环矩阵 ，由性质2.5.1， 与某对角矩阵 相似.根据相似关系的可传递性知， 相似于对角矩阵 .
必要性：若 相似于对角矩阵 ，由定理2.5.1知，对角矩阵 相似于某个循环矩阵 .根据相似关系的可传递性知， 相似于循环矩阵.
循环矩阵的性质研究
郭宇泽2008111202
1.相关概念
定义1.1 具有以下形式的 阶方阵 称为关于 的循环矩阵
显然， 由首行元素惟一确定，因此可简记为 .
特别地， 阶循环矩阵：
称为 阶基本循环矩阵，简记为： 显然, ( 阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得 ,设
,
则 ,这时 .
记 为复数域 上的全体 阶方阵， 为实数域上的全体 阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的 维向量空间，记 为矩阵 的迹， 为 的转置共轭阵.
性质2.1.1 循环矩阵基本列 是线性无关的.
性质2.1.2 任意的 阶循环矩阵 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即
.
性质2.1.3同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
证明设 ，B= ，则
+ =
显然 为循环矩阵.
定理2.1.1设 为 阶循环矩阵，则有：
（1）乘积 仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即 ；
（2）若 可逆，则 的逆矩阵也是循环矩阵；
定理及（3）式成立，证毕.
由上述定理及（3）式易得
推论2.6.1 若等比数列 满足公比 ，当 为偶数时， ，则由该数列构成的循环矩阵 及其逆矩阵 的行列式分别为：
， .
2.7循环矩阵行列式与特征值相关性质
性质2.7.1若 为复数域上的 阶循环矩阵
,
那么 的行列式
，
这里 是全部 次单位根，
2.8 循环矩阵的奇异性
定理2.8.1 在定理2.7.1的条件下，循环矩阵 奇异的充要条件是存在某个
性质2.5.2复数域上任意一个 阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复 阶可逆矩阵，使复数域上任意 阶循环矩阵同时对角化.
证明由性质2.5.1易知，任意一个 阶矩阵 都可以对角化，由于 是任意的，所有的结论全部得证.
2.6等比数列构成的循环矩阵相关性质
设序列 是公比为 的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为
证明 阶循环矩阵 的特征值为
由于 又因 相似于对角矩阵
即存在可逆矩阵 ， .
设 是任意一个循环矩阵，则 相似于对角矩阵
diag
事实上，
定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.
证明设 是 阶对角矩阵
其中 为复数.
构造线性方程组
其中 是 阶循环矩阵 的特征值
则以 为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是德蒙行列式，且 互不相等，从而系数行列式不为零.
性质2.1.4 阶循环矩阵 的伴随矩阵 也是循环矩阵.
证明伴随矩阵 ，由定理2.1.1可知
为循环矩阵，源自文库此
也是循环矩阵.
2.2关于循环矩阵的判定相关性质
由定义1.2，有如下性质：
引理2.2.1 设 则 .
定理2.2.1 设 则 为循环矩阵的充要条件是矩阵
是满秩的.
由定义1.3，有如下性质：
引理2.2.2 设 是 维向量空间 上的一个线性变换， 有一个循环向量的充要条件是 的最小多项式等于特征多项式.
证明(1)设 ，
，因为 （其中 为非负整数， ），所以
，
此处 为不高于 次的多项式，因此 为 阶循环矩阵，且 .
(2)设 为 阶可逆循环矩阵，欲求 的逆矩阵，需求得矩阵
，
满足条件 即可.
设 ， ，有
( )( )
=
要使 ，则以下方程组必须成立：
解以上方程组可转化为求解： ，因为 可逆，所以
，因此方程有唯一的解 ，可得到唯一的矩阵 ， 为 的逆矩阵，且 为循环矩阵.
（1）
矩阵 可逆时，其逆矩阵由序列 构成，记为
（2）
定理2.6.1若等比数列 满足 ，若 为偶数时， ，则由该数列构成的循环矩阵（1）的逆矩阵（2）存在，且
， ， .
即
（3）
证明只须确定 ，由 ，即 知， 乘 的第一列等于 的第一列可得 满足的方程组.
（4）
注意到 ， ，对（4）的增广矩阵进行初等变换.
2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论
推论2.3.1 循环矩阵 可逆的充要条件是方程 无单
位根.
推论2.3.2设 是以 为元素的 阶循环矩阵，则 可逆的充要条件是 与 互素，即 .
证明由 ， 可逆的充要条件是 ，即
与 没有公共根，从而 .
推论2.3.3若 与 互素，则
，
…… 都与 互素.
证明因为分别以 的系数为元素的循环矩阵和以 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.
2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论
定理2.4.1 设循环矩阵 ，则
其中 ， ，即 为所有 次单位根.
我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中， ， 所表示的意义均和定理2.4.1相同.
推论2.4.1 循环矩阵 的秩为 中非零数的个数.
2.5 循环矩阵对角化相关性质
性质2.5.1任何一个循环矩阵 在复数域上都与一个对角矩阵相似.
定义1.2 设 如果矩阵 的最小多项式等于特征多项式，则称 为循环矩阵.
定义1.3 设 是 维向量空间 上的一个线性变换，若存在向量 ，使得
线性无关.则称 为 的一个循环向量.
定义1.4 已知 阶基本循环矩阵
，
并令
，
称 为循环矩阵基本列（其中 为单位矩阵）.
2.循环矩阵的性质
2.1 循环矩阵基本性质
.
证明作 阶矩阵
，
这里 是全部 次单位根，令
，
由于 次单位根满足 ，且对任意非负整数 ，
，考察 与 的乘积
.
由于矩阵 的行列式是一个德蒙行列式，且当 时， 次单位根 ，所以 ，从而
.
定理2.7.1 设 是形如 的循环矩阵，且设
， 是1的全部 次单位根.
这里 是虚数单位（ ），则 的 个特征值是：
,
注意 .
由此可知 为循环矩阵的充要条件是 有一个循环向量.
定理2.2.2设 ，则 为循环矩阵.
证明由于 ，故 ，即 的核空间的维数小于 的核空间的维数.所以必存在向量 ，使得 ，而 .
下面证明 就是 的一个循环向量，即 线性无关.
设 ，且满足 ，则
.
所以 ， ，从而
，
即 ，所以 ， .
依次类推下去，可得 ，因此 线性无关，即 为 的一个循环向量，所以 是循环矩阵.
构造 阶循环矩阵
则 的特征值为 .
由性质2.5.1， 相似于对角矩阵
推论2.5.1 阶方阵 相似于对角矩阵的充要条件是 相似于某个循环矩阵.
证明充分性：若 相似于循环矩阵 ，由性质2.5.1， 与某对角矩阵 相似.根据相似关系的可传递性知， 相似于对角矩阵 .
必要性：若 相似于对角矩阵 ，由定理2.5.1知，对角矩阵 相似于某个循环矩阵 .根据相似关系的可传递性知， 相似于循环矩阵.
循环矩阵的性质研究
郭宇泽2008111202
1.相关概念
定义1.1 具有以下形式的 阶方阵 称为关于 的循环矩阵
显然， 由首行元素惟一确定，因此可简记为 .
特别地， 阶循环矩阵：
称为 阶基本循环矩阵，简记为： 显然, ( 阶单位矩阵)都是循环矩阵,由此得 ,设
,
则 ,这时 .
记 为复数域 上的全体 阶方阵， 为实数域上的全体 阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的 维向量空间，记 为矩阵 的迹， 为 的转置共轭阵.
性质2.1.1 循环矩阵基本列 是线性无关的.
性质2.1.2 任意的 阶循环矩阵 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即
.
性质2.1.3同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
证明设 ，B= ，则
+ =
显然 为循环矩阵.
定理2.1.1设 为 阶循环矩阵，则有：
（1）乘积 仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即 ；
（2）若 可逆，则 的逆矩阵也是循环矩阵；