2021-2022年高三数学 专题13 空间的平行与垂直问题练习

2021-2022年高三数学专题13 空间的平行与垂直问题练习

一、前测训练

1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．

提示：法一：用线面平行的判定定理来证：

“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．

“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥

法二：用面面平行的性质

取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1．

2．已知底面为平行四边形的四棱锥S－ABCD中，P为SB中点，Q为AD上一点，若PQ∥面SDC，求AQ：QD．

答案：1：1

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C

(2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF

提示：(1)用面面平行的判定定理证：

证明BD∥B1D1，A1B∥D1C．(2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．A1

D1

A B

C

D

B1

C1

E·

F·

D

S

A B

C

P

Q

4．在正方体ABCD —A1B1C1D1中，M 为棱CC1的中点，AC 交BD 于O ，求证：A1O ⊥平面MBD 提示：用线面垂直的判定定理：

证BD ⊥平面AA1C1C ，从而得出BD ⊥A1O ； 在矩形AA1C1C 中，用平几知识证明A1O ⊥OM ；

5．在正三棱柱ABC －A1B1C1中，所有棱长均相等，D 为BB1的中点，求证：A1B ⊥CD ．

提示：取AB 的中点E ，连CE ，证A1B ⊥平面CDE ．

6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点． 求证：平面PEF ⊥平面PAC ．

提示：设EF 与AC 交于点O ，证EF ⊥AC ，EF ⊥OP ， 从而得出EF ⊥平面PAC ．

7．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面V AB ⊥侧面V AC ，求证：△V AC 是直角三角形．

提示：过B 作BD ⊥V A ，垂足为D ，

由侧面V AB ⊥侧面V AC ，得出BD ⊥侧面V AC ，从面BD ⊥AC ， 由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面V AB ．

所以AC ⊥V A ．

A 1 D 1 A

B

C

D B 1 C 1 M · O A 1 B C C 1 B 1

D A B C D A P

E F B C A

V

二、方法联想

1．证明线面平行

方法 1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P ；②连接PA 交平面α于点M ；③连接PA 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．

方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．

方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平行于平面α内一条直线A ’C ’；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．

证明线线平行

方法1：利用中位线；

方法2：利用平行四边形；

方法3：利用平行线段成比例；

方法4：利用平行公理；

方法5：利用线面平行性质定理；

方法6：利用线面垂直性质定理；

方法7：利用面面平行．

2．已知线面平行

方法 过直线l 做平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．

m l

α

① ② A B C A ’

C ’ ① ② ① A M N

B 或 ① ② ③ P A B ④ ① ② ③ A B P ④ M N M N

3．面面平行证明

方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．

注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．

4．证明线面垂直

方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直．

证明线线垂直

方法1：利用线面垂直；

方法2：利用线线平行；

方法3：利用勾股定理；

方法4：利用等腰三角形三线合一；

方法5：利用菱形对角线互相垂直；

方法6：利用四边形为矩形．

5．构造垂面证线线垂直

要证l 垂直于AB ，构造垂面证线线垂直步骤:

如下图：①过A 找垂直于l 的直线AC ；②连结BC ，③证BC 垂直l ，则l ⊥面ABC ．

6．证明面面垂直

关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．

找垂线的一般方法：

（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；

（2）找（或做）两平面交线的垂线．

7．已知线面垂直

优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．

三、例题分析(考虑立体几何的难度，三个层次学校题目均相同)

例1：在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ． (1)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ；

(2)求证：CE ∥平面PAB ．

证明：(1)在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°， ∴AC ＝2AB ，又∵PA ＝2AB ，∴AC ＝PA ， ∵F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ；

∵PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵∠ACD ＝90°，∴CD ⊥AC ， AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，

∵PC ?平面PAC ，∴CD ⊥PC ，

∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC ，

∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．

(2)提示：

A

B l

C

① ②

A C D

B E

P F E

P

①中心投影法：延长CD 与AB 交于G ，证明CE ∥PG ．

②平行投影法：取PA 中点M ，过C 作CN ∥AD 交AB 于N ．

证四边形CEMN 是平行四边形，从而得CE ∥MN ．

③面面平行的性质：取AD 中点H ，证明平面CEH ∥平面PAB ．

【教学建议】

1．本题涉及到证明空间的线面垂直与线面平行．

2．证明线面垂直通常的方法：

(1)定义法：a ⊥b ，b 为平面α内任意一条直线? a ⊥平面α．

(2)线面垂直的判定定理：a ⊥m ，a ⊥n ，m ?平面α，n ?平面α，m ∩n ＝A ? a ⊥平面α．

(3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l ，a ?平面α，a ⊥l ? a ⊥平面α．

3．证明直线与平面平行的方法：

(1)定义法：常常借助反证法完成；

(2)判定定理：a ∥b ，a ?平面α，b ?平面α? a ∥平面α．

用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，

其方法有：中心投影法与平行投影法．

证明线线平行常用方法：

①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等．

②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ?m ∥n ．

③线面垂直的性质：a ⊥平面α，b ⊥平面α?a ∥b ．

④公理4：a ∥c ，b ∥c ?a ∥b ．

(3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a ?平面α? a ∥平面α．

例2：如图，在四棱台ABCD －A1B1C1D1中，D1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， AB ＝2AD ，AD ＝A1B1，∠BAD ＝60°．

(1)证明：AA1⊥BD ；(2)证明：CC1∥平面A1BD ．

证明：(1)法一：因为D1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，

所以D1D ⊥BD ．

又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，

在△ABD 中，由余弦定理得

BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2．

因此AD ⊥BD ．

又AD∩D1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD1A1．

又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD ．

法二：因为D1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，

所以BD ⊥D1D ．

取AB 的中点G ，连接DG ，

在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD ，又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形．

因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB ，又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°．

故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°．所以BD ⊥AD ．

又AD∩D1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD1A1．

又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD ．

(2)连接AC ，A1C1．

设AC∩BD ＝E ，连接EA1，

因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12

AC ． 由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A1B1知，A1C1∥EC 且A1C1＝EC ，

所以四边形A1ECC1为平行四边形．因此CC1∥EA1．

又因为EA1?平面A1BD ，CC1?平面A1BD ，所以CC1∥平面A1BD ．

【教学建议】

1．本题涉及证明线线垂直，线面平行．

2．证明异面直线垂直问题，一般的方法是证线面垂直，要根据图中已有的线线垂直，找到所需证明的平面；证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”． 例3：如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．

(1)求证：AD ⊥PC ；(2)求三棱锥P －ADE 的体积；

(3)在线段AC 上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．

证明(1)∵ PD ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，∴PD ⊥AD ，

∵底面ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ，

∴AD ⊥平面PDC ，PC ?平面PDC ，

∴AD ⊥PC ； (2)由(1)知AD ⊥平面PDC ，∴AD 的长为A 到平面PDE 的距离，

在直角三角形PDC 中，E 为PC 中点，PD ＝DC ＝4，

∴S △PDE ＝4，∴VP －ADE ＝V A －PDE ＝13×S △PDE×AD ＝13×4×2＝83

． (3) 当M 为AC 中点时，PA ∥平面EDM ， 即在线段AC 上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ．

∵M 为AC 中点，E 为PC 中点，∴EM ∥PA ，又PA ?平面EDM ，EM ?平面EDM ，

∴PA ∥平面EDM ． 此时AM ＝12AC ＝12

42＋22＝ 5． 【教学建议】

1．本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件．

2．证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面；

多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．

3．对命题条件的探索常采用以下三种方法：

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

4．对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．

四、反馈练习n%23550 5BFE 対27931 6D1B 洛29801 7469 瑩121764 5504 唄32758 7FF6 翶*39540 9A74 驴19978 4E0A 上y=31141 79A5 禥?

A

B

D C E

P