第3章 时域瞬态响应分析

0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5
10
15 t
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
当0< <1，二阶系统的单位阶跃响应以ωn为角频率的
衰减振荡，随ξ的减小，其振荡幅度加大。 29
(2) 临界阻尼（ =1）状态
Xo(s)
2 n
Xi (s) (s n )2
xo(1t)
X 0 (s)
X o (s) Xi (s)
S平面 O
S平面 O
S平面
S平面
S平面
O
O
O
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
26
2、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
（1）欠阻尼（0< <1）状态
X o (s)
G(s)X i
(s)
s(s 2
2 n
2n s
2 n
)
s
n
2 n
jd s n
j d
1 s
1 s n
n
s
(s
n
)2
2 d
(s
0.632
B A
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8%
t
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T
14
1t
xo (t) 1 e T
(t 0)一阶系统的单位阶跃响应特点:
1、一阶系统的总是稳定的，无振荡；
2、经过时间T曲线上升到0.632的高度，可以利用实 验的方法测出响应曲线达到稳态值的63.2％高度点所 用的时间，实质就是时间常数T可以求出；
具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
（3）欠阻尼二阶系统（振荡环节）：0<ξ<1 具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
其中， d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
25
（4）零阻尼二阶系统：ξ＝0
具有一对共轭虚极点： p1,2 jn
（5）负阻尼二阶系统：ξ < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
x i
(t
)
0
（t 0)
6
2、斜坡函数
输入的变量是等速度变化的。当a=1时，称为
单位斜坡函数。
at (t 0） xi (t) 0 （t 0）
v(t) dat a
dt
7
3、加速度函数
输入变量是等加速度变化的。当a=1/2时该函数称
为单位加速度函数。
at 2 xi (t) 0
(t 0） (t 0）
控制工程基础
第三章
机械工程学院
第三章 时域瞬态响应分析
第一节 时域响应及典型输入信号
时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系
统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控 制性能。 优点：直观、简便
2
一、基本概念： ➢时域响应：系统在输入信号的作用下，其输出 随时间变化的过程。分为瞬态响应和稳态响应。 ➢瞬态响应：系统在输入信号的作用下，其输出 从初始状态到稳定状态的响应过程。 ➢稳态响应：输入信号的作用下，系统在时间趋 于无穷大时的输出状态。
导弹发射、 航天飞机
上天
单位正 弦函数
sin t (t 0)
xi (t) 0 (t 0)
(s 2
2)
机床振动
11
第二节 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
数学模型：T
dxo (t) dt
xo
(t)
xi
(t)
拉氏变换式：TsX o (s) X o (s) X i (s)
d 2 at 2 2a dt 2 2a 1 a 1
2
8
4、脉冲函数
➢输入变量是一种跃变信号。脉冲函数其脉冲高度 是a/t0，无穷大，持续时间为t0，无穷小，脉冲面积 为a。脉冲强度是以面积a来衡量的，当面积a=1时称 为单位脉冲函数，又称δ函数。
➢δ函数重要性质：拉氏变换等于1。
xi
(t)
dt
电、停电
单位斜
t t 0
坡函数 xi (t) 0 t 0
单位加速 度函数
xi
(t
)
1 2
t
2
t0
0 t 0
单位脉 冲函数
xi
(t)
tl0im0
1 t0
0
（0 t t0）
（t
0或t
t
）
0
1 s2
t d [1 t2] dt 2
雷达、恒 温装置
1
随动系统
s3
伺服系统
1
(t)
d [1(t)] dt
X o (s)
X X
o i
(s) (s)
X
i
(s)
2 n
1
s n n 2 1 s n n 2 1 s
1
1
1 2( 2
2 1 1) 2( 2
2 1 1)
s s n n 2 1 s n n 2 1
31
xo (t) 1 2(1
1
e( 2 1)nt
xo
(t)]
如果将lg[1 xo (t)]作为纵坐标，时间t作为横坐标，则得到的一条
过原点的直线，通过实测系统单位阶跃响应xo (t)，将[1 xo (t)]标
在半对数坐标纸上，如果得到一条直线，则可鉴别出该系统为一
阶惯性环节。
ln[1-xo(t)]
t
0
16
三、一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡函数：xi (t) t
拉氏变换式：X i (s)
1 s2
(t 0)
输出量的拉氏变换式：X o (s)
X o (s) X i (s)
X i (s)
1 ．1 Ts 1 s 2
1 T T s2 s s 1 T
单位斜坡的时间响应：xo
(t)
t
T
1t
Te T
(t 0)
17
1
单位斜坡的时间响应：xo
(t)
t
T
Te T
t
ξ为阻尼比；
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
23
二阶系统典型结构图
二阶系统的特征方程： s2 2ns n2 0
极点（特征根）：
p1,2 n n 2 1
24
（1）过阻尼二阶系统： ξ > 1 具有两个不相等的负实数极点：
p1,2 n n 2 1
（2） 临界阻尼二阶系统：ξ＝1
Xi (s)
2 n
(s n )2
1 s
1 s
(s
n n )2
(s
1
n )
0
t
xo(t) 1 (1nt)ent , t 0
➢单调上升，无振荡、无超调；
➢xo（ ) = 1，无稳态误差。 30
(3)过阻尼（ >1）状态
X o (s)
2 n
X i (s) s n n 2 1 s n n 2 1
其快慢由衰减系数n决定
其中， d n 1 2
称为阻尼振荡频率。即 1 衰减时间常数
n
(n )2 (n 1 2 )2 n
cos n n
arccos arctan 1 2
sin n
1 2
1 2
n
tg sin 1 2
28
cos
xo(t)
2 1.8
1.6
1.4
1.2
1
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
n )2
2 d
2 1
1
s n
n 2 1
s
(s
n
)2
2 d
(s
n )2
2 d
27
xo (t) 1 e nt cosdt
1 2
e nt
sin dt
1
e nt (
1 2
1 2 cosdt sin dt)
瞬态分量是一个随时间增
1
e nt
1 2
s in( d t
),
长而衰减的振荡过程
t0
2 1 2)
1
e( ， 2 1)nt t 0
2(1 2 1 2 )
xo(t) 1
远离虚轴的极 点，衰减快，
0
t
➢单调上升，无振荡，过渡过程时间长 ；
➢xo ( ) = 1，无稳态误差。
32
(4)无阻尼（ =0）状态
X o (s) Xi (s)
2 n
s2
2 n
X o (s)
X o (s) Xi (s)
4
选取典型信号的优点： 1、数学处理简单，给定典型信号下的性能指标便
于分析、设计系统。 2、典型信号的响应往往可以作为分析复杂输入时
系统性能的依据。 3、便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
5
1、阶跃函数
输入变量有一个突然的变化（突然的加入和突然的 停止)。当a＝1时称为单位阶跃函数。
a （t 0）
(t) (t) d [1(t)]
dt
1(t) 1(t) d [t]
dt
xo (t)
1
1t
eT
T
1t
1e T
t
t d [1 t2] dt 2
1t
t T Te T
响应关系
1
1t
eT
d
1t
[1 e T ]
T
dt
1t
1e T
d
[t T
1t
Te T ]
dt
1t
t T Te T
d
[1 t2
t
ξ<-1
35
几点结论 ：
➢二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： 1、 ＞1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；
2、 = 1时，单调上升，无振荡、无超调；
3、0< <1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，但响
应愈快， 4、 = 0时，出现等幅振荡；
5、 ＜0 时，阶跃响应发散，系统不稳定。
36
工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示 表和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼 比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时 又不至于产生过 大的振荡。
X o (s) X i (s)
X i (s)
1 ．1 Ts 1
s
ห้องสมุดไป่ตู้1 T
1 T
单位脉冲的时间响应：xo
(t)
1 T
1t
eT
(t 0)
19
单位脉冲的时间响应：xo
xo(t)
(t)
1 T
1
eT
t
1/T
1
0.368T
斜率
1 T2
xo(t)
(t 0)
0 T
t
20
五、响应之间的关系
xi (t) 函数关系
ξ一定时， n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即
系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。 一 般机电系统都具有正阻尼，此时系统是稳定的。
37
2、二阶系统的单位脉冲响应
（1）欠阻尼（0< <1）状态
X o (s)
tl0im0
a t0
0
（0
t
t
）
0
（t 0或t t0）
9
5、正弦函数
输入变量是正弦信号。当a=1时为单位正弦函数。
a sin t （当t 0)
xi (t) 0
（当t 0)
10
名称
时域表达式
拉氏变 换式
相互关系
应用
单位阶 跃函数
0 t 0 xi (t) 1 t 0
1 s
1(t) d [t] 突然的合
3、经过时间3T～ 4T，响应曲线已达到稳态值的95 ％ ～98％，可以认为其调整过程完成，故一般调整时 间为(3T ～4T)；
4、在t=0处响应曲线的切线的斜率为1/T。
dxo (t) 1
dt t0 T
15
5、
1 t
xo (t) 1 e T
1
eT
t＝1
xo
(t)
－ 1 T
lg
et
lg[1
这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定 常系统均成立。
22
第三节 二阶系统的瞬态响应
1、二阶系统
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。许多高
阶系统在一定的条件下通常近似为二阶系统来研究，
因此研究二阶系统具有重要的意义。
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2ns
n2
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，
Tt T 2
T
2
e
1 T
t
]
dt 2
1t2 2
1
t2
Tt
T
2
T
e2
1t T
2
21
响应的关系：系统对输入信号导数的响应，可通过将 输入信号响应求导得到；同理系统对输入信号积分的 响应等于对原输入信号响应的积分，积分常数由初始 状态确定。利用此特性可以使用一种信号输入而推导 出几种相应信号的响应结果。
xo(t) xi(t)
T e( )=T
(t 0)
xo(t)=t-T+Te-t/T
0
t
➢当t=∞ 时，e(∞ )=T。单位斜坡函数的响应的稳 态误差为T，当时间常数越小，则稳态误差越小。
18
四、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲函数：xi (t) (t)
拉氏变换式：X i (s) 1
输出量的拉氏变换式：X o (s)
3
二、典型输入信号：
一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和 扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时 其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析 时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些 具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这 些信号称为控制系统的典型输入信号。
常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单 位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数、 单位正弦函数。
X i (s)
1 ．1 Ts 1 s
1 T 1 1 s Ts 1 s s 1 T
单位阶跃的时间响应：xo
(t)
1
1
eT
t
(t 0)
13
t 0 T 2T 3T 4T 5T … ∞
xo (t) 0 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 … 1
xo(t) 斜率=1/T
1
xo (t) 1 et / T
Xi (s)
2 n
s2
2 n
1 s
1 s
s2
s
2 n
xo (t) 1 cosnt, t 0
33
频率为 n的等幅振荡。
xo(t) 2
1
0
t
34
5、负阻尼（ <0）状态 -1< <0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
0 -1< <0
t
0
传递函数：G(s) X o (s) 1 (其中T为时间常数） X i (s) Ts 1
一阶系统典型结构图
12
二、一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃函数：xi (t) 1(t) (t 0)