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高中常见数学模型案例

中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种:

一、函数模型

用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。

1、正比例、反比例函数问题

例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。

分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。

若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％）

解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(⋅-=---b a b 化简得a b 45=

，所以x a bx y ⋅⋅==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4

2、一次函数问题

例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数

的图像。

分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。

解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：⎪⎩

⎪⎨⎧∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：⎪⎩

⎪⎨⎧∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题

例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。

解：设小矩形长为x ，宽为y ，则由图形条件可得：l y x x =++911π

∴x l y )11(9π+-=

要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：

)

44(32)442(644])11([322622

222

2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s ∴当π+=442l x 时，)44(9)22(9)11(πππ+-=+-=l x l y 即：π-=2218y x 此时窗框面积S 有最大值)

44(322m ax π+=l s 。 可见，一般的设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。

二、数列模型

数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的

数学建模问题。

例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575％，那么每月应还多少钱呢？

分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通过填表来回答：

通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。

2423004575.110000004575.1004575.1⨯=+++x x x

可以发现，上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：

2424

004575.110000004575

.11004575.11⨯=--⋅x

即2424004575.11)004575.11(004575.110000--⨯⨯=x 解之得91.440≈x

提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a 元，m 个月将款全

部付清，月利率为r ，那么每月付款款额的计算公式是什么？ 显然问题转化为建立关于x 的方程。设采用分期付款方式贷

a 元，m 个月将款全部付清，月利率为r ，每月付款x 元，那么： 把右边求和，得r

r x r a m m

]1)1[()1(-+=+， 所以：1)1()1(-++=m m r r ar x 万元。 三、初等概率模型

古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。 例5：将n 个球随机地放入n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。

分析与求解：因为每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子，共有n 种不同的放法，n 个球放进n 个盒子就有n ×n ×…×n=n n 种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为n n 个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。

第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，…，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n 个球放进n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有!n 种不同的放法，因而所求得概率为：

n n

n A A P =)(。

几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n 维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A 的可能性与A 的几何测度成正比，而与A 的形状及位置无关。如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。

例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20

()()()()122(1)11...11m m m a r x rx r x r x r x --+=+++++++++