自动控制原理 第3章1-4节
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1. 一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系
r (t) δ（t） c(t)
1 T t e T
1
1（t）
t
1 2 t 2
1 e
1 t T
t T (1 e
1 t T
)
1
t 1 2 2 t Tt T (1 e T ) 2
EXIT
第3章第24页
2. 结论
一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。 从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等
T
2T
3T 4T
5T
t
特点：① 按指数规律上升 ② t=0处切线斜率为1/T ③
t T c(t ) 63%c()
dc(t ) dt
t 0
1 e T
1 t T
t 0
1 T
∴参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验
曲线确定T
EXIT 第3章第21页
单位斜坡响应
单位斜坡信号R ( s ) 1 s2 1 1 1 1 T T C ( s) R( s) 2 2 Ts 1 Ts 1 s s s s 1/ T
对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。
对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。
EXIT
第3章第28页
[方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图： Ts 1
R s +
1 Ts 1
c(t ) (t T ) Te
t T
t 0
1 t T t
ess lim[t c (t )] lim [t (t T T e
t
)] T
EXIT
第3章第22页
单位抛物线响应
1 单位抛物线信号R( s ) 3 s 1 1 1 1 T T2 T2 C ( s) R( s) 3 3 2 Ts 1 Ts 1 s s s s s 1/ T
EXIT
第3章第11页
3.1.3 时域性能指标
1. 动态性能指标 描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随 t衰减的变化状态的指标，称为动态性能指标。 c(t)
cmax
c(∞)
0.05c(∞)
0
tr
tp
EXIT
ts
t
第3章第12页
（1）上升时间tr 响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响 应曲线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统） 反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。 （2）峰值时间tp 响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。 （3）调整时间（调节时间）ts 在 响 应 曲 线 从 0 到 达 且 不 再 超 过 稳 态 值 的 ±5% 或 ±2%误差范围所需的最少时间。（允许误差△=0.05或 △= 0.02）
抛物线函数的拉普拉斯变换为
1 2 C L[ Ct (t )] 3 2 s
EXIT
第3章第8页
4. 脉冲函数
0， t 0或t h r (t ) A h， 0t h
其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于 零的极限，则有
， t 0 r (t ) 0， t 0
阶跃函数的拉普拉斯变换为
A L[ A (t )] s
EXIT
第3章第6页
2. 斜坡函数
0，t 0 r (t ) Bt，t 0
斜坡函数的拉普拉斯变换为
B L[t (t )] 2 s
EXIT
第3章第7页
3. 抛物线函数
0，t 0 r (t ) 1 2 2 Ct ，t 0
R(s)
E (s )
-
K s
Y (s)
典型的一阶系统的结构图如图所示。 其闭环传递函数为：
K Y ( s) 1 1 s ( s ) K s R(s) 1 s K 1 Ts 1
1 式中，T ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 K 常数越小。
EXIT
第3章第18页
单位脉冲响应
EXIT
第3章第2页
3.1 典型输入信号和时域分析法 3.2 一阶系统的动态响应
3.3 二阶系统的动态响应
3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态误差分析与计算
EXIT
第3章第3页
3.1 典型输入信号和 时域分析法
EXIT
第3章第4页
典型信号的选取原则
① 输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入；
r (t )dt A
当A=1（ h →0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 (t ) 。
理想脉冲函数的拉普拉斯变换为
L[ (t )] 1
EXIT 第3章第9页
5. 正弦函数
r (t ) A sin t
正弦函数的拉普拉斯变换为
A L[ A sin t ] 2 2 s
Y s
反馈后系统的闭环传递函数为：
1 1 Ts 1 1 K ( s ) ' T 1 s 1 T s 1 Ts 1 1
EXIT 第3章第29页
[方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。 原系统为：
R s +
K s
Y s
传递函数为： 0 ( s ) 改进后系统为：
t
0 td
ts
上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间 为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:
tr t2 t1 2.197T
EXIT 第3章第26页
调整时间ts :假设系统的误差 带宽度为,则根据调整时间的 定义有: t s 1 % 1 e T 得： 4T， 2 t s T ln % 3T， 5
EXIT
第3章第10页
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典 型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终 状态的响应过程。
2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋 于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态 响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，用稳态 误差来描述。
时ts≤0.1秒
由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。
EXIT
第3章第32页
S t R esponse ep 10 9 8 7 6
k 0.1
A m plt iude
5 4 3 2 1 0 0 0. 1 0. 2 0. 3 T i e (sec) m
EXIT
k 0.3
0. 4
0. 5
EXIT
第3章第14页
（二）单调变化的响应 单调变化响应曲线如图所示：
y
0.05 y ()
y ()
或 0.02 y ()
y () 2
tr td ts
t
这种响应没有超调量，只用调整时间ts表示瞬态过程的快 速性，调整时间的定义同上所述。有时也采用上升时间tr 这一指标。上升时间的定义应修改为由稳态值的10%上升 到90%所需的时间。
t s 0
式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是 系统的误差。
EXIT
第3章第16页
3.2
Βιβλιοθήκη Baidu
一阶系统的 动态响应
EXIT
第3章第17页
3.2.1 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：
dy (t ) T y (t ) r (t ) dt
y (t )
y ()
y ( ) %
( 2或5)
t
0 td
ts
峰值时间tp 和超调量%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线， 没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。
EXIT
第3章第27页
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。
于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信
号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。
EXIT
第3章第25页
3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
y (t ) y ( ) %
( 2或5)
延迟时间td ：延迟时间定义为输 出响应第一次达到稳态值的50%所 需的时间。
y ()
td 0.693 T
第3章 控制系统 的时域分析法
EXIT
第3章第1页
控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系 统的性能。在经典控制理论中，常采用时城分析法、根 轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方 法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响 应的全部信息。
t 1 1 1 c(t ) L 1 e T (t 0) 1 s s T
EXIT 第3章第20页
c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
1/T
0.87 0.63 0.95 0.98 0.99
没有超调，非周期响应， 惯性环节亦称非周期环节。
EXIT
第3章第13页
（4）最大超调量σ% 指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百 分比
%
c(t p ) c() c ( )
100%
（5）振荡次数N：在调节时间ts内，c(t)偏离c(∞)的振荡次数。 注： 上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行 的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡激烈 程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节 时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。
R s +
1 Ts 1
K s
Y s
K
1 ( s) ' K 1 T 1 s 1 s 1 T s 1 s K s
EXIT
1
1
T
'
T
第3章第30页
例：已知一阶系统的方块图如图所示。①试求该系统单位阶跃 响应的调整时间ts；②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。
单位抛物线信号R( s) 1 1 1 1T C ( s) R( s) 1 Ts 1 Ts 1 s 1/ T
c(t ) (1 T )e
t T
t 0
EXIT
第3章第19页
单位阶跃响应
1 单位阶跃信号R( s) s 1 1 1 1 1 C (s) R( s) 1 Ts 1 Ts 1 s s s T
1 2 2 t T c(t ) t Tt T (1 e ) 2
t0
当 时 间 t→∞ 时 ， 系 统 输出信号与输入信号 之差将趋于无穷大 。 说明对于一阶系统是 不能跟踪单位抛物线 函数输入信号的。
e(t ) Tt T (1 e
2
t T
)
EXIT
第3章第23页
3.2.1 一阶系统的重要性质
② 输入信号在形式上应尽可能简单，易于在实验室获得, 以便于对系统响应的分析； ③ 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为 典型输入信号。
常用的典型实验信号
阶跃、斜坡、抛物线、脉冲
正弦（频率分析法）
EXIT
第3章第5页
1. 阶跃函数
0，t 0 r (t ) A，t 0
R(s)
-
100 s
C (s )
0.1 解：①由系统方块图求出闭环传递函数： 100 Y (s) 100 10 s ( s) R( s) 1 100 0.1 s 10 0.1s 1 s 由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒
所以：ts=3T=0.3秒（0.05）
EXIT 第3章第31页
②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 R(s) 可设反馈系数为k
100 1 Y (s) s k ( s) R( s) 1 100 k 0.01 s 1 s k
-
100 s
C (s )
k
当T
0.01 0.03 ，则 ts 3T 0.1，即 k 0.3 k k
EXIT 第3章第15页
稳态过程的性能指标
当响应时间t>ts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳 态过程的性能指标主要是稳态误差。当时间趋于无穷大时， 若系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态 误差是控制系统精度或抗干扰能力的一种度量。
ess lim e(t ) lim sE ( s )
0. 6
第3章第33页
3.3
二阶系统的 动态响应
r (t) δ（t） c(t)
1 T t e T
1
1（t）
t
1 2 t 2
1 e
1 t T
t T (1 e
1 t T
)
1
t 1 2 2 t Tt T (1 e T ) 2
EXIT
第3章第24页
2. 结论
一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。 从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等
T
2T
3T 4T
5T
t
特点：① 按指数规律上升 ② t=0处切线斜率为1/T ③
t T c(t ) 63%c()
dc(t ) dt
t 0
1 e T
1 t T
t 0
1 T
∴参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验
曲线确定T
EXIT 第3章第21页
单位斜坡响应
单位斜坡信号R ( s ) 1 s2 1 1 1 1 T T C ( s) R( s) 2 2 Ts 1 Ts 1 s s s s 1/ T
对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。
对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。
EXIT
第3章第28页
[方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图： Ts 1
R s +
1 Ts 1
c(t ) (t T ) Te
t T
t 0
1 t T t
ess lim[t c (t )] lim [t (t T T e
t
)] T
EXIT
第3章第22页
单位抛物线响应
1 单位抛物线信号R( s ) 3 s 1 1 1 1 T T2 T2 C ( s) R( s) 3 3 2 Ts 1 Ts 1 s s s s s 1/ T
EXIT
第3章第11页
3.1.3 时域性能指标
1. 动态性能指标 描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随 t衰减的变化状态的指标，称为动态性能指标。 c(t)
cmax
c(∞)
0.05c(∞)
0
tr
tp
EXIT
ts
t
第3章第12页
（1）上升时间tr 响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响 应曲线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统） 反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。 （2）峰值时间tp 响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。 （3）调整时间（调节时间）ts 在 响 应 曲 线 从 0 到 达 且 不 再 超 过 稳 态 值 的 ±5% 或 ±2%误差范围所需的最少时间。（允许误差△=0.05或 △= 0.02）
抛物线函数的拉普拉斯变换为
1 2 C L[ Ct (t )] 3 2 s
EXIT
第3章第8页
4. 脉冲函数
0， t 0或t h r (t ) A h， 0t h
其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于 零的极限，则有
， t 0 r (t ) 0， t 0
阶跃函数的拉普拉斯变换为
A L[ A (t )] s
EXIT
第3章第6页
2. 斜坡函数
0，t 0 r (t ) Bt，t 0
斜坡函数的拉普拉斯变换为
B L[t (t )] 2 s
EXIT
第3章第7页
3. 抛物线函数
0，t 0 r (t ) 1 2 2 Ct ，t 0
R(s)
E (s )
-
K s
Y (s)
典型的一阶系统的结构图如图所示。 其闭环传递函数为：
K Y ( s) 1 1 s ( s ) K s R(s) 1 s K 1 Ts 1
1 式中，T ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 K 常数越小。
EXIT
第3章第18页
单位脉冲响应
EXIT
第3章第2页
3.1 典型输入信号和时域分析法 3.2 一阶系统的动态响应
3.3 二阶系统的动态响应
3.5 稳定性和代数稳定判据 3.6 稳态误差分析与计算
EXIT
第3章第3页
3.1 典型输入信号和 时域分析法
EXIT
第3章第4页
典型信号的选取原则
① 输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入；
r (t )dt A
当A=1（ h →0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 (t ) 。
理想脉冲函数的拉普拉斯变换为
L[ (t )] 1
EXIT 第3章第9页
5. 正弦函数
r (t ) A sin t
正弦函数的拉普拉斯变换为
A L[ A sin t ] 2 2 s
Y s
反馈后系统的闭环传递函数为：
1 1 Ts 1 1 K ( s ) ' T 1 s 1 T s 1 Ts 1 1
EXIT 第3章第29页
[方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。 原系统为：
R s +
K s
Y s
传递函数为： 0 ( s ) 改进后系统为：
t
0 td
ts
上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间 为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:
tr t2 t1 2.197T
EXIT 第3章第26页
调整时间ts :假设系统的误差 带宽度为,则根据调整时间的 定义有: t s 1 % 1 e T 得： 4T， 2 t s T ln % 3T， 5
EXIT
第3章第10页
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典 型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终 状态的响应过程。
2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋 于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态 响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，用稳态 误差来描述。
时ts≤0.1秒
由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。
EXIT
第3章第32页
S t R esponse ep 10 9 8 7 6
k 0.1
A m plt iude
5 4 3 2 1 0 0 0. 1 0. 2 0. 3 T i e (sec) m
EXIT
k 0.3
0. 4
0. 5
EXIT
第3章第14页
（二）单调变化的响应 单调变化响应曲线如图所示：
y
0.05 y ()
y ()
或 0.02 y ()
y () 2
tr td ts
t
这种响应没有超调量，只用调整时间ts表示瞬态过程的快 速性，调整时间的定义同上所述。有时也采用上升时间tr 这一指标。上升时间的定义应修改为由稳态值的10%上升 到90%所需的时间。
t s 0
式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是 系统的误差。
EXIT
第3章第16页
3.2
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一阶系统的 动态响应
EXIT
第3章第17页
3.2.1 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：
dy (t ) T y (t ) r (t ) dt
y (t )
y ()
y ( ) %
( 2或5)
t
0 td
ts
峰值时间tp 和超调量%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线， 没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。
EXIT
第3章第27页
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。
于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信
号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。
EXIT
第3章第25页
3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
y (t ) y ( ) %
( 2或5)
延迟时间td ：延迟时间定义为输 出响应第一次达到稳态值的50%所 需的时间。
y ()
td 0.693 T
第3章 控制系统 的时域分析法
EXIT
第3章第1页
控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系 统的性能。在经典控制理论中，常采用时城分析法、根 轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方 法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响 应的全部信息。
t 1 1 1 c(t ) L 1 e T (t 0) 1 s s T
EXIT 第3章第20页
c(t) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
1/T
0.87 0.63 0.95 0.98 0.99
没有超调，非周期响应， 惯性环节亦称非周期环节。
EXIT
第3章第13页
（4）最大超调量σ% 指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百 分比
%
c(t p ) c() c ( )
100%
（5）振荡次数N：在调节时间ts内，c(t)偏离c(∞)的振荡次数。 注： 上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行 的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡激烈 程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节 时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。
R s +
1 Ts 1
K s
Y s
K
1 ( s) ' K 1 T 1 s 1 s 1 T s 1 s K s
EXIT
1
1
T
'
T
第3章第30页
例：已知一阶系统的方块图如图所示。①试求该系统单位阶跃 响应的调整时间ts；②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。
单位抛物线信号R( s) 1 1 1 1T C ( s) R( s) 1 Ts 1 Ts 1 s 1/ T
c(t ) (1 T )e
t T
t 0
EXIT
第3章第19页
单位阶跃响应
1 单位阶跃信号R( s) s 1 1 1 1 1 C (s) R( s) 1 Ts 1 Ts 1 s s s T
1 2 2 t T c(t ) t Tt T (1 e ) 2
t0
当 时 间 t→∞ 时 ， 系 统 输出信号与输入信号 之差将趋于无穷大 。 说明对于一阶系统是 不能跟踪单位抛物线 函数输入信号的。
e(t ) Tt T (1 e
2
t T
)
EXIT
第3章第23页
3.2.1 一阶系统的重要性质
② 输入信号在形式上应尽可能简单，易于在实验室获得, 以便于对系统响应的分析； ③ 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为 典型输入信号。
常用的典型实验信号
阶跃、斜坡、抛物线、脉冲
正弦（频率分析法）
EXIT
第3章第5页
1. 阶跃函数
0，t 0 r (t ) A，t 0
R(s)
-
100 s
C (s )
0.1 解：①由系统方块图求出闭环传递函数： 100 Y (s) 100 10 s ( s) R( s) 1 100 0.1 s 10 0.1s 1 s 由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒
所以：ts=3T=0.3秒（0.05）
EXIT 第3章第31页
②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 R(s) 可设反馈系数为k
100 1 Y (s) s k ( s) R( s) 1 100 k 0.01 s 1 s k
-
100 s
C (s )
k
当T
0.01 0.03 ，则 ts 3T 0.1，即 k 0.3 k k
EXIT 第3章第15页
稳态过程的性能指标
当响应时间t>ts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳 态过程的性能指标主要是稳态误差。当时间趋于无穷大时， 若系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态 误差是控制系统精度或抗干扰能力的一种度量。
ess lim e(t ) lim sE ( s )
0. 6
第3章第33页
3.3
二阶系统的 动态响应