(完整版)高中数学平面向量总复习题
平面向量总复习题
一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案:B
2.当|a |=|b |≠0且a 、b 不共线时,a +b 与a -b 的关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
解析:∵(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2
=0,∴(a +b )⊥(a -b ). 答案:B
3.下面有五个命题,其中正确的命题序号为
①单位向量都相等;②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;③若a ,b 满足|a |>|b |且a 与b 同向,则a >b ;④由于零向量方向不确定,故0不能与任何向量平行;⑤对于任意向量a ,b ,必有|a +b |≤|a |+| b |
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
解析:①单位向量方向不确定,故不一定相等,所以命题①错误; ②方向相反的向量一定是共线向量,故命题②错误; ③两向量不能比较大小,故命题③错误; ④0与任意向量平行,故命题④错误; ⑤命题⑤正确. 答案:B
4.下列四式中不能..化简为的是( ) A.)(++ B.)()(-++ C.+- D.BQ AB PA -+
解析:A 选项中,PQ AQ PA PA AQ AQ BQ AB =+=+=+,
B 选项中,-=+=0,=+=-,+0=
C 选项中,-=+=0,-+0=+0=.
D 选项中,≠-=+,,(∵=+) 答案:D
5.已知正方形ABCD 的边长为1,AB =a ,BC =b ,AC =c ,则a +b +c 的模等于( )
A.0
B.2+2
C.2
D.22
解析:∵AC BC AB =+,∴a +b =c ,∴a +b +c =2c ,∴|2c |=22.
答案:D
6.如图所示,D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则下列等式中不正确...的是
A.FA DA FD =+
B.EF DE FD ++=0
C.EC DA DE =+
D.FD DE DA =+
答案:D
7.已知a ,b 为非零向量,|a +b |=|a -b |成立的充要条件是 A.a ∥b B.a ,b 有共同的起点 C.a 与b 的长度相等 D.a ⊥b
解析:|a +b |=|a -b |?|a +b |2=| a -b |2?(a +b )2=(a -b )2?a 2
+2a ·b +b 2?a 2-2 a ·b +b 2
?a ·b =0?a ⊥b
答案:D
8.下面有五个命题,其中正确命题的序号是
①|a |2
=a 2
;②
a
b
a b a =?2;③(a ·b )2=a 2·b 2;④(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2;⑤若a ·b =0,则a =0或b =0
A.①②③
B.①④
C.②④
D.②⑤
解析:②
a
b
a b a b a a b a ≠==?||cos ||||cos ||||22αα ③(a ·b )2
=(| a ||b |cos α)2
=| a |2
|b |2
cos 2
α,a 2
·b 2
=| a |2
·|b |2
,∴(a ·b )
2
≠a 2·b 2
⑤若a ·b =0,则a =0或b =0或a ⊥b 且a ≠0,b ≠0. 答案:B
9.若点P 分有向线段21P P 成定比为3∶1,则点P 1分有向线段P P
2所成的比为
A.-3
4 B.-
3
2 C.-
2
1 D.-
2
3
3411
2-=P
P ,则点P 1分有向线段P 2所成的比为-34
.
答案:A
10.已知点A (x ,5)关于点C (1,y )的对称点是B (-2,-3),则点P (x ,y )到原点的距离是
A.4
B.13
C.15
D.17
解析:由中点坐标公式可得
y x =-=-2
3
5,122,解得x =4,y =1, 再由两点间距离公式得17142222=+=+y x .
答案:D
11.将点(a ,b )按向量a =(h ,k )平移后,得到点的坐标为 A.(a -h ,b +k ) B.(a -h ,b -k ) C.(a +h ,b -k ) D.(a +h ,b +k )
解析:设平移后点的坐标为(x ′,y ′),则根据平移公式可得???=-'=-'k b y h a x ,∴?
??+='+='k b y h
a x
答案:D
12.点A (2,0),B (4,2),若|AB |=2|AC |,则点C 坐标为
A.(-1,1)
B.(-1,1)或(5,-1)
C.(-1,1)或(1,3)
D.无数多个 解析:由题意|AB |=222)24(2
2
=+-, ∴|AC |=
22
|
|=AB . 故点C 分布在以点A 为圆心,半径为2的圆上,故点C 坐标有无数多个. 答案:D
13.将曲线f (x ,y )=0按向量a =(h ,k )平移后,得到的曲线的方程为 A.f (x -h ,y +k )=0 B.f (x -h ,y -k )=0 C.f (x +h ,y -k )=0 D.f (x +h ,y +k )=0
解析:设平移后曲线上任意一点坐标为(x ′,y ′),则根据平移公式可得???=-'=-'k y y h
x x ,
∴?
??-'=-'=k y y h
x x
又f (x ,y )=0,∴f (x ′-h ,y ′-k )=0
即f (x -h ,y -k )为平移后曲线方程.
答案:B
14.设P 点在x 轴上,Q 点在y 轴上,PQ 的中点是M (-1,2),则|PQ |等于( ) A.42 B.25
C.5
D.210
解析:由题意设P (x ,0),Q (0,y ),由中点坐标公式可得2x =-1,2
y
=2 解得x =-2,y =4, ∴|PQ |=52204)2(22==
+-.
答案:B
15.下列命题中,正确的是 A.|a ·b |=| a |·|b |
B.若a ⊥(b -c ),则a ·b =a ·c
C.a 2
>|a |
D.a (b ·c )=(a ·b )c
解析:A .a ·b =|a ||b |cos α,|a ·b |=|a ||b ||cos α|≠| a ||b | B.若a =0,则a ·b =a ·c ,
若b -c =0,即b =c ,a ·b =a ·c ;
若a ≠0,且b -c ≠0,由a ⊥(b -c ),得a ·(b -c )=0. ∴a ·b -a ·c =0,∴a ·b =a ·c ,故B 正确.
C.若|a |=0或1,则a 2
=|a |. D.向量的数量积不满足结合律. 答案:B
16.函数y =4sin2x 的图象可以由y =4sin (2x -3
π
)的图象经过平移变换而得到,则这个平移变换是
A.向左平移6π个单位
B.向右平移6π
个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π
个单位
解析:∵用x -6π替换掉函数y =4sin2x 中的x 可得y =4sin2(x -6
π
)=4sin (2x
-
3
π
), 故可将原函数图象向左平移
6
π
个单位得到. 答案:A
17.已知m ,n 是夹角为60°的两个单位向量,则a =2m +n 和b =-3m +2n 的夹角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:∵m ·n =|m ||n |cos60°=
2
1, ∴|a |=7)(22
=+n m ,|b |=7)23(2
=+-n m
∴a ·b =(2 m +n )(-3m +2 n )=-6 m 2+2 n 2
+m ·n =-6+2+
21=-2
7 ∴cos α=2
1
||||-=?b a b a ,∴α=120°
答案:C
18.将函数y =2
2x
的图象按a 平移后,函数解析式为y =12
12-x -1,则a 等于( )
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(1,-1)
D.(-1,1) 解析:y =12
12
-x -1,即y +1=)2(2
1
2
-x
∴用x -2,y +1分别替换了原函数解析式中的x ,y 即??
?=+'=-'y y x x 12,∴???-=-'=-'12
y y x x 即???-==1
2k h
∴a =(2,-1) 答案:B
19.在直角三角形中,A 、B 为锐角,则sin A ·sin B
A.有最大值
21
和最小值0 B.有最大值2
1
,但无最小值
C.既无最大值,也无最小值
D.有最大值1,但无最小值 解析:∵△ABC 为直角三角形,∴B =2
π
-A ∴sin A ·sin B =sin A ·sin (2
π
-A )=sin A ·cos A =21sin2A
当A =B =
4
π
时,有最大值21,但无最小值.
答案:B
20.α、β是锐角三角形的三个内角,则 A.cos α>sin β且cos β>sin α B.cos α<sin β且cos β<sin α C.cos α>sin β且cos β<sin α D.cos α<sin β且cos β>sin α
解析:∵α、β是锐角三角形两内角,
∴α+β>
2π,∴2π>α>2
π
-β>0, ∴sin α>sin (2
π
-β)
即sin α>cos β,同理sin β>cos α 答案:B
21.在△ABC 中,sin A <sin B 是A <B 的
A.充分不必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解析:由正弦定理可得
B b A a sin sin =
,∴B
A
b a sin sin = 由sin A <sin B 可得a <b
根据三角形小边对小角可得A <B ,反之由A <B 也可推得sin A <sin B 故sin A <sin B 是A <B 的充要条件. 答案:C
22.在△ABC 中,tan A ·tan B >1,则△ABC 为
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
解析:∵tan A ·tan B >1>0,又∵A 、B 不可能同时为钝角,∴tan A >0,tan B >0, ∴tan (A +B )=
B
A B
A tan tan 1tan tan -?<0,
∴90°<A +B <180°,∴0°<C <90°, ∴△ABC 为锐角三角形. 答案:A
23.在△ABC 中,A 、B 、C 相应对边分别为a 、b 、c ,则a cos B +b cos A 等于 A.2cos C B.2sin C C.
2
b
a + D.c
解析:由正弦定理得:
B
b
A a sin sin =
=2R 得a =2R sin A ,b =2R sin B
∴a cos B +b cos A =2R sin A cos B +2R cos A sin B =2R sin (A +B )=2R sin C =c 答案:D
24.在△ABC 中,已知cos A =
135,sin B =5
3
,则cos C 等于 A.6516 B.6556 C.6516或65
56 D.-
65
16 解析:由sin B =5
3
,得
cos B =±B 2sin 1-=±5
4
但当cos B =-5
4
,cos A +cos B <0,C 无解
∴cos C =cos [180°-(A +B )]=-cos (A +B ) =-(cos A cos B -sin A sin B ) =sin A sin B -cos B cos A =
1312·5453-·65
16
135=
答案:A
25.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果a 2<b 2+c 2
,则A 的取值范围是( ) A.90°<A <180° B.45°<A <90°
C.60°<A <90°
D.0°<A <90°
解析:∵a 2<b 2+c 2,∴b 2+c 2-a 2
>0,
∴cos A =bc
a c
b 22
22-+>0,∴A <90°,
又∵a 边最大,∴A 角最大
∵A +B +C =180°,∴3A >180°, ∴A >60°,∴60°<A <90° 答案:C
26.已知点A 分的比为2,下列结论错误的是 A.B 分的比为-3
2 B.C 分的比为-
3 C.A 分的比为2
D.C 分的比为-
3
1 解析:数形结合可得C 选项错误. 答案:C
27.在△ABC 中,若B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积为 A.23
B.3
C.23或3
D.23或43
解析:sin C =
2
3
230sin 32=?,
∴C =60°或120°,∴A =90°或30° ∴S △ABC =2
1
AB ·AC ·sin A =23或3. 答案:C
28.在△ABC 中,若sin B ·sin C =cos 2
2A
,则△ABC 是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:∵sin B ·sin C =
2
cos 1A
+ 又cos A =cos [180°-(B +C )]=-cos (B +C )=-(cos B cos C -sin B sin C ) ∴2sin B sin C =1-cos B cos C +sin B sin C , ∴cos B cos C +sin B sin C =1 ∴cos (B -C )=1,∴B =C , ∴△ABC 是等腰三角形. 答案:A 二、解答题
1.设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知=2e 1+k e 2,=e 1+3 e 2,=2e 1
-e 2,若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.
分析:由于A 、B 、D 三点共线,因此存在实数λ,使=λ,而=-=e 1-4e 2,将、的e 1、e 2表达式代入上式,再由向量相等的条件得到关于λ、k 的方程组,便可求得k 的值.
解:=-=(2 e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2,
∵A 、B 、D 三点共线,∴存在实数λ,使=λ,∴2 e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2) 于是可得?
?
?-==λλ
42k ,解得k =-8.
评述:此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件,要注意两个向量共线和三点共线
的区别和联系.
2.已知a 、b 是两个非零向量,当a +t b (t ∈R )的模取最小值时, (1)求t 的值;
(2)求证b ⊥(a +t b ).
分析:利用|a +t b |2=(a +t b )2
进行转换,可讨论有关|a +t b |的最小值问题,若能算得b ·(a +t b )=0,则证明了b ⊥(a +t b ).
(1)解:设a 与b 的夹角为θ
则|a +t b |2=(a +t b )2
=a 2+2a ·t b +t 2b 2
=|a |2+2t |a ||b |cos θ+t 2|b |2
=|b |2t 2+(2|a ||b |cos θ)t +|a |2
=|b |2
(t +
|
|||b a cos θ)2+|a |2sin 2
θ ∴当t =-
|
|||b a cos θ=-22||||cos ||||b b
a b b a ?-=θ时,|a +t b |有最小值.
(2)证明:b ·(a +t b )=b ·(a -2||b b a ?·b )=a ·b -2
||b b
a ?·
b ·b =a ·b -a ·b =0
∴b ⊥(a +t b ).
评述:对|a +t b |变形,可以从两个角度进行思考,一是通过|a +t b |2=(a +t b )2
的数量积运算;二是通设坐标化思想,进行向量的坐标运算,从而达到求解求证目的.
3.如图所示,OADB 是以向量=a ,=b 为边的平行四边形,又BM =
3
1
BC ,CN =3
1
CD ,试用a ,b 表示,,.
解:OB OA BA -==a -b
∵6
1
6131===
(a -b ) ∴BM OB OM +==b +61(a -b )=61a +6
5
b
又由=a +b ,得
32326121==+=
a +3
2
b 32(=-=a +32b )-(61a +65b )=21a -6
1
b
评述:由于a ,b 不共线,因此a ,b 构成平行四边形OADB 所在平面的一组基底,用它
们可以表示出这个平面内的任何向量,将所要用a ,b 表示的向量连同a ,b 设法放在一个三角形或平行四边形内,是解决此类问题的常见方法.
4.已知O 为△ABC 所在平面内一点,且满足2222||||||||CA OB BC OA +=+2||OC =
2||+.
求证:O 点是△ABC 的垂心
证明:设OA =a ,OB =b ,OC =c ,则BC =c -b ,CA =a -c ,AB =b -a . ∵|OA |2
+|BC |2
=|OB |2
+|CA |2
=|OC |2
+|AB |2
∴a 2+(c -b )2=b 2+(a -c )2=c 2+(b -a )2
即c ·b =a ·c =b ·a ,
故·=(b -a )·c =b ·c -a ·c =0
·=(c -b )·a =c ·a -b ·a =0
∴AB ⊥OC ,BC ⊥OA , ∴点O 是△ABC 的垂心.
5.如图所示,圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点,求证:2=+++. 证明:设M 、N 分别为圆O 的两弦AB 、CD 的中点,连OM 、ON ,则OM ⊥AB ,ON ⊥CD . ∵2,2=+=+ 而AB ⊥CD ,∴四边形MPNO 为矩形
∴PO PN PM =+,
∴PO PD PC PB PA 2=+++
6.已知△ABC 中,A (2,-1),B (3,2),C (-3,-1),BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD 的坐标.
解:设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,
∴?????=?//0 ∴?
?
?=+---+=--?+-0)1)(3()2)(3(0
)3,6()1,2(y x y x y x
∴??
?=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0
)1(3)2(6y x y x y x
∴??
?=+-=-+0120
32y x y x
解得??
?==1
1
y x ∴点D 坐标为(1,1),=(-1,2)
7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边,且2(sin A -sin B ),sin A -sin C ,2(sin B -sin C )成等比数列.
求证:2b =a +c .
证明:要证2b =a +c ,由正弦定理只要证: sin B -sin A =sin C -sin B 即可:
由已知可得:(sin A -sin C )2
-4(sin A -sin B ) (sin B -sin C )=0,且sin A ≠sin B ,构造方程:
(sin A -sin B )x 2
-(sin A -sin C )x +(sin B -sin C )=0,且x =1是方程的根 Δ=(sin A -sin C )2-4(sin A -sin B )·(sin B -sin C )=0,∴方程有两相等实根
由韦达定理可知:
B
A C
B sin sin sin sin --=1
∴sin B -sin C =sin A -sin B ,故结论得证.
8.设i ,j 是平面直角坐标系内x 轴,y 轴正方向上的两个单位向量,且AB =4i +2j ,
=3i +4j ,证明△ABC 是直角三角形,并求它的面积.
解:-==(3i +4j )-(4i +2j )=-i +2j 又i ⊥j ,∴i ·j =0
∵AB ·BC =(4i +2j )(-i +2j )=-4i 2
+6i ·j +4j 2
=0,∴AB ⊥BC
∴△ABC 是直角三角形, ∴S =
21|·||=2
1
×25×5=5 9.已知△ABC 中三内角满足A +C =2B ,
B C A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2
C
A -的值. 解:由A +C =2
B ,可得B =60°,A +
C =120° 设
2
C
A -=α,则A -C =2α, ∴A =60°+α,C =60°-α, ∴
)
60cos(1
)60cos(1cos 1cos 1αα-?++?=+C A B
cos 24
3cos cos sin 43cos 41cos sin 2
3cos 211
sin 23cos 211
222-
=-=
-=++
-=
αα
ααααααα 将B =60°代入得
224
3
cos cos 2-=-
αα
∴22cos 2
α+cos α-
2
2
3=0 ∴(2cos α-2)(22cos α+3)=0 ∴22cos α+3>0
∴cos α=
2
2 即cos
2
2
2=-C A 10.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,求证:C
B A c b a sin )
sin(222-=-
证明:∵a 2=b 2+c 2
-2bc cos A ,
C
B
c b sin sin =
,C =π-(A +B ) ∴C
A
B A c b c b a sin cos sin 21cos 21222-=-=-
C B A C A B B A C
A
B B A
C A B C sin )sin(sin cos sin cos sin sin cos sin 2)sin(sin cos sin 2sin -=
-=-+=
-=
故原等式成立.
11.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,且c 为最大边,若ac cos A +bc cos B <4S ,其中S 为△ABC 的面积.
求证:△ABC 为锐角三角形.
证明:由余弦定理及三角形面积公式ac cos A +bc cos B <4S
即ac ·bc a c b 2222-++bc ·ac
b c a 22
22-+<2ab sin C <2ac
∴a 2
(b 2
+c 2
-a 2
)+b 2
(a 2
+c 2
-b 2
)<4a 2b 2
即(a 2+b 2)c 2<a 4+2a 2·b 2+b 4=(a 2+b 2)2
, ∴c 2<a 2+b 2
,
∵cos C =ab
c b a 22
22-+>0,∴C 为锐角
又c 为最大边,故C 为最大角, ∴△ABC 为锐角三角形. 12.在△ABC 中,sin A =
C
B C
B cos cos sin sin ++,判断这个三角形的形状.
解:由正弦定理、余弦定理可得:
ab
c b a ca b a c c
b a 222
22222-++
-++=
∴b
c b a c b a c 222
22222-++-+=b +c
∴b (a 2
-b 2
)+c (a 2
-c 2
)=bc (b +c )
∴(b +c )a 2=(b 3+c 3
)+bc (b +c ), ∴a 2=b 2+c 2
,
∴△ABC 是直角三角形.
高二数学-空间向量与立体几何测试题
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在下列命题中:①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行;②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面;③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面;④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c .其中正确命题的个数为 ( ) A .0 B.1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,向量1D A 、1D C 、11C A 是 ( ) A .有相同起点的向量 B .等长向量 C .共面向量 D .不共面向量 3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( ) A .// B .⊥ C .也不垂直于不平行于, D .以上三种情况都可能 4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于 ( ) A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若CA =a ,CB =b ,1CC =c , 则1A B = ( ) A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=19,则向量a 与b 之间的夹角><,为( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 7.若a 、b 均为非零向量,则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9.已知则35,2,23+-=-+= ( ) A .-15 B .-5 C .-3 D .-1
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A 2.在长方体1111ABCD A B C D -中,下列关于1AC 的表达中错误的一个是( ) A.11111AA A B A D ++ B.111AB DD D C ++ C.111AD CC D C ++ D.11111 ()2 AB CD AC ++ 答案:B 3.若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 答案:D 4.若三点,,A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=,则αβ-的值为( ) A.1 B.1- C. 1 2 D.2- 答案:B 5.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 答案:B 6.已知非零向量12e e ,不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-, ,AB AC AD ,则四点,,,A B C D ( ) A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C 7.如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ,,分别是AB AD CD ,,
的中点,则2a 等于( ) A.2BA AC · B.2AD BD · C.2FG CA · D.2EF CB · 答案:B 8.若123123123=++=-+=+-,,a e e e b e e e c e e e ,12323d e e e =++,且x y z =++d a b c ,则,,x y z 的值分别为( ) A.51122--,, B.51122 -,, C.51122 --,, D.51122 ,, 答案:A 9.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-, ,b 的夹角的余弦值为8 9,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 255 D.2或255 - 答案:C 10.已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,,则顶点D 的坐标为( ) A.7412??- ???,, B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 答案:D 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C.3arccos 3 D.3arccos 6 答案:D 12.给出下列命题: ①已知⊥a b ,则()()a b c c b a b c ++-=···; ②,,,A B M N 为空间四点,若BA BM BN ,,不构成空间的一个基底,那么A B M N ,,,共面; ③已知⊥a b ,则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 二、填空题 13.已知(315)(123)==-,,,,,a b ,向量c 与z 轴垂直,且满足94==-,··c a c b ,则c = . 答案:2221055?? - ??? ,,