食饵捕食模型

食饵- 捕食者模型

1.模型建立

食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t),因为

大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,(相对)增长率为r,

即 x = rx,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量

成正比,于是x( t)满足方程

x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1)

比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力.

捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死亡率为d,即 y = - dy,而食

饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长. 设这种作用与食饵数量成正比,于是y( t)满足

y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2)

比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力.

2.模型分析

方程(1),(2)没有解析解,我们分两步对这个模型所描述的现象

进行分析.首先,利用数学软件求微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的

观察,猜测它的解析解的构造;然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.

3.模型求解

1. 数值解

记食饵和捕食者的初始数量分别为

x(0) = x0 , y(0) = y0 (3)

为求微分方程(1),(2)及初始条件(3)的数值解x( t), y( t) (并作图)及相轨线y( x),设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2,用M A T L A B 软件求解如下：

M文件

function xdot=sheir(t,x)

r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;

xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];

>> ts=0:0.1:15

>> x0=[25,2]

>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]

>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

>> pause

>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

4.结果分析

x( t), y( t)是周期函数,与此相应地, 相轨线y( x)是封闭曲线,从数

值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0,并且用数值积分容易算出x( t), y( t)在一个周期的平均值为x = 25, y =10