关于伴随矩阵性质的探讨
伴随矩阵的性质及应用汇总
伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。
在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。
下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。
一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。
3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。
二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。
对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。
2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。
3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。
因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。
4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。
此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。
综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。
它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。
伴随矩阵的性质探讨
伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。
如果行号与列号之和为奇数次时，元素值不变。
伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。
1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。
即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。
3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。
这可以通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。
4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。
5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。
这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。
6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。
这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。
7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。
即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!通过以上性质的探讨，我们可以看到伴随矩阵在矩阵的求逆、线性方程组的求解等问题中起着重要的作用。
它可以帮助我们简化计算过程，快速得到结果。
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。
本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。
伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。
2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。
伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。
二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。
伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。
伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。
2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。
三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。
如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。
2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质
伴随矩阵与伴随变换的定义与性质伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与伴随变换有着密切的关系。
本文将介绍伴随矩阵和伴随变换的定义与性质，并探讨它们在矩阵理论与线性变换中的应用。
一、伴随矩阵的定义给定一个n阶矩阵A=(a_ij)。
我们定义A的伴随矩阵Adj(A)为A的代数余子式矩阵的转置矩阵，即Adj(A) = (C_ij)T，其中C_ij是A的代数余子式。
二、伴随变换的定义根据伴随矩阵的定义，我们可以引入伴随变换的概念。
给定一个n 维向量空间V上的线性变换T，我们定义其伴随变换为V上的另一个线性变换T*，其中对于任意向量v∈V，有(T*v, u) = (v, T*u)，这里(u, v)表示内积。
三、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等。
证明：设A为一个n阶矩阵，rank(A)=r。
对于任意的n阶矩阵B，有rank(B)≥ rank(A)。
因此，我们只需证明rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
首先，矩阵A的伴随矩阵的任意一列都可以由A的列向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
其次，由于A的伴随矩阵的每一行都由A的行向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。
综上所述，rank(Adj(A)) ≤ rank(A)，即rank(Adj(A)) = rank(A)。
2. 伴随矩阵的秩与伴随变换的秩相等。
证明：对于伴随矩阵Adj(A)，我们可以定义一个新的线性变换T_1，其矩阵表示为Adj(A)。
根据伴随矩阵的定义，我们可以得到T_1为T的伴随变换。
根据伴随变换的定义，我们知道rank(T_1) = rank(T)。
同时，根据伴随矩阵的性质1，我们知道rank(Adj(A)) = rank(A)。
因此，我们有rank(T_1) = rank(Adj(A)) = rank(A)。
3. 伴随变换的伴随变换是原变换自身。
证明：设T为V上的一个线性变换，其伴随变换为T*。
谈谈伴随矩阵的性质及其应用
谈谈伴随矩阵的性质及其应用摘要：线性代数是高等院校理工科学生必学的一门课程，其中矩阵理论在线性代数中占有十分重要的地位，而矩阵的运算也是数值分析领域中具有极其广泛的应用。
然而，在现行的教材中都出现过方阵的伴随矩阵的概念，但是大多编者和教材并没有对伴随矩阵进行过全面的探究。
我们知道矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念．它有很多重要的性质，并且有及其广泛的应用。
所以系统的去分析伴随矩阵的性质和运算，具有十分重要的意义。
本文对于伴随矩阵常用的性质做了归纳与总结，然后介绍了矩阵的伴随矩阵一些常见的应用。
关键词：伴随矩阵；逆矩阵；矩阵的秩；线性代数在线性代数讨论矩阵的逆时，为了求可逆矩阵的逆矩阵，我们引入了矩阵的伴随矩阵的概念，用伴随矩阵的性质推得了矩阵可逆的充要条件，并由此推出了求逆矩阵的公式。
但由于用定义计算逆矩阵比较繁琐，所以，在实际计算中，通常我们一般利用矩阵的初等变换求它的逆矩阵。
然而，伴随矩阵及其性质的重要性不仅仅在讨论矩阵的逆时用到，它在讨论矩阵的行列式，矩阵的秩以及矩阵的特征值等等，都有其广泛的应用。
下面，我们首先给出矩阵的伴随矩阵的概念，然后讨论一下伴随矩阵的性质，最后，探讨伴随矩阵性质的一些应用。
1.伴随矩阵的概念定义：设是一个n阶方阵，为中元素的代数余子式，称n 阶矩阵为n阶矩阵的伴随矩阵。
1.伴随矩阵的性质性质1. ；注：这是n阶矩阵的伴随矩阵的一个非常重要的性质，一般情况下，只要涉及到有关伴随矩阵的命题，都是从这个性质作为切入点展开讨论。
至于这个性质的证明，只要利用矩阵的乘法即行列式的性质直接验证即可。
由性质1，易推得如下性质2至性质7.性质2. 如果，则；性质3. （1）；（2）；（3）性质4. 如果为对称矩阵，则也是对称矩阵；性质5. ；性质6. ，（其中为阶方阵）性质7. 如果可逆，则也可逆，且；性质8. 设为n阶方阵，则；证明：如果，则，由性质1可知，在等式两边取行列式可得，由此推得，从而；如果，则，由性质1可知，由此可知得列向量都是齐次线性方程组的解，又由于，可知，齐次线性方程组的基础解系含有个解向量，因此，；如果，则的每一个元素，也即为零矩阵，故。
浅谈伴随矩阵的若干计算
浅谈伴随矩阵的若干计算伴随矩阵，也称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随矩阵，是矩阵理论中的重要概念之一、在线性代数中，伴随矩阵是一个与给定矩阵相关联的矩阵。
伴随矩阵的定义对于一个n阶矩阵A（A是一个方阵），如果能找到另一个n阶矩阵C，使得AC = CA = ，A，·In（，A，表示矩阵A的行列式，In表示n阶单位矩阵），那么矩阵C就是矩阵A的伴随矩阵，记作adjA。
1.伴随矩阵的性质（1）伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。
（2）伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方。
（3）如果矩阵A是可逆矩阵，那么伴随矩阵也是可逆矩阵，并且(adj A)-1 = 1/，A，·adj A。
（4）如果矩阵A的所有元素都是整数，那么它的伴随矩阵的所有元素都是整数。
（5）如果矩阵A与矩阵B相似，那么它们的伴随矩阵也相似。
2.伴随矩阵与逆矩阵的关系在线性代数中，一个矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式不等于0。
如果一个矩阵A的行列式不等于0，那么它有一个逆矩阵A-1，且(A-1)·A=A·(A-1)=In。
利用伴随矩阵可以依据行列式计算矩阵的逆矩阵。
如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵adj A满足(adj A)·A = A·(adj A) = ，A，·In。
因此，A-1 = 1/，A，·adj A。
3.利用伴随矩阵计算矩阵的行列式由伴随矩阵的定义可知，对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵adj A满足(adj A)·A = A·(adj A) = ，A，·In。
因此，若已知矩阵A的伴随矩阵adj A，可以利用(adj A)·A = ，A，·In来求解，A。
A，= (adj A)·A4.利用伴随矩阵求解线性方程组给定一个线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b为n维列向量。
假设A是可逆的，那么方程组的解为x=A-1·b。
伴随矩阵与原矩阵关系
伴随矩阵与原矩阵关系介绍在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，常用于表示线性方程组、线性映射和线性变换等。
矩阵的伴随矩阵是一种特殊的矩阵，与原矩阵有着一定的关系。
本文将详细探讨伴随矩阵与原矩阵的关系，介绍伴随矩阵的定义、性质和应用。
伴随矩阵的定义伴随矩阵，也称为伴随矩阵、复共轭转置矩阵或Hermitian转置矩阵，是指对于一个复矩阵A，将其每个元素取复共轭并转置得到的矩阵，通常用符号A*表示。
对于一个m×n的复矩阵A=(a_{ij})，其伴随矩阵A*=()T。
其中，表示a_{ij}的复共轭，T表示转置。
伴随矩阵与原矩阵的关系伴随矩阵与原矩阵之间有着一些重要的关系。
下面将介绍几个常见的关系。
1. 基本关系对于一个复矩阵A和B，有以下基本关系成立：•(A^)^ = A•(A+B)^* = A^* + B^*•(kA)^* = A^其中，A^表示矩阵A的伴随矩阵，k是一个复数。
2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下重要性质：•(AB)^* = B^A^•(A^)^n = (A n)（n为正整数）•A是Hermitian矩阵（即A=A^*）当且仅当A的所有特征值为实数•A是正规矩阵（即AA^=A^A）当且仅当A可对角化为实对角阵3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数和数学物理等领域具有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用。
3.1. 线性方程组的解法通过求解伴随矩阵的线性方程组，可以求解原矩阵的线性方程组。
设A为一个m×n的复矩阵，X为一个n×1的向量，B为一个m×1的向量，可表示为AX=B的线性方程组。
则该线性方程组的解为X=(A^){-1}B，其中，A为A的伴随矩阵。
3.2. 矩阵的共轭转置伴随矩阵也可以表示矩阵的共轭转置。
对于一个复矩阵A，其共轭转置矩阵为A^*。
通过求解伴随矩阵，可以得到原矩阵的共轭转置。
3.3. 矩阵的特征值和特征向量伴随矩阵与原矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
关于伴随矩阵的几个结论
关于伴随矩阵的几个结论1、伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素和原来矩阵的元素具有一定的关系。
如果A是m*n 矩阵，则它的伴随矩阵A~是n*m矩阵，且满足AA~=A~A=|A|I，其中|A| 是行列式，I 是单位矩阵。
2、伴随矩阵的性质及其定义决定了它是要满足AA~=A~A=|A|I这样一系列条件的。
由此，借此原理，当原矩阵 A 不可逆时，它的伴随矩阵A~也必然不存在。
3、由于伴随矩阵是特殊的矩阵，其元素可由原矩阵来推导，也就是说，可以把伴随矩阵看作是原矩阵的变形，它们存在着一定的关系。
4、对任意一个方阵 A，其复数的伴随矩阵A~ = conj(A^T)，其中 conj(A^T) 表示矩阵A^T的共轭矩阵，即将A^T的每个元素的复数取其共轭数。
同样的，实数的伴随矩阵A~ =adj(A^T)，其中adj(A^T) 表示A^T的伴随矩阵。
5、伴随矩阵和原矩阵的求解有着很大的关系，给定一个方阵A，可以使用它的伴随矩阵A~来求解A，或者可以使用A来求解A~。
同时，对于一个解析式，可以使用它的伴随矩阵来求解。
6、由于伴随矩阵与原矩阵有着一定的关系，所以可以用来分析矩阵是否可逆，可逆矩阵的伴随矩阵与其相等；而不可逆矩阵的伴随矩阵不存在。
7、伴随矩阵的行列式的值与原矩阵的行列式的值具有一定的关系，即|A~|=|A|^(-1)。
因此，如果矩阵A的行列式|A|≠0，那么它的伴随矩阵A~也可以求出，它具有非常重要的解析意义。
8、伴随矩阵可以广泛应用于计算机科学、信息科学、数学建模和模式识别等领域，主要用于矩阵的逆的求解，也可用于解决线性方程组以及复数的代数求解。
对于伴随矩阵性质(AB)＊=B＊A＊的讨论
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矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 ：
我们先来露褥有关矩阵初等变换和初簿矩眸的桐荚知识： （ １ ）对矩ｌ ｉ 车 藏以以Ｆ 夏种变换，称为怒阵的扔笛变换： （ １ ）交换 绺的 行（ 列） ： （ ｉ ｉ ）以一个－ 犯 零数 乘矩眸的禁行（ 列） ： （ ｉ ｉ ｉ ） 『 蜂的浆行（ 列） 加Ｉ ： 瓣 彳 亍 （ 列） 的七 傣．
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（ ｊ ｉ ｉ ） Ｐ （ ｉ √（ ） ） 一一把Ｅ的第， 行的 倍加到第ｉ 行（ 或第ｉ 列的女 缩翻到 剿）
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现在比较流行的一种证明方式是；
设Ａ．Ｂ为 阶方阵
ｌ Ｊ ， 从 辩 ［ 。 ） （ ） ’ （ 。 ） （ ： ｌ 川 ０ ］
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（ ｉ ） Ｐ （ ｉ √） ——交换Ｅ的第ｉ 行与第 行（ 或第ｉ 列与 第 列） 得到的镪落镪跨； （ ｉ ｉ ） Ｊ ） １ （ ｆ ） ）（ 或Ｐ （ （ 惫 ） ） ） ——用数域Ｐ中的嚣零数点乘量的第 行（ 或第 列）
伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质及应用
一．伴随矩阵的定义及符号伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，1.代数余子式的定义为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式11111..................j ni ijin ni nj nna a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ijij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。
2.伴随矩阵的定义设ij A 是矩阵11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ij a 的代数余子式，矩阵 1121112222*12.........n n n nnn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称为A 的伴随矩阵。
二．伴随矩阵的性质1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中d A =。
这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。
2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质（1）A 可逆当且仅当*A 可逆。
证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知*A A E A⋅= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A AA-= 即*11n A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 故*A 0≠，从而*A 可逆（2）1*n A A-=，其中A 是n ⨯n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*nA A A = ①.当时，有及，故②．当A时，知由引理得秩（A）+秩（）且秩（A），则秩（）综上。
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵的性质.doc
伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。
在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。
一、伴随矩阵的定义
伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。
对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：
adj(A)=(Cij)T
其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。
1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：
|adj(A)| = |A|n-1
2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：
3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：
adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I
其中I为n阶单位矩阵。
4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。
5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：
A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1
|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2
...
|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)
1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。
总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。
理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A =中元素的代数余子式，则矩阵A =ij A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211ij a *称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质及其运算探究
H 106 掘 工科抗2020年•第[期
等，那么这部分我们主要介绍伴随矩阵求行列式问题、伴随矩 阵求秩问题和分块矩阵求伴随矩阵的问题，通过这部分的探索 分析，使大家对伴随矩阵的运算和性质掌握更加灵活。
3.1伴随矩阵求行列式的问题 A的伴随矩阵的行列式有结论:|^*| =国"J o 证明：当国H0,由才=国才1,则|才卜团 f | =
3运算分析矩阵运算包括同阶矩阵相加减数乘矩阵矩阵乘法矩阵转置矩阵求逆运算矩阵分块运算矩阵求特征值特征多项式矩阵相似对角化等106掘h工科抗2020年?第期等那么这部分我们主要介绍伴随矩阵求行列式问题伴随矩阵求秩问题和分块矩阵求伴随矩阵的问题通过这部分的探索分析使大家对伴随矩阵的运算和性质掌握更加灵活
|E）g）才，依应推，更命随都可以计算。
证明：根据伴随矩阵的定义和性质一，上面的结论可依次递推求得。
性质三：若为同阶的可逆矩阵，贝 证明：因为为同阶的可逆矩阵，即f
都存在，且|曲|=|川国
工0,贝情（肋）"=|肋|（肋厂=|彳网沪才,结论軽。
3运算分析 矩阵运算包括同阶矩阵相加减、数乘矩阵、矩阵乘法、矩阵转置、矩阵 求逆运算、矩阵分块运算、矩阵求特征值、特征多项式、矩阵相似对角化等
推论
(A T
(1) 林阵厶B都为同阶可的阵,则(c =
,其中未写出的元素为0。
*
(2) 林阵A、B都为同阶可助阵,则[ J =
(网才[:閱，其中未写出的元素为0。
》
(3) 若矩阵2、E都为同阶可逆方阵，则.=
仃:乎 皿],其中未写出的元素为0。
J I
(4) 若矩阵&、B都为同阶可逆方阵，则(Jc
aX J=
成立。当国=0,且2H0,用反证法，若|才H0, 则才可逆，且有姑(才WX才)'国
伴随矩阵的性质论文2
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一六届）题目：伴随矩阵的性质及其应用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：吉宗银学号08120412指导教师：王志华南京师范大学泰州学院教务处制摘要：在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样，不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用. 本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等）的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究，利用这些性质简化了一些伴随矩阵的计算.关键词：伴随矩阵；若当标准型；可逆矩阵Abstract: As a special matrix, adjoint matrix has many special properties in linear algebra. In a sense, it is like a positive definite matrix and orthogonal matrix, and not only has great research value in theory but also has wide application in practice. In this article we focus on various properties of adjoint matrices, including the properties of adjoint matrices of some special matrices (the upper triangular matrices, symmetric matrices, etc.), and use these properties to calculate the adjoint matrices of some matrices. As we shall see, this simplifies the calculation and avoid a large amount of complicated calculations.Keywords:adjoint matrix; Jordan standard form; invertible matrix目录1 绪论 (3)1.1研究目的 (3)1.2研究意义 (3)1.3国内外研究现状 (3)2基础知识 (4)2.1伴随矩阵的定义 (4)2.2伴随矩阵的基本性质及运算性质 (4)2.2.1伴随矩阵基本性质及证明 (4)2.2.2伴随矩阵运算性质及证明 (5)2.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质 (11)2.3.1对称矩阵 (11)2.3.2上（下）三角矩阵 (11)2.2.3正定和半正定矩阵 (12)2.2.4正交矩阵 (12)谢辞 (14)参考文献 (15)1 绪论1.1研究目的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中的应用。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
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关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明 由性质E A AA =*得E A AA =*， 从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明 由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明 若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明 由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明 由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明 由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明 由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明 因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵． 证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ． 性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明 由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明 因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明 当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ， 右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ， 故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明 由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义 若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有 （1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明 因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化； （5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明 因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -． 解 因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，， 于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=， 故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-． 解 矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３ 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解 由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明 由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解 由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。