金融学与数学

金融学与数学

金融的含义

据查证，20世纪30年代，位于南京的中央政治大学赵阑玶教授编写的《货币学》首次提及“金融”一词，并提及“金融恐慌”、“金融状态之恶化”等。以后的教科书常用为：“金融，即货币资金的融通”，意在表明它在货币资金盈余者与短缺者之间调剂货币资金的余缺。《中国金融百科全书》（经济管理出版社1990年版）中“金融”的词条为：“货币流通和信用活动和信用活动以及与之相关的经济活动的总称。”起合理性是将货币流通和信用活动融为一体，但这一定义毕竟限制了金融功能的发挥，也淡化了市场的作用。至今关于金融的定义，有学者著书谓“现代金融是以货币或货币索取权形式存在的资产的流通”。据此，金融这一庞大系统大致包括与物价有紧密联系的货币流通，银行与非银行金融机构体系、短期资金拆借市场、资本市场、保险系统以及国际金融等领域。

货币金融理论的发展

虽然自有人类记录的历史以来便有了金融交易，尽管在古代先贤哲人那里就有了对货币金融问题的分析，但在经济学作为独立的学科诞生前，其研究主要是与哲学、伦理学、政治学等学科融合在一起。从历史发展的角度看，货币金融理论成为相对独立的学科体系却是在20世纪初，它是伴随着经济学成为独立学科——古典经济学的兴起而产生的。理论界一般以1914年美国学者和银行家豪兹沃斯

（J.H.Holdsworth）出版的著作《货币与银行》（Money and Banking）

为金融学的发端，至今已经历了一个世纪，其间大致经历了从货币面纱论到货币经济论，再到金融经济论这样一个发展过程。

对于一个世纪的西方货币金融理论的发展，理论界一般是以20世纪50年代美国经济学家哈利·马克维茨（H.M.Markowitz）创建现代资产组合理论为标志，将其划分为古典金融理论和现代金融理论两个阶段。

金融学数学化的原因和基础

自1952年的Markowitz证券组合选择理论和1973年的

Black-Scholes期权定价理论为标志的两次“华尔街革命”以来，经典金融学理论的宏伟大厦就拔地而起，而这座大厦德基石就是数学。

经典金融学的中心问题就是定价问题。这种定价不是通过考虑经济活动者得行为以及各种经济条件来进行的，而更多地通过一部分金融资产的价格来为另一部分的金融资产定价，其依据是这些金融资产的未来不确定性之间的依赖关系。就如G.Debreu(1921-2004)在他1983年的诺贝尔经济学奖获奖演说中所说：“商品空间有实向量空间结构这一事实是经济学数学化成功的基本原因”那样，金融学数学化的基本原因是：金融资产组合（portfolio）的价值等于金融资产价值的组合（combination）.换句话说，无论是金融资产的未来不确定价值还是其当前的确定价值，各种金融资产组合的价值全体构成了一个线性空间。这样的线性空间框架就是从Markowitz证券组合选择理论开始的。对于一个确定的实数来刻画金融资产当前价值来说，这无无非是使人注意到实数域中可进行线性运算，但是对于用若干个实数（表示

不同状态下有不同价值）或一个随机变量（表示价值有随机变化）来刻画的金融资产未来价值来说，这就必须要用一个线性空间的概念来刻画，这个线性空间我们称之为“未来权益线性空间”。这样一来，“二时期的金融资产定价问题”就是要在未定权益线性空间与实数之间建立某种对应关系。

这种“对应关系”就是所谓的“定价法则”。由于金融资产组合的价值有线性空间结构，人们发现两个有意思的结论：如果市场满足“一价定律”，那么金融资产的未来值（线性空间元素）与当前价值（实数）之间的对应关系是线性函数；如果市场“无套利机会”，那么这一线性函数为正线性函数。后一个结论就是经典金融学的所谓“资产定价基本定理”，甚至被称为“金融学基本定理”。

金融学中的具体数学模型

金融学中的数学模型主要有五种，分别是：有限维未定权益空间（线性代数）、无限维未定权益空间（泛函分析）、金融中的最优化问题（数学规划）、金融信息结构的数学描述（概率论）、连续时间金融学的数学基础（随机分析）。从金融学的角度看，我们从线性空间理论出发，是为了体现金融学得以数学化的基本原因在于“金融资产组合的价值等于金融资产价值的组合”。当这些价值只有有限种可能，或者基本证券只有有限种时，这种未定权益线性空间是有限维的；而当这些价值都是一般的随机变量时，并且基本的证券可能有无限种时，这种未定权益线性空间是无限维的；又因Markowitz理论以及金融学的其他需要，引出了最优化问题；再有概率论的公理体系，引出

随机过程理论和鞅论的基础，目标是金融市场多期模型的资产定价理论。

有限维未定权益空间。n种商品可能有的各种数量状况总体就是一个n维的线性空间，它就称为商品空间，其中每一个n维向量就简称为商品向量。如果把不同时刻、不同状态下的商品看作不同的商品，那么当所考虑的时刻个数和状态个数都是有限的情况下，商品空间仍然是一个有限维线性空间，只是空间的维数不再是商品的种类数，而是商品种类数与各时刻的状态个数和的乘积。在金融学中，这里的商品就是钱，练个时刻就是“当前”和“未来”，而“当前”是确定的，这有一种状态，“未来”则是不确定的，有S种状态，于是一个n=S+1维向量就可以理解为不同状态下值不同前的对象，它可以是一种金融资产（证券）的“当前”和“未来”的价值。

无限维未定权益空间。把有限维未定权益空间推广到无限维未定权益空间，即包含无限种基本证券的“未定权益空间”。假定市场上有无限种基本证券并非是不可理解的事情。我们可以把不同时刻、不同场合的同类证券看作不同的证券是合理的，更不要说在场外交易中时时刻刻都可能产生无穷无尽的新衍生证券。

可行的做法是直接取Lº（Ω，F，P）或它的子空间来作为“无限维未定权益空间“，即把其中的元素都看作某种“未定权益”（证券、证券组合、衍生证券等等的未来价值）。这些线性空间上的线性运算的含义仍然与有限维未定权益空间中一样，即其中的若干元素的线性组合恰好对应相应的未定权益的组合。

金融中的最优化问题。金融中有很多最优化问题。例如Markowitz 证券组合选择问题、最优消费—证券投资问题等等，都是要求解一个目标函数在一定约束条件下的最优化，Markowitz证券组合选择问题是如何确定未知量，使得证券组合在期望收益一定是，风险（收益率的方差或标准差）最小。

金融信息结构的数学描述。金融市场中的有关不确定性德信息结构在数学上是用概率论来描述的。这种数学描述仅仅利用简单的概率、随机变量等概念很难说清楚，必须从概率论的公理体系出发，才能使这种信息结构有比较清晰的陈述。

连续时间金融学的数学基础。连续时间金融学的模型中都假定时间是连续变化的。这样的模型更本质地反映了当今的金融市场市场瞬息万变、证券交易分秒必争。

金融学数学化的意义

上述的五种数学模型从数学的角度来看分属五个不同的数学学科分支，但如果围绕现代经典金融学的数学框架来组织有关内容，还是存在某种系统的相对性将五种数学学科串起一条线来的。

我们之所以强调数学公理化方法是因为这种方法目前在经济学、金融学的理论研究中已经成为必不可少的工具。运用数学模型来分析金融问题更加客观更加理性。

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