等差数列前n项和的性质

Sn
=
n(a1 + an)， 2
n(n1)d Sn na1 2
4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式 的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们 将对此作些简单探究.
【知识探究】
『知识探究（一）——等差数列与前n项和的关系』
思考1：若数列{an}的前n和
Sn
=
n(a1 + an)，那么 2
思考2：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有 什么关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考3：在等差数列{an}中，设S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇与
S S
偶 奇
等于什么？
S偶－S奇＝nd
S 偶 = a n1 S奇 an
思考4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，
2.等差数列{an} 前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，
则an＝
.
3. 等差数列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；
4. 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100， 则它的前3m项的和为 ( )
A. 130 B. 170
C. 210 D. 260
5.等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0， ∴3a11＝0，∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法： 方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，
讨论二次函数的性质
方法2：讨论数列{an} 的通项，找出正负临界项。 （1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n
3.等差数列{an}中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，则使 an<0的最大自数n=（ ）．
A.10
B.11
C.12
D.13
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
则 a n 等于什么？
bn
an S 2n1
bn T2n1
思考5：在等差数列{an}中，若a1＞0， d＜0，则Sn是否 存在最值？如何确定其最值？
当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项 的和为146，且所有项的和为390，则该数列有( )项。
①若C＝0，则数列{an}是等差数列；
②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
思考4：若{an}为等差数列，那么 { S n } 是什么数列？ n
数列{an}是等差数列
{ S n } 为等差数列 n
即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍 然是等差数列，且公差是数列{an}的公差的一半。
『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』
思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列， 即数列a1＋a2＋…＋ak， ak+1＋ak+2＋…＋a2k， a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，… … 是等差数列吗？
性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk， S3k－S2k , …仍然成等差数列
又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．
解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d
代入aann＝＋1＝a1＋a1＋nn－d≥1>d0≤0 得，－－1100dd＋＋nnd－≥>10d≤0
∵a1<0，∴d>0， 解得 10＜n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
S2009 2009
来自百度文库
S2007 2007
2，则S2011的值为(
)
A.0 B.2011 C.－2011 D.－2011×2011
题型2：等差数列最值问题
例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多 少项的和最小？
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋21×12×11·d ，∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn ＝d2n－2212－4841d. ∵d>0，∴Sn 有最小值．
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项 和相等，则此数列前________项和最大？
2.等差数列{an} 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<| a8|， 则使Sn>0的n的最大值为_____．
第二章 数 列
2.3 等差数列前n项和的性质
【问题提出】
1.等差数列的递推公式是什么？
an－ an－1＝d（n≥2） an－1＋an＋1＝2an（n≥2）
2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k. 在结构上是关于n的一次函数.
3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？
数列{an}是等差数列吗？
{an}是等差数列
Sn n(a12 an)
思考2：将等差数列前n项和公式 Sn na1n(n21)d
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？
Sn d2n2(a1d2)n
当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
A.13
B.12
C.11
D.10
（2）设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列{Snn}的前 n 项和，则 Tn________.
『变式探究』
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51