最新周期函数的傅里叶级数展开式

2 T t0
2
an T
t0 T t0
f
(t
) cos n
1t dt
2
bn T
t0 T t0
f
( t ) sinn
1t dt
频率相同的余弦项与正弦项合并为一个正弦函数
an cos n1t bn sinn1t An sin(n1t n )
An an2 bn2
4 T
T2
0 f (t)sin(n1t) dt
(2) 偶函数(even function)：
f ( t ) = f ( t )
偶函数的波 形对称于坐 标系的纵轴
bn 0,
a0 0, 2
an 0
an

2 T
t0 T t0
f (t)cos(n1t) dt
4
T
T2
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性， 仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为 奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和 时间起点的选择有关。
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谐波分析法(harmonic analysis)
具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数(odd function) ：
f ( t ) = f ( t )
奇函数的波 形对称于坐 标系的原点
a0 0, 2
an 0, bn 0
2
bn T
t0 T t0
f (t)sin(n1t) dt
n

arctan
an bn
基波(fundamental wave)或一次谐波(first harmonic)：
A1 sin(1t 1 )
n次谐波(n-th harmonic)：
An sin(n1t n ) (n 1)
二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic)
0 f (t)cos(n1t) dt
(3) 奇谐波函数(odd harmonic function) ：
f (t) f (t T ) 2
后半周对横轴的镜象是前半周的重复

f (t ) [an cos(n1t ) bn sin(n1t )] n1

An sin(n1t n ) (n 1,3,5, ) n1
§81 周期函数的傅里叶级数展开式
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )
满足狄里赫利条件(Dirichlet condition) 傅里叶级数：
f
(t)

a0 2


(an
n1
cos
n1t

bn
s in n1t )
Leabharlann Baidu 傅里叶系数：
a0 1 t0 T f ( t ) dt