伴随矩阵几个性质的证明
伴随矩阵的性质及应用汇总
伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。
在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。
下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。
一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。
3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。
二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。
对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。
2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。
3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。
因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。
4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。
此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。
综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。
它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。
伴随矩阵的性质探讨
伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明 由性质E A AA =*得E A AA =*， 从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明 由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明 若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明 由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明 由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明 由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明 由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明 因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵． 证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ． 性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明 由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明 因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明 当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ， 右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ， 故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明 由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义 若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有 （1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明 因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化； （5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明 因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -． 解 因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，， 于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=， 故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-． 解 矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３ 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解 由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明 由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解 由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。
伴随矩阵的若干性质
刊ｊ（Ｔ）ａｄｊ（Ｑｘ一０））
以ｊ（Ｘ）ａｄ胭）ｎ咖＼㈢０。。０／ ）嘶（蹦由第５步）
＝ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ）
所以ａｄｊ（ＡＢ）一ａｄｊ（Ｂ）ａｄｊ（Ａ） 证毕
推论：设Ａ，。Ａ∥．．．Ａ。为仟意咒阶锚阵
万方数据
第３期
王航平：伴随矩阵的若干性质
２４９
（１）ａｄｊ（Ａ１Ａ２…Ａ，）
＝ａｄｊ（Ａ，）ａｄｊ（Ａ，．１）…ａｄｊ（Ａ１）； （２）ａｄｊ（Ａ＋）＝（ａｄｊ（Ａ））‘． 定理６： （１）ａｄｊ（Ａ叫）＝（ａｄｊ（Ａ））一１； （２）『ａｄｊ（Ａ）Ｉ＝』ＡＩ一１；（咒≥２）
特别，有ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ））一ＩＡ Ｉ”一２Ａ．
证明：（１）可直接由定义计算出，这里只证明
当愚一１时，结论成立，当ｋ＝２时：ｒａｎｋ（Ａ） ＝７＂１，由定理２有ａｄｊ（Ａ）一ＩＡＩＡ～，
所以ａｄｊ‘２］（Ａ） 一 ａｄｊ（ａｄｊ（Ａ）） ＝ Ｉａｄｊ（Ａ）Ｉａｄｊ－１（Ａ）＝Ｉ ＩＡ ＩＡ＿１ ｌ（１ Ａ ｌＡ叫１）－１ 一Ｉ Ａ Ｉ一２Ａ ｋ＝２时，结论成立，
设Ａ为挖（规＞１）阶方阵，记
ａｄｓ‘１（Ａ）为ａｄｊ（ａｄｊ（…ａｄｊ（Ａ）…）），则有 —————了Ｋ了————一
（１）ａｄｊ（ｋＡ）＝ｋ．－１ａｄｊ（Ａ）；
（２）ａｄｊＥ‘３（Ａ）＝
ｆ
。０
１
ｌ
ｆＡ
ｆ尘型粤口ｄｊ（Ａ）
ｌＡｌ毕Ａ
对Ｖ ｋ∈Ｎ．
竺艇：二麓：
ｒａｎｋ（Ａ）一咒，志为奇数 ｒａｎｋ（Ａ）＝，２，ｋ为偶数
ａｄｊ（Ｐ（ｉ（ｆ）））＝ＩＰ（ｉ（ｃ））ＩＰ叫（ｉ（ｃ））
＝ｃＰ（ｉ（１／ｃ））；
ａｄｊＰ（ｉ，Ｊ（忌））＝ｌＰ（ｉ，歹（是））ｌＰ一１（ｉ，＿ｆ（忌））
谈谈伴随矩阵的性质及其应用
谈谈伴随矩阵的性质及其应用摘要：线性代数是高等院校理工科学生必学的一门课程，其中矩阵理论在线性代数中占有十分重要的地位，而矩阵的运算也是数值分析领域中具有极其广泛的应用。
然而，在现行的教材中都出现过方阵的伴随矩阵的概念，但是大多编者和教材并没有对伴随矩阵进行过全面的探究。
我们知道矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念．它有很多重要的性质，并且有及其广泛的应用。
所以系统的去分析伴随矩阵的性质和运算，具有十分重要的意义。
本文对于伴随矩阵常用的性质做了归纳与总结，然后介绍了矩阵的伴随矩阵一些常见的应用。
关键词：伴随矩阵；逆矩阵；矩阵的秩；线性代数在线性代数讨论矩阵的逆时，为了求可逆矩阵的逆矩阵，我们引入了矩阵的伴随矩阵的概念，用伴随矩阵的性质推得了矩阵可逆的充要条件，并由此推出了求逆矩阵的公式。
但由于用定义计算逆矩阵比较繁琐，所以，在实际计算中，通常我们一般利用矩阵的初等变换求它的逆矩阵。
然而，伴随矩阵及其性质的重要性不仅仅在讨论矩阵的逆时用到，它在讨论矩阵的行列式，矩阵的秩以及矩阵的特征值等等，都有其广泛的应用。
下面，我们首先给出矩阵的伴随矩阵的概念，然后讨论一下伴随矩阵的性质，最后，探讨伴随矩阵性质的一些应用。
1.伴随矩阵的概念定义：设是一个n阶方阵，为中元素的代数余子式，称n 阶矩阵为n阶矩阵的伴随矩阵。
1.伴随矩阵的性质性质1. ；注：这是n阶矩阵的伴随矩阵的一个非常重要的性质，一般情况下，只要涉及到有关伴随矩阵的命题，都是从这个性质作为切入点展开讨论。
至于这个性质的证明，只要利用矩阵的乘法即行列式的性质直接验证即可。
由性质1，易推得如下性质2至性质7.性质2. 如果，则；性质3. （1）；（2）；（3）性质4. 如果为对称矩阵，则也是对称矩阵；性质5. ；性质6. ，（其中为阶方阵）性质7. 如果可逆，则也可逆，且；性质8. 设为n阶方阵，则；证明：如果，则，由性质1可知，在等式两边取行列式可得，由此推得，从而；如果，则，由性质1可知，由此可知得列向量都是齐次线性方程组的解，又由于，可知，齐次线性方程组的基础解系含有个解向量，因此，；如果，则的每一个元素，也即为零矩阵，故。
关于伴随矩阵的几个结论
关于伴随矩阵的几个结论1、伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素和原来矩阵的元素具有一定的关系。
如果A是m*n 矩阵，则它的伴随矩阵A~是n*m矩阵，且满足AA~=A~A=|A|I，其中|A| 是行列式，I 是单位矩阵。
2、伴随矩阵的性质及其定义决定了它是要满足AA~=A~A=|A|I这样一系列条件的。
由此，借此原理，当原矩阵 A 不可逆时，它的伴随矩阵A~也必然不存在。
3、由于伴随矩阵是特殊的矩阵，其元素可由原矩阵来推导，也就是说，可以把伴随矩阵看作是原矩阵的变形，它们存在着一定的关系。
4、对任意一个方阵 A，其复数的伴随矩阵A~ = conj(A^T)，其中 conj(A^T) 表示矩阵A^T的共轭矩阵，即将A^T的每个元素的复数取其共轭数。
同样的，实数的伴随矩阵A~ =adj(A^T)，其中adj(A^T) 表示A^T的伴随矩阵。
5、伴随矩阵和原矩阵的求解有着很大的关系，给定一个方阵A，可以使用它的伴随矩阵A~来求解A，或者可以使用A来求解A~。
同时，对于一个解析式，可以使用它的伴随矩阵来求解。
6、由于伴随矩阵与原矩阵有着一定的关系，所以可以用来分析矩阵是否可逆，可逆矩阵的伴随矩阵与其相等；而不可逆矩阵的伴随矩阵不存在。
7、伴随矩阵的行列式的值与原矩阵的行列式的值具有一定的关系，即|A~|=|A|^(-1)。
因此，如果矩阵A的行列式|A|≠0，那么它的伴随矩阵A~也可以求出，它具有非常重要的解析意义。
8、伴随矩阵可以广泛应用于计算机科学、信息科学、数学建模和模式识别等领域，主要用于矩阵的逆的求解，也可用于解决线性方程组以及复数的代数求解。
伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的秩和特征值
伴随矩阵的秩和特征值【摘伴随矩阵是矩阵理论和高等代数中的一个基本概念，是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点。
而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有深入研究。
本文将分类研究伴随矩阵的性质，并讨论其证明过程，且对伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系以及伴随矩阵的特征值进行研究。
【关键词】矩阵 可逆矩阵 伴随矩阵 秩 代数余子式 特征值矩阵的伴随矩阵在高等代数当中具有非常重要的地位。
对于一些它的性质的推论，牵涉到线性代数当中许多概念和方法。
一 伴随矩阵的基本概念定义1.1 设矩阵B=，将矩阵B 的元素所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的()21-n 各元素按原来的顺序组成1-n 阶矩阵所确定的行列式称为的余子式，记为ij M ，称().1ij ji M +-为元素的代数余子式，记为，即 ，i,j=1,2,n .定义1.2 假设为矩阵B=中元素的代数余子式，矩阵=称作B 的伴随矩阵。
二 伴随矩阵的秩和矩阵的秩的定义定义2.1 在矩阵B 中，任意选取k 行和k 列元素，位于这k 行k 列交叉点上的元素构成B 的一个k 阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为B 的一个k 阶子式. 定义2.2 一个矩阵B 中不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵的秩.定义2.3 一个矩阵B 的伴随矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做伴随矩阵的秩.伴随矩阵的秩和矩阵的秩的关系若B 为n (n) 阶矩阵,为其伴随矩阵，则r ()= ;证明：① 当r(B)=n 时，B 可逆，==因此r ()=n② 当r(B)<n 时，r ()==0 r(B)+ r ()n当r(B)=n-1时，r ()1, 又有至少有一个元素不为0， 即 r ()1, 也就是r ()1当r(B)<n-1时，B 的所有n-1阶式为0，所以=0 ，即r ()1三 伴随矩阵的性质假如是n（n2）阶B的伴随矩阵，因此（1）B=B=E;(2)=;证明：由公式（1），即B=E两边取行列式，得===。