伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。

伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。

本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。

伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习.关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质Adjoint matrices properties and applicationsAbstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning.Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。

伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出(1)证明：由行列式按一列（行）d 0 …d ■-AA * =A * A=展开的公式得出01 00 0 d=d E,其中 d =A 。

来的，是大学数学学习的重点和难点，而且也有很多的应用价值，和数学其他分支的 联系也很广泛，学习好伴随矩阵对学好大学数学是很重要的.本文将全面总结出一些有关方阵的伴随矩阵的性质及其应用， 让我们对伴随矩阵 的认识和理解更加全面.1. 伴随矩阵的定义首先我们给出伴随矩阵和逆矩阵的定义。

A nn称为A 的伴随矩阵。

定义2:设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=ESU B 就称为A 的逆矩阵, 记为B=A '。

由以上定义我们看到只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。

2. 伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵与逆矩阵之间的关系性质1:设A 为n 阶方阵，AA * =A *A=AE . 定义1 ：设A j 是矩阵A=a 11a 21a 12a 22a 1n Ia 2n中元素a j 的代数余子式，则矩阵a n1a n2A 11 I A 21A—A 12A…Aa nnA 1n I A 2nA n2该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵， 是最直接常用的方法，也是最一般的用性质2: n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵 A 的行列式不等于零，即证明：由性质.知AA *=A *A =AE ，故G 命亡宀常该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用 性质3:若A 为非奇异矩阵，则（A 」）* =（A*）」.1证明：因为（kA ）」二A 」，由性质2两边取逆可得kA 二 A （A *）」故（A*宀-A ,另一方面，由性质2有（A 」）° =A （A 」）* = A （A‘）*= （A"1）* =丄A ， A |A | 由（A°）* -（A*） ‘ .该性质说明了 A 的逆的伴随矩阵和A 的联系，也是常考的部分，有效的掌握对于 解题很有帮助• 2.2伴随矩阵秩的性质n ，当秩A = n 时性质4:设A 为n 阶矩阵，则秩A *=当秩A = n-1时.0,当秩A 兰n —2时证明：（1）当秩A=n 时，贝U A=0,A 是可逆的，即有A’存在，所以可见，秩A =n反之，当秩A =n 时，A 可逆时，则有（A ），存在，所以A= A(A*) =必有A =0，否则，由上式知 A=0,从而A =0，这与秩A =n 矛盾，所以A =0,A 式0, 且A A*A于是秩（A）=n ;（2）当秩（A）=n_1时，则A必有一个n_1阶子式不为0,即A*中至少有一个元素不为0，所以，秩（A*）_ 1，另外秩（A）=n—1.则A=0,于是，AA*=|AE = 0.从而，秩（A）+秩（A*）_n,故秩（A*） _1这便知秩（A*）1.反之若秩（A*）=1，则A*中必有一个A j式0，即是说A必有一个n-1阶子式不为零，故秩A_n-1但不能有秩（A）=n，否则，有秩A* =n，而n_2,这样与秩（A*） = 1矛盾,所以秩（A）- n，则秩（A）<n_1 ，因此，秩（A）= n_1（3）当秩（A）v n —1时，则A中一切n —1阶子式均为0,于是一切A j = 0,A* -0所以，这时有秩（A*）=0,反之，若秩（A*）=0,则A* =0,即一切A j -0,亦即A的一切n -1阶子式为0,所以秩（A）<n-1.这是矩阵一章中综合性较强的问题，一方面注意到矩阵A的秩等于A的非零子式的最高阶数，另一方面注意到A*的元素都是A的元素的n -1阶子式.该性质可以用来求 A 的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵的秩.性质5:秩A* 一秩A.2.3伴随矩阵行列式的性质性质6：A* = A n」，其中A是n阶方阵（n >2）证明：若|A -0, AA*=|A E,|AA]=A J IA|A*|=IA n = n -1若|A=0，这时秩A* A =0,而也有A = A综合得A* = A性质7:若A是n阶非零实矩阵，A、A*,则A^0.证明：用反证法，若制=0,则AA'= AA* =|AE = 0,令一方面，设A=（a j））R俪nn ■— a ni i 4由（2）式主对角元素均等于0,可得a j =0,（i,j =1,2,…,n ）,此即A=0,这与非零 矩阵的假设矛盾，.円=0.i 1条件A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=|i ",则A = A *,但A = 0 〔-1 i 」 U 2.4伴随矩阵的继承性性质8令A,B 为n 阶矩阵，则（1） A 对称=A *对称； （2） A 正交=A 正交；（3） 若A 与B 等价，则A *与B *也等价； （4） 若A 与B 相似，则A *与B *也相似； （5） 若A 与B 合同，则A *与B *也合同； （6） A 氓 A * 二 B * ； （7） A 正定=A *正定；（8） A 为可逆矩阵=A *为可逆矩阵；（9） 如果A 是可逆矩阵，那么A 为反对称=A *为反对称. 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。

（1） （A *）T =（A T ）* 二 A *, A *为对称矩阵； （2） 因为A 是正交矩阵，故AA T = E, A (A )= A (A T ) =(A T A)二 E 二 E = A 是正交矩阵.芦a 1ii4aAA =AA * =na 2i 2i 4=0(2)从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。

2.5 （A*）*的性质性质9：（A*）* =（A*）T.这个证明比较简单，在这里就不详细证明了，读者可自行证明.性质10 一切代幼（不一定A非奇异）都有（A*）* = A'^A.证明：A*|=A2（i）当秩A=n时，| A式0, A可逆，用A-1左乘式子AA* = AE两边得，A*=|AA」用A换A*得，（A*）* = A*（A*）」= A n」（£）= A^A|A|（ii）当秩A乞n-1 时，则秩A* < 1, A = 0,从而秩（A*）* =0,则（A*）* =0 = A n-2A, 综合即证（A*）* = A n，A.该性质讨论了A的伴随矩阵的伴随矩阵和A的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意.2.6伴随矩阵的其他性质性质11:若A为n阶矩阵，则（aA）* =a n4 A* . （a为实数）证明：设人=佝）'n再设aA =（b j）n n，那么b ij为行列式aA中划去第j行和第i列的代数余子式（n-1阶行列式），其中每行提出公因子a后，可得b j =a n4A ji（i, j =1,2,....,n），由此即证（aA）* =a n4 A*.数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.性质12设A,B均为n阶方阵，则（AB）*二B*A*.证明：当AB式0时，这时A式0,B式0,由公式A* = AA^可得（AB）* =|AB（AB），= B B，AA，= B*A*,结论成立.AB =0时，考虑矩阵A ( ■) A —E,B() = B- E,由于A和B都最多只有限个特征值，因为存在无穷多个&使A(k)学0, BQJ鼻0 (3)那么由上面的结论有(A( • )B( • ) )*= B()A*(.)( 4)令(A( ■ )B( ■ ) =(f j( ))nn,B ( ')A( )= (g j( ))n n，则有f j(0 =g j(),(i, j =1,2厂，n) (5)由于有无穷多个■使(5)式成立，从而有无穷多个，使(5)式成立，但f j(),g ij()都是多项式，从而(3)式对一切■都成立，特别令• =0,这时有(AB)* =(A(0)B(0))* 二B*(0)A*(0) = B* A*.该性质是一些题目的常考点，把求AB的伴随矩阵转化为求A的伴随矩阵和B的伴随矩阵的问题，可以很有效的解决问题.性质13：如果矩阵A可逆，令■为它的特征值，：•是A的属于■的特征向量，则A*的特征值是■ J A 是A*的属于，」A的特征向量.证明：由于A可逆，所以■ = 0,由于A〉=.】二，左边乘以A* 得, A* A〉=，A* ：•，故 A a = 'fa.性质14：若A为n阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么A*可表示为A的多项式形式•证明：A的特征多项式是f「)V n- a n■n J■ L ■ a< ■ a0.因为A可逆，所以a。