第三章经典效能评估方法
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第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
从集合论的观点来看， 从集合论的观点来看，模糊性导致的不 确定性是因为某些因素的排中率被破坏 确定性是因为某些因素的排中率被破坏 而造成的。 而造成的。
19
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
模糊性” “随机性” 、 “模糊性” 随机性”
16
1模糊集合概述 模糊集合概述
随机性造成的不确定性是由于对事物的因果律掌 随机性造成的不确定性是由于对事物的因果律掌 握不够，也就是说对事物发生的条件无法严格控制 对事物发生的条件无法严格控制， 握不够，也就是说对事物发生的条件无法严格控制， 以致一些偶然因素使试验结果产生了不确定性， 以致一些偶然因素使试验结果产生了不确定性，但 事物的本身却是有明确的含义的 模糊性是指某些事物或概念的边界不清楚， 是指某些事物或概念的边界不清楚 模糊性是指某些事物或概念的边界不清楚，这种 边界不清楚的模糊概念， 边界不清楚的模糊概念，不是由于人的主观认识达 不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性， 不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性， 是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。 是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。 区分青年、中年、 如：区分青年、中年、老年 模糊概念的数学表达是必不可少 是必不可少， 模糊概念的数学表达是必不可少，但是传统的集合 论在模糊概念面前就显得软弱无力
5 3 1/3 1 1
用代数平均法可求出Y关于 的权向量 用代数平均法可求出 关于z的权向量 z (Y）为 关于 的权向量w ） wz (Y）＝（ ）＝（0.475，0.263，0.055，0.099，0.110）T ）＝（ ， ， ， ， ）
关于y 设X＝｛ x1 ，x2 ， x3 ｝关于 i（i=1,2,…，5）的判断矩阵分别为 ＝｛ 的判断矩阵分别为
22
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度 隶属函数与隶属度
论域：被考虑的对象的全体这个集合称 论域：被考虑的对象的全体这个集合称 对象的全体这个集合 为论域。一般用英文大写斜体U 为论域。一般用英文大写斜体 、V或X、 或 Y来表示。 来表示。 来表示
21
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
岁的人是否属于中年这一集合？ 如：35岁的人是否属于中年这一集合？ 岁的人是否属于中年这一集合 比较合理的回答应当是： 岁的人既有 比较合理的回答应当是：35岁的人既有 一定程度的“青年成分” 一定程度的“青年成分”，也有某种程 度的“中年成分” 度的“中年成分”
1 1/3 1/8 1 2 5 1 1 3 3 1 1/3,A =1/2 1 2,A = 1 1 3 A1 = 2 3 8 3 1 1/5 1/2 1 1/3 1/3 1 1 3 4 1 1/4 1/4 1/3 1 1,A =4 1 1/4 A4 = 5 1/4 1 1 4 4 1
计算结果
i
wyi (X） ）
1 0.082 0.236 0.682
2 0.595 0.277 0.129
3 0.429 0.429 0.142
wk.baidu.com
4 0.633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
xi在z中所占的比重是他们的相应项的两两乘积 中所占的比重是他们的相应项的两两乘积 之和 wz (x1）=0.475*0.082+0.263*0.595+0.055*0.429 +0.099*0.633 +0.110*0.166＝ 0.300（其余略） ＝ （其余略）
23
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度 隶属函数与隶属度
集合特征函数的定义： 集合特征函数的定义：
24
定义： 定义：设A是论域U中的一个集合，对任 是论域U中的一个集合， 意的 0, x ∈ A
x ∈ U,令λ A(x) = 1, x ∉ A
计算结果 wz (X）＝ ）＝(0.300,0.246,0.456)T ）＝
结果表明，x 在旅游点的选择中占的比重 结果表明， 3 约为一半， 约为一半，应作为第一选择点
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
客观世界中， 客观世界中，存在着许多不确定的现象
集合A的特征函数。 λ A(x) 为集合A的特征函数。
集合A 集合A的特征函数的图形
λ
λA
［
A
］
U
集合A 集合A的特征函数
反之，若给定 上的一个特征函数 反之，若给定U上的一个特征函数 λ(x)，则由 它完全确定了U上的某一子集 它完全确定了 上的某一子集
A = {x | λ(x) = 1}
因此， 上的子集亦可由 上的子集亦可由U上的特征函数来确 因此，U上的子集亦可由 上的特征函数来确 上的全体子集构成的集合称为幂集， 定，U上的全体子集构成的集合称为幂集，记 上的全体子集构成的集合称为幂集 作P(U)。 。
层次结构分析模型
10
选择最佳旅游地点z 选择最佳旅游地点
y1
y2
y3
y4
y5
x1
x2
x3
用两两比较法得到Y关于 的判断矩阵为 用两两比较法得到 关于z的判断矩阵为 关于
1 1/2 A = 1/7 1/5 1/5
2 1 1/4 1/3 1/3
7 4 1 2 3
5 3 1/2 1 1
第三章 经典效能评估方法
第三章 经典效能评估方法
评估的基础理论
综合论 综合论就是对系统方案采用定性与定 量相结合， 量相结合，各系统属性评价与全系统 综合评价相结合。 综合评价相结合。
2
综合评估的逻辑框图
第三章 经典效能评估方法
第一节 第二节 层次分析法 模糊综合评估法
4
第三章 经典效能评估方法
特征值法
( A − mI ) w = 0
w1 w2 w2 w2 L wm w2 L L L L w1 wm w1 w1 w w2 w 2 = m 2 = mw wm ⋅ L L L wm wm wm wm
在普通集合中，任意元素只能是或属于 在普通集合中，任意元素只能是或属于 该集合，或不属于该集合， 该集合，或不属于该集合，二者必居其 各元素具有非此即彼的性质。 一，各元素具有非此即彼的性质。
20
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
对于一个模糊集合来说， 对于一个模糊集合来说，很难明确确定 某一元素是属于该集合， 某一元素是属于该集合，或不属于该集 合。
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
1965年，美国控制论专家Zadeh教授第一 年 美国控制论专家 教授第一 次提出了模糊集合的概念， 次提出了模糊集合的概念，由此开创一 门新的数学分支——模糊数学 门新的数学分支 模糊数学
18
第三章 经典效能评估方法
第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
应用举例： 应用举例：选择最佳旅游地点 考虑5个因素 费用y 景色y 个因素： 考虑 个因素：费用 1 ，景色 2 ，居 住条件y 饮食条件y 旅游条件y 住条件 3 ，饮食条件 4 ，旅游条件 5 给出三个预选地点x 给出三个预选地点 1 、x2 、x3
w1 w 1 w2 Aw = w 1 L w m w1
求解方程即可确定特征向量 w ，亦即确定各物体的质 量 w ( j = 1,2, L , m )
j
以上例子说明， 以上例子说明，将m个评估指标关于某个评估目标的重 个评估指标关于某个评估目标的重 要程度作两两比较（按表3.1所示的比例标度 所示的比例标度） 要程度作两两比较（按表 所示的比例标度）后可获得 判断矩阵 A ，再求 A T w = [w1 , w2 , L wm ] 的与特征值m相对应的特征向量 的与特征值 相对应的特征向量 并将其归一化即为评估指标的权重系数。 并将其归一化即为评估指标的权重系数。这种方法称为 多指标）权重排序的特征值法。 （多指标）权重排序的特征值法。 美国匹兹堡大学教授Saaty T．L．正是基于上面的基本 美国匹兹堡大学教授 ． ． 思想， 世纪70年代初提出了层次分析法(analytical 思想，在20世纪 年代初提出了层次分析法 世纪 年代初提出了层次分析法 hierarchy process，简称 ，简称AHP法)，这是一种定性分析与 法， 定量分析相结合的系统分析方法
由此可见，经典集合的运算完全可以借助其特 由此可见，经典集合的运算完全可以借助其特 征函数来进行， 征函数来进行，由于经典集合论的特征函数只 允许取0和 两个值 故与二值逻辑相对应， 两个值， 允许取 和1两个值，故与二值逻辑相对应，从 可以按照布尔代数的法则来进行运算： 而可以按照布尔代数的法则来进行运算： 模糊集合则是打破隶属度只取 和 两种值的限 模糊集合则是打破隶属度只取0和1两种值的限 则是打破隶属度只取 二值逻辑｛ ， ｝推广到可取［ ， ］ 制，将二值逻辑｛0，1｝推广到可取［0，1］ 上任意的无穷多个值的连续逻辑， 上任意的无穷多个值的连续逻辑，可以表现 亦此亦彼”的模糊概念。因此， “亦此亦彼”的模糊概念。因此，模糊集合的 µ 是特征函数的适当推广。 隶属函数(u) 是特征函数的适当推广。
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
6
特征值法
假定有m个物体， 假定有 个物体，他们的质量分别用 w = [w1 , w2 , L wm ] 个物体 （不妨假定 ∑ w j = 1
j =1 m
T
）
来表示。在没有任何称重仪器的情况下， 来表示。在没有任何称重仪器的情况下，可 通过下面的方法确定出
wj
的值。 将这m个物体的质量进行两两比较判断 个物体的质量进行两两比较判断， 的值 。 将这 个物体的质量进行两两比较判断 ， 其比 矩阵。 值可构成 m × m 矩阵。 T 具有如下性质： 矩阵 A 具有如下性质：若用质量向量 w = [w1, w2 ,Lwm ] 的特征方程， 右乘矩阵 A ，则得矩阵 A 的特征方程，即：
特征函数的运算具有以下三个基本性质： 特征函数的运算具有以下三个基本性质：
(1) λ A U B (x) = λ A (x) ∨ λ B (x) , (2) λ A I B (x) = λ A (x) ∧ λ B (x), (3) λ A (x) = 1 - λ A (x)。
λ A (x) ∨ λ B (x) = max {λ A (x) , λ B (x) }; λ A (x) ∧ λ B (x) = min {λ A (x) , λ B (x) };
第一节 层次分析法
层次分析法:是将决策问题的有关因素 层次分析法 是将决策问题的有关因素 分解成目标、准则、方案等层次， 分解成目标、准则、方案等层次，并在 此基础上进行定性分析与定量分析的一 种决策方法
5
第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
层次分析法的步骤： 层次分析法的步骤： 1构建递阶层次结构 构建递阶层次结构 2建立判断矩阵群 建立判断矩阵群 3权重向量的确定与一致性检验 权重向量的确定与一致性检验 4多人单准则下权重向量的计算 多人单准则下权重向量的计算
则称
λ A(x) 表示 对A的隶属程度，简称隶属度，这 表示x对 的隶属程度 简称隶属度 的隶属程度， 隶属度，
里的隶属度只能取0 里的隶属度只能取0和1两个值，反映了x绝对 两个值，反映了 绝对 属于A 绝对不属于A，因而只能表现“ 属于 或x绝对不属于 ，因而只能表现“非 绝对不属于 此即彼” 此即彼”的确切概念
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
从集合论的观点来看， 从集合论的观点来看，模糊性导致的不 确定性是因为某些因素的排中率被破坏 确定性是因为某些因素的排中率被破坏 而造成的。 而造成的。
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
模糊性” “随机性” 、 “模糊性” 随机性”
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1模糊集合概述 模糊集合概述
随机性造成的不确定性是由于对事物的因果律掌 随机性造成的不确定性是由于对事物的因果律掌 握不够，也就是说对事物发生的条件无法严格控制 对事物发生的条件无法严格控制， 握不够，也就是说对事物发生的条件无法严格控制， 以致一些偶然因素使试验结果产生了不确定性， 以致一些偶然因素使试验结果产生了不确定性，但 事物的本身却是有明确的含义的 模糊性是指某些事物或概念的边界不清楚， 是指某些事物或概念的边界不清楚 模糊性是指某些事物或概念的边界不清楚，这种 边界不清楚的模糊概念， 边界不清楚的模糊概念，不是由于人的主观认识达 不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性， 不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性， 是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。 是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。 区分青年、中年、 如：区分青年、中年、老年 模糊概念的数学表达是必不可少 是必不可少， 模糊概念的数学表达是必不可少，但是传统的集合 论在模糊概念面前就显得软弱无力
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用代数平均法可求出Y关于 的权向量 用代数平均法可求出 关于z的权向量 z (Y）为 关于 的权向量w ） wz (Y）＝（ ）＝（0.475，0.263，0.055，0.099，0.110）T ）＝（ ， ， ， ， ）
关于y 设X＝｛ x1 ，x2 ， x3 ｝关于 i（i=1,2,…，5）的判断矩阵分别为 ＝｛ 的判断矩阵分别为
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度 隶属函数与隶属度
论域：被考虑的对象的全体这个集合称 论域：被考虑的对象的全体这个集合称 对象的全体这个集合 为论域。一般用英文大写斜体U 为论域。一般用英文大写斜体 、V或X、 或 Y来表示。 来表示。 来表示
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
岁的人是否属于中年这一集合？ 如：35岁的人是否属于中年这一集合？ 岁的人是否属于中年这一集合 比较合理的回答应当是： 岁的人既有 比较合理的回答应当是：35岁的人既有 一定程度的“青年成分” 一定程度的“青年成分”，也有某种程 度的“中年成分” 度的“中年成分”
1 1/3 1/8 1 2 5 1 1 3 3 1 1/3,A =1/2 1 2,A = 1 1 3 A1 = 2 3 8 3 1 1/5 1/2 1 1/3 1/3 1 1 3 4 1 1/4 1/4 1/3 1 1,A =4 1 1/4 A4 = 5 1/4 1 1 4 4 1
计算结果
i
wyi (X） ）
1 0.082 0.236 0.682
2 0.595 0.277 0.129
3 0.429 0.429 0.142
wk.baidu.com
4 0.633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
xi在z中所占的比重是他们的相应项的两两乘积 中所占的比重是他们的相应项的两两乘积 之和 wz (x1）=0.475*0.082+0.263*0.595+0.055*0.429 +0.099*0.633 +0.110*0.166＝ 0.300（其余略） ＝ （其余略）
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度 隶属函数与隶属度
集合特征函数的定义： 集合特征函数的定义：
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定义： 定义：设A是论域U中的一个集合，对任 是论域U中的一个集合， 意的 0, x ∈ A
x ∈ U,令λ A(x) = 1, x ∉ A
计算结果 wz (X）＝ ）＝(0.300,0.246,0.456)T ）＝
结果表明，x 在旅游点的选择中占的比重 结果表明， 3 约为一半， 约为一半，应作为第一选择点
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
客观世界中， 客观世界中，存在着许多不确定的现象
集合A的特征函数。 λ A(x) 为集合A的特征函数。
集合A 集合A的特征函数的图形
λ
λA
［
A
］
U
集合A 集合A的特征函数
反之，若给定 上的一个特征函数 反之，若给定U上的一个特征函数 λ(x)，则由 它完全确定了U上的某一子集 它完全确定了 上的某一子集
A = {x | λ(x) = 1}
因此， 上的子集亦可由 上的子集亦可由U上的特征函数来确 因此，U上的子集亦可由 上的特征函数来确 上的全体子集构成的集合称为幂集， 定，U上的全体子集构成的集合称为幂集，记 上的全体子集构成的集合称为幂集 作P(U)。 。
层次结构分析模型
10
选择最佳旅游地点z 选择最佳旅游地点
y1
y2
y3
y4
y5
x1
x2
x3
用两两比较法得到Y关于 的判断矩阵为 用两两比较法得到 关于z的判断矩阵为 关于
1 1/2 A = 1/7 1/5 1/5
2 1 1/4 1/3 1/3
7 4 1 2 3
5 3 1/2 1 1
第三章 经典效能评估方法
第三章 经典效能评估方法
评估的基础理论
综合论 综合论就是对系统方案采用定性与定 量相结合， 量相结合，各系统属性评价与全系统 综合评价相结合。 综合评价相结合。
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综合评估的逻辑框图
第三章 经典效能评估方法
第一节 第二节 层次分析法 模糊综合评估法
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第三章 经典效能评估方法
特征值法
( A − mI ) w = 0
w1 w2 w2 w2 L wm w2 L L L L w1 wm w1 w1 w w2 w 2 = m 2 = mw wm ⋅ L L L wm wm wm wm
在普通集合中，任意元素只能是或属于 在普通集合中，任意元素只能是或属于 该集合，或不属于该集合， 该集合，或不属于该集合，二者必居其 各元素具有非此即彼的性质。 一，各元素具有非此即彼的性质。
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
对于一个模糊集合来说， 对于一个模糊集合来说，很难明确确定 某一元素是属于该集合， 某一元素是属于该集合，或不属于该集 合。
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述 模糊集合概述
1965年，美国控制论专家Zadeh教授第一 年 美国控制论专家 教授第一 次提出了模糊集合的概念， 次提出了模糊集合的概念，由此开创一 门新的数学分支——模糊数学 门新的数学分支 模糊数学
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第三章 经典效能评估方法
第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
应用举例： 应用举例：选择最佳旅游地点 考虑5个因素 费用y 景色y 个因素： 考虑 个因素：费用 1 ，景色 2 ，居 住条件y 饮食条件y 旅游条件y 住条件 3 ，饮食条件 4 ，旅游条件 5 给出三个预选地点x 给出三个预选地点 1 、x2 、x3
w1 w 1 w2 Aw = w 1 L w m w1
求解方程即可确定特征向量 w ，亦即确定各物体的质 量 w ( j = 1,2, L , m )
j
以上例子说明， 以上例子说明，将m个评估指标关于某个评估目标的重 个评估指标关于某个评估目标的重 要程度作两两比较（按表3.1所示的比例标度 所示的比例标度） 要程度作两两比较（按表 所示的比例标度）后可获得 判断矩阵 A ，再求 A T w = [w1 , w2 , L wm ] 的与特征值m相对应的特征向量 的与特征值 相对应的特征向量 并将其归一化即为评估指标的权重系数。 并将其归一化即为评估指标的权重系数。这种方法称为 多指标）权重排序的特征值法。 （多指标）权重排序的特征值法。 美国匹兹堡大学教授Saaty T．L．正是基于上面的基本 美国匹兹堡大学教授 ． ． 思想， 世纪70年代初提出了层次分析法(analytical 思想，在20世纪 年代初提出了层次分析法 世纪 年代初提出了层次分析法 hierarchy process，简称 ，简称AHP法)，这是一种定性分析与 法， 定量分析相结合的系统分析方法
由此可见，经典集合的运算完全可以借助其特 由此可见，经典集合的运算完全可以借助其特 征函数来进行， 征函数来进行，由于经典集合论的特征函数只 允许取0和 两个值 故与二值逻辑相对应， 两个值， 允许取 和1两个值，故与二值逻辑相对应，从 可以按照布尔代数的法则来进行运算： 而可以按照布尔代数的法则来进行运算： 模糊集合则是打破隶属度只取 和 两种值的限 模糊集合则是打破隶属度只取0和1两种值的限 则是打破隶属度只取 二值逻辑｛ ， ｝推广到可取［ ， ］ 制，将二值逻辑｛0，1｝推广到可取［0，1］ 上任意的无穷多个值的连续逻辑， 上任意的无穷多个值的连续逻辑，可以表现 亦此亦彼”的模糊概念。因此， “亦此亦彼”的模糊概念。因此，模糊集合的 µ 是特征函数的适当推广。 隶属函数(u) 是特征函数的适当推广。
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
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特征值法
假定有m个物体， 假定有 个物体，他们的质量分别用 w = [w1 , w2 , L wm ] 个物体 （不妨假定 ∑ w j = 1
j =1 m
T
）
来表示。在没有任何称重仪器的情况下， 来表示。在没有任何称重仪器的情况下，可 通过下面的方法确定出
wj
的值。 将这m个物体的质量进行两两比较判断 个物体的质量进行两两比较判断， 的值 。 将这 个物体的质量进行两两比较判断 ， 其比 矩阵。 值可构成 m × m 矩阵。 T 具有如下性质： 矩阵 A 具有如下性质：若用质量向量 w = [w1, w2 ,Lwm ] 的特征方程， 右乘矩阵 A ，则得矩阵 A 的特征方程，即：
特征函数的运算具有以下三个基本性质： 特征函数的运算具有以下三个基本性质：
(1) λ A U B (x) = λ A (x) ∨ λ B (x) , (2) λ A I B (x) = λ A (x) ∧ λ B (x), (3) λ A (x) = 1 - λ A (x)。
λ A (x) ∨ λ B (x) = max {λ A (x) , λ B (x) }; λ A (x) ∧ λ B (x) = min {λ A (x) , λ B (x) };
第一节 层次分析法
层次分析法:是将决策问题的有关因素 层次分析法 是将决策问题的有关因素 分解成目标、准则、方案等层次， 分解成目标、准则、方案等层次，并在 此基础上进行定性分析与定量分析的一 种决策方法
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第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
层次分析法的步骤： 层次分析法的步骤： 1构建递阶层次结构 构建递阶层次结构 2建立判断矩阵群 建立判断矩阵群 3权重向量的确定与一致性检验 权重向量的确定与一致性检验 4多人单准则下权重向量的计算 多人单准则下权重向量的计算
则称
λ A(x) 表示 对A的隶属程度，简称隶属度，这 表示x对 的隶属程度 简称隶属度 的隶属程度， 隶属度，
里的隶属度只能取0 里的隶属度只能取0和1两个值，反映了x绝对 两个值，反映了 绝对 属于A 绝对不属于A，因而只能表现“ 属于 或x绝对不属于 ，因而只能表现“非 绝对不属于 此即彼” 此即彼”的确切概念