小波_基础知识

线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出 离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域 同时具有正则性的正交小波基，证明了小 波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波 变换，给出了快速算法。 1988年，Daubecies在NSF的小波专题研讨 会进行了讲座
(3)在工程技术等方面的应用。包括计算 机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、 远程宇宙的研究与生物医学方面
参考资料



1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992. 2. S. Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998. 3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷， 世界图书出版社，1992. 4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。 5. 关肇直,张慕庆,冯德兴, 线性泛函分析入门， 上海科学技术出版社，1979.
2 2 R 2
3.平方可积函数空间 2 ( R)(能量有限空间 L ) L ( R) {x(t ) : x(t ) dt }
2 2 R
定义距离 ( x, y ) ( x(t ) y (t ) dt)1/ 2 x, y L2 ( R)
2 R
4.平方可和离散序列空间 2 l l 2 {x ( x1 , x2 , , xn ,) : xi }

J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检 测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的 简化
小波变换如同一台可变焦距的数学显微
镜，改变各种焦距便可探测到被处理信 号中所隐含的奇异点并识别出它的性质， 或分析出非平衡信号所包含的各种成分， 从而可有效地探测并诊断出精密复杂设 备中的疑难故障，是该领域具有明显应 用前景的前沿课题

现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在 实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而 特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 事实上小波分析的应用领域十分广泛， 它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图象处理；量子力学、理论物理、模式识别、 语音识别、地震勘探、流体力学、电磁场、 CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、 数值计算。
n 1

完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
完备的线性赋范空间称 Banach 为 空间。
设空间X中的任一序列 xi }iZ 都有极限，并且此极限 { 都在X中，该空间为完备的。
Hilbert （西耳伯特）空间
设X为复数域上的线性空间 ，从X X到C中定义了函数 , ，x, y, z X ,，满足 1. x, y y, z 2. , C , x y, z x, z y, z 3. x, x 0,当且仅当x 0时 x, x 0. 称 , 为X中的内积，X称为内积空间。范数x x, x ，距离 ( x, y ) x y, x y 完备的内积空间称为 Hilbert空间
i 1 2
定义距离 ( x, y ) [ ( xi yi ) 2 ]1/ 2 x, y l 2
i 1

函数空间概念
线性空间
设X是任一非空集合，在 中定义了线性运算（元 X 素的加法和元素的数乘 运算）， 并且满足加法或数乘的 结合律及分配律。 对于线性空间的任一向 量，用范数 x 来定义其长度。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。
什么叫张成span？
X { ak ek (t ); t , ak R, k Z }称X为由序列ek (t )张成的线性空间：
k
设ek (t )为一个函数序列， 表示为ek (t )所有可能的线性组合构 X 成的集合，即 X span{ek }
即g (t ) X , 有g (t ) ak ek (t )
小波变换教案
制作：王代强
绪论
小波变换的历史： 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理来自百度文库工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。

1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
1.{en }是X的完全标准正交系 2.M X 3.x X , x x, en
2 n 1 2
设{en }( n 1,2, )为Hilbert空间的标准正交系， span{en ; n 1,2, }, 则四个条件等价 M
4.x X , x x, en en
i 1 n 2
2.连续函数空间C[a, b] C[a, b] {x(t ) : x(t )是[a, b]上的连续函数 } 定义距离 ( x, y ) max x(t ) y (t ) t [a, b]; x, y C[a, b] 3.平方可积函数空间 2 ( R)(能量有限空间 L ) L ( R) {x(t ) : x(t ) dt }

军事电子对抗与武器的智能化；计算机分 类与识别；音乐与语言的人工合成；医学 成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机 械的故障诊断等方面；例如，在数学方面， 它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。在图象处理方面的图象压缩、分 类、识别与诊断，去污等。在医学成像方 面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间， 提高分辨率等。

说明
Z表示整数集合 R表示实数集合 C表示复数集合 Z ＋表示正整数集合 R n 表示n为欧氏空间 内积 x, y
x(t ) y (t )d t
R
常用的距离空间
1.n维欧氏空间R
n
n维向量x ( x1 , x2 , , xn )的全体所组成的集合 . x, y R n , 定义距离 ( x, y ) [ ( xi yi ) ]1/ 2




1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间


正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
k
什么叫基底？
如果ek (t )是线性无关的，使得上 式系数ak 是唯一的，称 ek (t )}kZ 为空间的基底 {
什么叫正交？
x, y为内积空间 中的两个元素，若 x, y 0, 称x与y正交，记作 y X x
什么叫标准正交系？
0 内积空间中元素列en }满足： em , en { 1 mn ，则称 en }为空间X中的标准正交系 { mn
第一章准备知识
距离空间
设X是任一集合，x, y X , 都对应一个实数 ( x, y ),而且满足 1.非负性： ( x, y ) 0，当且仅当x y时， ( x, y ) 0. 2.对称性： ( x, y ) ( y, x) 3.三角不等式：x, y, z X , 有 ( x, y ) ( x, z ) ( z, y ) 则称 ( x, y )为x和y之间的距离，X为以 ( x, y )为距离的距离空间。

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分 析应用的一个重要方面。它的特点是压缩 比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与 图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。 基于小波分析的压缩方法很多，比较成功 的有小波包最好基方法，小波域纹理模型 方法，小波变换零树压缩，小波变换向量 压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。 它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、 信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信 号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。