高三一轮复习二项式定理ppt课件
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二项式定理
.
1．二项式定理 (1)试写出二项式定理的展开式． 提示：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*) (2)其通项公式是什么？二项式系数是什么？ 提示：Tr＋1＝Crnan－rbr,表示第 r＋1 项;Crn(r＝0,1,…，n)
.
A．1 或－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3
[课堂笔记]
.
【解析】(1)Tk＋1＝Ck152 k x k，Ck1－5 12 k－1≤Ck152 k， Ck15＋12k＋1≤Ck152 k ⇒239≤k≤332，k＝10， 所以第 11 项的系数最大． (2)令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x＝－2， 得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39， 即 m2＋2m＝3，解得 m＝1 或－3.
＝4，所以关于 x 的一次项的系数为 C49(－12)9－4·(－1)4＝－6136.
.
求二项展开式中的项或项的系数的方法： (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分 别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母 的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等， 一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等 式(组)求取值范围．
为 T3＋1＝C36(4x2)3(－1x)3＝－1 280x3.
.
二项式系数的性质
(1)(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项为( D )
A．第 8 项
B．第 9 项
C．第 8 项和第 9 项
D．第 11 项
(2)(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋ 1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为( A )
.
1．(1)(2014·东北三校联考)若( x－ 1 )n 的展开式中第四项 3
2x
为常数项，则 n＝( B )
A．4
B．5
C．6
D．7
.
(2)(2014·湖北八校联考)设 a＝12(3x2－2x)dx，则二项式(ax2
－1x)6 展开式中的第 4 项为( A )
A．－1 280x3
B．－1 280
(ax＋21ax)9 的展开式中，关于 x 的一次项的系数为__－__61_36___． [课堂笔记]
.
Baidu Nhomakorabea
【解析】(1)x－
1 6的展开式通项为 x
Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r·
1 r x
＝(－1)rCr6x6－32r，令 6－32r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C46
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
C．240
D．－240
.
【解析】(1)由二项展开式可得 Tr＋1＝Crn( x)n－r·(－ 1 )r＝ 3
2x
(－
1)r2－
n－
rCrnx 2
rx－3r，
从而
n－5
T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nx 2 ，由
题意可知n－2 5＝0，则 n＝5.
(2)由微积分基本定理知 a＝4，(4x2－1x)6 展开式中的第 4 项
.
2．二项式系数的性质
.
1．( x＋x22)n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n
等于( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
.
2．(2013·高考江西卷)x2－x235展开式中的常数项为( C )
A．80
B．－80
C．40
D．－40
3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中
.
(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都 成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值 法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、 －1 或 0”，有时也取其他值． (2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a、b∈R)的展开形式 系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
分别为
A1，A2，…，An＋1，且第
k
项系数最大，应用Ak≥Ak－1， Ak≥Ak＋1
从而解出 k 值．
.
2．(1)如果(x2－21x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最
大，那么展开式中的所有项的系数之和是( D )
A．0
B．256
C．64
D.614
(2)(1＋2x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x3 与 x4 项的二项 式系数相等，则系数最大项为__6_7_2_x_5__．
x2 的系数为 5，则 a＝( D )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
.
4．(2014·深圳市调研考试)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3 ＋a4x4＋a5x5，则 a3＝___8_0____． 5．若 C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cnn－1＋3n－1＝85，则 n 的值 为___4_____．
∴C38a3＝7，∴a＝12.
.
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
1 x
)r＝Cr9(－12
)9－r·(－
1)rx9－2r，令
9－2r＝1，r
.
二项展开式中的特定项或特定项的系数
(1)(2013·高考天津卷)x－ 1x6的二项展开式中的
常数项为___1_5____； (2)(2013·高考安徽卷)若(x＋ a )8 的展开式中，x4 的系数为 7，
3 x
1 则实数 a＝____2____.
.
(3)(2014·安徽合肥市质量检测)已知 a＝20π (sin2x2－12)dx，则
温馨提醒：(1)二项式的展开式共有 n＋1 项，Cknan－kbk 是第 k＋1 项，即 k＋1 是项数，Cknan－kbk 是项． (2)通项是 Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0，1，2，…，n)．其中含有 Tk＋1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五 个元素． (3)在 Tk＋1＝Cknan－kbk 中，Ckn就是该项的二项式系数，它与 a， b 的值无关；而 Tk＋1 项的系数是指化简后字母外的数．
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1．二项式定理 (1)试写出二项式定理的展开式． 提示：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*) (2)其通项公式是什么？二项式系数是什么？ 提示：Tr＋1＝Crnan－rbr,表示第 r＋1 项;Crn(r＝0,1,…，n)
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A．1 或－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3
[课堂笔记]
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【解析】(1)Tk＋1＝Ck152 k x k，Ck1－5 12 k－1≤Ck152 k， Ck15＋12k＋1≤Ck152 k ⇒239≤k≤332，k＝10， 所以第 11 项的系数最大． (2)令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x＝－2， 得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39， 即 m2＋2m＝3，解得 m＝1 或－3.
＝4，所以关于 x 的一次项的系数为 C49(－12)9－4·(－1)4＝－6136.
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求二项展开式中的项或项的系数的方法： (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分 别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母 的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等， 一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等 式(组)求取值范围．
为 T3＋1＝C36(4x2)3(－1x)3＝－1 280x3.
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二项式系数的性质
(1)(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项为( D )
A．第 8 项
B．第 9 项
C．第 8 项和第 9 项
D．第 11 项
(2)(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋ 1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为( A )
.
1．(1)(2014·东北三校联考)若( x－ 1 )n 的展开式中第四项 3
2x
为常数项，则 n＝( B )
A．4
B．5
C．6
D．7
.
(2)(2014·湖北八校联考)设 a＝12(3x2－2x)dx，则二项式(ax2
－1x)6 展开式中的第 4 项为( A )
A．－1 280x3
B．－1 280
(ax＋21ax)9 的展开式中，关于 x 的一次项的系数为__－__61_36___． [课堂笔记]
.
Baidu Nhomakorabea
【解析】(1)x－
1 6的展开式通项为 x
Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r·
1 r x
＝(－1)rCr6x6－32r，令 6－32r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C46
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
C．240
D．－240
.
【解析】(1)由二项展开式可得 Tr＋1＝Crn( x)n－r·(－ 1 )r＝ 3
2x
(－
1)r2－
n－
rCrnx 2
rx－3r，
从而
n－5
T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nx 2 ，由
题意可知n－2 5＝0，则 n＝5.
(2)由微积分基本定理知 a＝4，(4x2－1x)6 展开式中的第 4 项
.
2．二项式系数的性质
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1．( x＋x22)n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n
等于( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
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2．(2013·高考江西卷)x2－x235展开式中的常数项为( C )
A．80
B．－80
C．40
D．－40
3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中
.
(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都 成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值 法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、 －1 或 0”，有时也取其他值． (2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a、b∈R)的展开形式 系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
分别为
A1，A2，…，An＋1，且第
k
项系数最大，应用Ak≥Ak－1， Ak≥Ak＋1
从而解出 k 值．
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2．(1)如果(x2－21x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最
大，那么展开式中的所有项的系数之和是( D )
A．0
B．256
C．64
D.614
(2)(1＋2x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x3 与 x4 项的二项 式系数相等，则系数最大项为__6_7_2_x_5__．
x2 的系数为 5，则 a＝( D )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
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4．(2014·深圳市调研考试)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3 ＋a4x4＋a5x5，则 a3＝___8_0____． 5．若 C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cnn－1＋3n－1＝85，则 n 的值 为___4_____．
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
1 x
)r＝Cr9(－12
)9－r·(－
1)rx9－2r，令
9－2r＝1，r
.
二项展开式中的特定项或特定项的系数
(1)(2013·高考天津卷)x－ 1x6的二项展开式中的
常数项为___1_5____； (2)(2013·高考安徽卷)若(x＋ a )8 的展开式中，x4 的系数为 7，
3 x
1 则实数 a＝____2____.
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(3)(2014·安徽合肥市质量检测)已知 a＝20π (sin2x2－12)dx，则
温馨提醒：(1)二项式的展开式共有 n＋1 项，Cknan－kbk 是第 k＋1 项，即 k＋1 是项数，Cknan－kbk 是项． (2)通项是 Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0，1，2，…，n)．其中含有 Tk＋1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五 个元素． (3)在 Tk＋1＝Cknan－kbk 中，Ckn就是该项的二项式系数，它与 a， b 的值无关；而 Tk＋1 项的系数是指化简后字母外的数．