基本不等式及其应用(一)

B A

C 基本不等式及其应用（一）

一、填空题

1．函数1(0x y a

a -=>且1)a ≠的图象恒定点A ，若点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=>上，则11m n

+的最小值为 ． 2．已知二次函数22()y ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞，则a c +最小值是 ．

3．已知(4,1),(,5)a x b y x =-=+，其中,(0,)x y ∈+∞，且a ⊥b ，则当xy 取得最小值时y 的值是 ．

4．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的

最小值为 ．

5．从等腰直角三角形纸片ABC 上，按图示方式剪下两个正

方形，其中02,90BC A =∠=，则这两个正方形的面积之和

的最小值为 ．

6．在“491+=（）（）

”中的“（）”里分别填上正整数 、 使它们的和最小． 7．设,x y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020

63y x y x y x ，若目标函数(,0)z ax by a b =+>的最大值为12，则23a b

+的最小值为 ． 8．若不等式2210843k

x y xy +≥对于任意正实数,x y 总成立的必要不充分条件是[,)k m ∈+∞，则正整数m 可能取值为 ．

9．若实数x 、y 满足11442

2x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ． 10．给出下列四个命题：

①若a b <，则22a b <；

②若1a b ≥>-，则

11a b a b ≥++； ③若,m n N *∈且m n <

2n ≤

； ④若0x >且1x ≠，则1ln 2ln x x

+≥． 其中真命题的序号是 ．

二、解答题

11．如图，围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x （单位：m ），修建此矩形场地的总费用为y （单位：元）．

⑴将y 表示为x 的函数；

⑵试确定x ，使修建此矩形场地的总费用最少，并求出最小总

费用．

12．某厂家拟在今年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x

万件与年促销费用(0)m m ≥万元满足31

k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量为1万件。已知今年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括年促销费用）．

⑴将该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用m 万元的函数；

⑵厂家今年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

基本不等式及其应用（一）（参考答案）

一、填空题

1．函数1(0x y a

a -=>且1)a ≠的图象恒定点A ，若点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=>上，则11m n

+的最小值为4． 解：函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒定点(1,1)A ，

∵点A 在直线10(,0)mx ny m n +-=>上，∴1m n +=．

∴11m n +11()()224n m m n m n m n =++=++≥+=， 故当且仅当12m n ==时，11m n

+的最小值为4． 2．已知二次函数22()y ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞，则a c +最小值是2．

解：由题意知00a >⎧⎨∆=⎩

，解得1ac =且,0a c >．∴2a c +≥=（当且仅当a c =时取等号），故a c +最小值是2．

3．已知(4,1)a x =-，(,5)b y x =+，其中,(0,)x y ∈+∞，且a ⊥b ，则当xy 取得最小值时y 的值是52

． 解：∵a ⊥b ，∴(4)(5)045x y x x y xy -++=⇒+=-，其中,(0,)x y ∈+∞．

∴4x y +≥=（当且仅当4x y =时取等号），从而5xy -≥，解得

B A

C

b

5≥即xy 取得最小值25，此时由2455485042x y xy y y y x y

+=-⎧⇒--=⇒=⎨

=⎩或12

y =-（舍）． 故y 的值是52． 4．若,,0a b c >，且24a ab ac bc +++=，则2a b c ++的最小值为4．

解：∵24()()4a ab ac bc a b a c +++=⇒++=，其中,,0a b c >．

∴2()()4a b c a b a c ++=+++≥=（当且仅当a b a c +=+即b c =时取等号），故2a b c ++的最小值为4．

5．从等腰直角三角形纸片ABC 上，按图示方式剪下两个正方形，其中2BC =，090A ∠=，则这两个正方形的面积之和的最小值为12． 解：设两个正方形的边长分别为,a b ，

则这两个正方形的面积之和为22S a b =+．

由已知得222a b +=，即1a b +=．

122

a b +≥=（当且仅当12m n ==时取等号），从而2212S a b =+≥． 故这两个正方形的面积之和的最小值为

12． 6．在“491+=（）（）

”中的“（）”里分别填上正整数10、15使它们的和最小． 解：设在“（）

”里分别填上的正整数是x 、y ，即491x y +=．

则4

949()()131325y x x y x y x y x y +=++=++≥=（当且仅当49y x x y =即 32x y =时取等号），又491x y

+=，从而解得10,15x y ==．