工程力学第八章

BC段：
1 Fb 3 F Fbx 2 3 挠度：w 2 [ x ( x a) ( l b 2 )] (a x l ) EI 6l 6 6l 1 Fb 2 F Fb 2 2 [ x ( x a) ( l b 2 )] (a x l ) EI 2l 2 6l
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例：如图所示两端固定的阶梯直杆，在C处承受轴 向力F作用，AC和BC段的面积分别为A1、A2，若 杆在线弹性范围内工作，弹性模量为E。试求杆内 各段横截面上的应力及截面C的位移。
解：设两端的约束力 分别为FA和FB。
Fx 0, F FA F B 0
AC AB BC
AB
T l AB M l AB GI p GI p
l BC
M A
200
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BC 0
m e l BC M l BC T ( x ) dx GI p 2GI p 2GI p
2
B me C
100
AC AB BC
Δl AC FN1 a EA1
FA A
F C a b Δl AC Δl CB
FB
B
变形相容条件： Δl AB 0 Δl AB
FN b (F F )b FAa , ΔlCB 2 A EA1 EA2 EA2
FAa ( FA F )b 0 EA1 EA2
FA
F (1
FNC l CD 0.076mm EACD
v Δl BD u cos450 sin45
0
1.23mm ()
§ 8.1.2 圆杆的扭转变形
单位扭转角：
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d T dx GI p
dx
GIp：扭转刚度；
任意两截面a、b的相对扭转角为：
ab x
Ml AB Ml AB 0.0239rad 1.37 0 GI p 2GI p
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例：图示两端固定的结构，其中AB段为实心圆轴， 直径为D，BC段为内径为d，外径为D的圆筒，受 集中力偶M的作用。试求： （1）AB段和BC段的最大切应力； （2）欲使许用力偶[M]达到最大值，两段长度应 满足什么条件？ 解：设A、C两端的约束反 力偶为MA、MC
q ( x 4 4lx 3 6l 2 x 2 ) 24EI
ql 3 6 EI ( 顺时针)
w max w
x来自百度文库l
x l
ql 4 8 EI
( )
例：简支梁AB，长为l，受集中载荷F作用，如图 所示。求任一截面的转角和挠度。 SOUTHEAST UNIVERSITY 解：如图建立坐标系， 由平衡方程可得：
解：设节点D的水平位移为u， 2m 竖直位移为v， 在仅有水平位移u下： DC杆的伸长量为：lCD 在仅有竖直位移v下： DC杆的伸长量为：lCD2=0， BD杆的伸长量为：lBD
2=vsin45o， 1=u，
B
v 2m
B D u
C
F
BD杆的伸长量为：lBD1=ucos45o， C
B
Du
D`
FN
dx dx+dx
FN
FN Δl Δdx dx l l EA
若F N
EA为拉压刚度
FN l const, 则Δl EA
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例：一线弹性等直杆受自重和集中力作用，如图所 示。杆长为l，拉压刚度为EA，材料的体积质量为。 试求： A （1）杆中间截面C及自由端B的位移； （2）杆CB段的伸长量。 l/2 解：如图建立坐标系，将杆沿x截 面截开，研究下部的平衡有：
NA Fb , l NB Fa l
w A C
F B x
a
NA
Fb l x M ( x) Fb x F ( x a ) l
b
Nb
(0 x a ) (a x l )
梁的弯矩方程：
在AC段，（0 x a）
Fb Fb 2 EIw 1 x EIw 1 x C 1 (1) l 2l Fb 3 EIw 1 x C 1 x D1 ( 2) 6l
FNB F
则BD杆的总伸长量为：
Δl BD F NB l BD 2 ( 20 10 3 ) ( 2 2) 0.815 mm 9 3 EABD 200 10 4 ( 25 10 )
CD杆的总伸长量为：
u ΔlCD 0.076mm ()
Δl CD
MA A l1
AB

32
M
MC C l2
由平衡方程有：
M M A MC (1)
B
又 AC AB BC
其中 I pAB
M l M A l1 , BC C 2 GI pAB GI pBC

32
D 4 , I pBC
(D4 d 4 )
AB BC
AB max BC max [ ]
l1 l2 1:1
§ 8.1.3 梁的弯曲变形
梁发生弯曲变形后，轴线变成了曲线，称为 挠曲线。 轴线上任一点的横向位移称为挠度。
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横截面绕中性轴转过的角度称为转角。
w = w(x)：挠曲线方程
w

w

F
在BC段，（a x l） SOUTHEAST UNIVERSITY
EIw 2 Fb x F ( x a) l EIw 2
A a
C b
B
Fb 2 F x ( x a)2 C 2 2l 2
( 3)
Fb 3 F EIw 2 x ( x a ) 3 C 2 x D2 ( 4) 6l 6
把上面的常数代入相应的方程有： AC段：
1 Fb 3 Fbx 2 [ x ( l b 2 )] (0 x a ) EI 6l 6l 1 Fb 2 Fb 2 转角： 1 w1 [ x ( l b 2 )] (0 x a ) EI 2l 6l 挠度：w1
C1 C 2 (6)
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Fb 3 Fb 3 (a a ) 3 a C 1 a D1 a F C 2 a D2 6l 6l 6 D1 D2 0 (7)
把（7）代入（5）有：
Fb 2 F 3 l b C 2 l D2 0 ( 5) 6 6 Fb 2 C1 C 2 (l b 2 ) 6l
1 1 q ( 12 x 4 2 Cx D
w
lx 3
1 2
l 2 x2 )
q x wmax x
wA

x 0
0,
wA
x 0
0
l
max
代入上二式有： C 0 ,
D0
所以有：
w
w
max
q ( x 3 3lx 2 3l 2 x ) 6 EI
第八章：位移分析与刚度设计
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构件在外力作用下而发生变形，其内部 任一点位置的变化称为位移。
本章主要研究几个基本变形形式下杆件 横截面的线位移和角位移。
杆件微段的位移微分方程 及其积分
§8.1
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§8.1.1 杆件的拉压变形
FN Δdx dx E EA FN Δdx dx EA
w q x
任意x截面上的弯矩为：
1 M ( x ) q( l x ) 2 2
x
d 2w dx 2 M EI
则近似挠曲线方程为：
EI w M ( x ) EI w EI w
l
1 q (l x ) 2 2
1 1 3 q ( 3 x lx 2 l 2 x ) C 2
对整个杆有：
xb Tdx
a
GI p
Tdx l GI p
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例：所示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时 BC段受均匀分布的扭矩me的作用。已知使其转 动的外力偶矩M=120Nm，材料的切变模量 G=80GPa，试求钻杆两端的相对扭转角。
解：由钻杆的平衡方程：
F
tg =w(x)：转角方程
M EI
d 2w dx 2 M EI
x
1
d d d 2w ds dx dx2 1
dw dx
d

M dx C EI

M
y ds M x
M w ( dx )dx Cx D EI
例：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁，受集度为q 的均布载荷作用。试求此梁的挠度方程和转角方 程，并确定其最大挠度和转角。 SOUTHEAST UNIVERSITY 解：如图建立坐标系，
MC l2 M A l1 0 (2) GI pAB GI pBC
由（1）、（2）式有： SOUTHEAST UNIVERSITY
MA D4l2 M D l 2 ( D d )l 1
4 4 4
, MC
( D 4 d 4 )l1 M D 4 l 2 ( D 4 d 4 )l1
边界条件： x=0，w1=0
代入（2）得：D1=0 代入（4）得：
x=l，w2=0
Fb 2 F 3 l b C 2 l D2 0 ( 5) 6 6
C截面，既属于左段，又属于右段，由光滑连续 条件有：
w1
x a
w2
x a
, w1

x a
w2

x a
Fb 2 Fb 2 (a a ) 2 a C1 a F C2 2l 2l 2
aA2 ) bA1
uc Δl AC
Fa E ( A1 a A2 ) b
FA FA F F F 1 ,2 , a b A1 A1 b A2 A2 A2 a A1
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例：图示结构，在B、D和C处用销钉连接，钢杆 BD的直径d=25mm，杆CD由16号工字钢制成（截 面积A=26.1cm2）。两杆的弹性模量均为E=200GPa。 试求当最大起重量为F=20kN时，节点D的位移。
C
D
v
D``
DC杆的总伸长量为： lCD =lCD1+ lCD2 =u， BD杆的总伸长量为： lBD =lBD1+ lBD2 =ucos45o+ vsin45o ，
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对节点D受力分析，如图：
FNB 2F (拉) ， FNC F (压)
FNC
1 2
1 1 q ( 12 x 4 1 lx 3 3 2
l 2 x 2 ) Cx D
边界条件：
wA

x 0
0,
wA
x 0
0
EI w
EI w
1 1 3 q ( 3 x lx 2 l 2 x ) C 2
1 3
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（1）最大切应力：
AB max BC max
MA D 2 I pAB MC D 2 I pBC 16Dl 2 M
[ D l 2 ( D d )l 1 ]
4 4 4
,
16Dl1 M
[ D 4 l 2 ( D 4 d 4 )l 1 ]
（2）欲使许用力偶达到最大，有：
FN ( x ) F gA( l x )
l
C
x B
F FN(x) l-x F
截面C及B的位移即为AC及AB端的伸长量：
uC Δl AC 0
l 2
FN ( x ) Fl 3 gl dx EA 2 EA 8E
l
2
FN ( x ) Fl gl 2 uB Δl AB 0 dx EA EA 2 E Fl gl 2 Δl BC Δl AB Δl AC 2 EA 8 E
M A
M x 0,
M me l BC 0
B me C T(x) C
200
M me l BC
100
AC截面的相对扭转角为：
AC AB BC
x M A T
BC段任一截面的扭矩为： T ( x) me x
AB段任一截面的扭矩为：
T ( x) M