反比例函数知识点总结(供参考).doc

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

反比例函数知识点总结 李苗知

识点 1 反比例函数的定义

k 一般地，形如

y

x （k 为常数， k 0 ）的函数称为反比

例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；

⑵自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数值的取值范围是

y 0

；

⑶比例系数 k

0 是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

① y

k

x （ k 0），

②

y

kx

1

（ k 0 ），

③ x y k （定值）（ k 0 ）；

⑸函数

y

k

0 ）与 x

k

0 ）是等价的，

x

（ k y （ k

所以当 y 是 x 的反比例函数时， x 也是 y 的反比例函数。

（k 为常数， k 0 ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时，

y

k ，就不是反比例函数了，由于反比例函数

y

k

0 ）

x

（ k

x

中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y k

x（ k 0 ）中，只有一个待定系

数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

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知识点 3 反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线， 它有两个分支， 这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由

于反比例函数中自变量函数中自变量 x 0 ，函数值 y 0

，所以它

的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右 （或从右至左） 用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出， 但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点 4 反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质， 主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例

函数

k

的

符号

图像

k （ k

0 ）

y

x

k 0

k 0

① x 的取值范① x 的取值范围是x 0 ，

性质围是 x 0，的

y 的取值范围是y 0

y

取值范围是②当 k 0 时，函数图像22

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y 0

的两个分支分 在第二、

第四象限，在每个象限内，

②当 k

0 ，函

y 随 x 的增大而增大。 数 像的两个分

支分 在第一、

第三象限，在每

个象限内，y 随 x

的增大而减小。

注意：描述函数 的增减情况 ， 必 指出“在每个象限内⋯⋯”

否 ， 地 ，当

k 0 ， y 随 x 的增大而减小“，就会与

事 不符的矛盾。

反比例函数 像的位置和函数的增减性， 是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反 来，由反比例函数 像（双曲 ）的位置和

k

函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如 y

x 在第一、第三象限， 可知 k 0 。

k

☆反比例函数 y

x

（ k 0）中比例系数

k 的 k

的几何 意 。

如 所示， 双曲 上任一点 P （ x ，y ）分 作 x 、 y 的垂 ， E 、F 分 垂足，

k

xy x y PF PE

S 矩形OEPF

☆ 反比例函数

y

k （ k

0 ）中，

k

k

x

越大，双曲

y

x

k

越 离坐 原点；

k

越小，双曲 y

x

越靠近坐 原点。

☆

双曲 是中心 称 形， 称中心是坐 原点；双曲 又是 称 形， 称 是直 y=x 和直 y=－x 。

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☆ 经典例题透析

类型一 反比例函数的概念

☆

1．判断下列各式是否表示 y 是 x 的反比例函数，若

是，指出比例系数 k 的值；若不是，指出是什么函数 .

（ 1）

（ 5）

y 8 ;

（2）

xy

1 ;

x

9

y 2

；（6）

y

6

x

7x

（3）

y

4 3x;

（ 4）

y

1 x;

7

k

；（7）

y

x （ k 为常数， k 0 ）

☆ 2. 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数 . ☆ （1）面积为常数 m 的长方形的长 y 与宽 x 之间的关系； ☆

☆ （2）一本 500 页的书，每天看

15 页， x 天后尚未看完的

页数 y 与天数 x 之间的关系 .

☆

专题 2

反比例函数图象的位置与系数的关系

k

☆ 【专题解读】 反比例函数

y

x 的图象是由

两个分支组成的双曲线， 图象的位置与比例系

数 k 的关系有如下两种情况：