第四章 相关与回归

2. 相关关系： 当一个或几个相互联系的变 量取一定数值时，与之相对应的另一变 量的值虽然不确定，但它仍按某种规律 在一定的范围内变化。
现象之间客观存在的不严格、不确 定的数量依存关系。
变量间的关系
（相关关系）
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达；
（2）一个变量的取值不能由另
一个变量唯一确定；
第四章 相关和回归分析
第一节 第二节 第三节 第四节
相关关系和相关分析的内容 相关图表和简单相关系数 简单线性回归分析 非线性回归方程
第一节 相关关系和相关分析的内容
一、函数关系与相关关系
1.函数关系
当一个或几个变量取一定的值 时，另一个变量有确定值与之 相对应，我们称这种关系为确 定性的函数关系。
2.分组相关表：按自变量x分组，并计算次数f，对应的 因变量y不分组，计算其平均数。
指出下列现象之间属于相关关系还是函数关系？ 1.商品流转规模越大，流通费用率越低。 2.秤砣的误差越大，所权衡的误差也越大。 3.测量次数越多，其平均长度越接近于实际长度。 4.物体体积随着温度升高而膨胀，随着压力加大而
收缩。 5.车辆使用年限越长，修理费用增长越快。 6.圆的半径越大，其面积也越大。 7.广告费用支出越多，商品销售额也有增长倾向。 8.机械化程度越高，劳动生产率一般也越高。
2.按相关形式划分可以分为线性相关和非线性相关。
(1)
(2)
(3)
( 4)
图中（1）、（2）为线性相关，（3）、（4）为非线性相关
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3.按相关的方向划分可分为正相关和负相关。
（1）正相关：两个相关现象间，当一个变量的 数值增加（或减少）时，另一个变量的数值也随 之增加（或减少），即同方向变化。
完成量（小时） 20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时）18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
完成量（小时） 20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时）16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变 量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为 偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条 件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是 一种偏相关。
消费 物价 收入
三、相关分析的内容
1.确定相关关系的存在，相关关系呈现的的形态和 方向，相关的密切程度。 绘制相关图表，计算相关系数。
x
变量间的关系
（函数关系）
函数关系的例子
某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S =
r2
企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可 表示为y = x1 x2 x3
二、相关关系的种类
1.按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相 关。
——当一种现象的数量变化完全由另一个现象的数 量变化所确定时，称这两种现象间的关系为完全 相关。在这种场合，相关关系便成为函数关系。 因此也可以说函数关系是相关关系的一个特例。 ——当两个现象彼此互不影响，其数量变化各自独 立时，称为不相关现象。 ——两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之 间，称为不完全相关，一般的相关现象都是指这 种不完全相关。
2.确定相关系数的数学表达式——回归分析。 3.确定因变量估计值误差的程度。
拟合程度的评价 计算估计标准误
第二节 相关图表和简单相关系数
一、相关表
1.简单相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并配合因变量y 的数值一一对应而平行排列的表。 例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位产品成本之间的关系， 调查30个同类服务公司得到的原始数据如表。
——例如收入与消费的关系。
（2）负相关：当一个变量的数值增加（或减少） 时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或增加） 趋势变化，即反方向变化。
——例如物价与消费的关系。
4.按相关关系涉及的因素多少划分分为单相关、复 相关和偏相关。
两个变量之间的相关，称为单相关。
当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变 量的相关关系时，称为复相关。
整理后有 完成量（小时） 20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时）15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
完成量（小时） 40 40 40 40 50 50 50 50 50 50 80 80 80 80 80 单位成本（元/小时）15 15 15 16 14 14 15 15 15 16 14 14 14 14 15
y
（3）当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个；
（4）各观测点分布在直线周围。





x
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
（函数关系）
（1）是一一对应的确定关系
（2）设有两个变量 x 和 y ，
变量 y 随变量 x 一起变化， y
并完全依赖于 x ，当变量
x 取某个数值时， y 依确 定的关系取相应的值，则 称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变

量，y 称为因变量
（3）各观测点落在一条线上
温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关关系也具有某种变动规律性，所以，相 关关系经常可以用一定的函数形式去近似地 描述。
客观现象的函数关系可以用数学分析的方法 去研究，而研究客观现象的相关关系则是借 助于统计学中的相关与回归分析方法。