复变函数与积分变换第二章简版z

做会带来很多方便，并且具有“复风格”.
复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z G ( z平面) w f w G* (w平面）的映射 (z) (变换).
定义域 y (z) w=f(z) G* G
z
函数值集合
v (w)
w=f(z)
wLeabharlann Baidu
x
o
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
例如: w=z2 是一个复变函数. 令
z x iy , w u iv .
因为 ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi , 于是函数w=z2对
应于两个二元实函数
u x y , v 2 xy.
2 2
反之, 如果 w u( x, y ) iv( x, y ) x y 2 xyi ,
思考题：为什么在复变函数中用两个平面来表示 其图形？
对于复变函数，它反映的是两对变量u，v和x，y之间
的对应关系，因而无法用一个平面或一个三维空间的图形 来表示。故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应 关系来表达两对变量 u，v 与 x，y之间的对应关系，以便 在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.
与实变函数的极限 运算法则类似.
z 例2 试求 zlimi 1 z
方法一
z x iy x 2 y 2 2 xy 2 i( 2 ) 2 2 z x iy x y x y
由定理1，得
z x2 y 2 2 xy lim lim 2 i lim 2 i. 2 2 z 1 i z x 1 x y x 1 x y y 1 y 1
任何一个人，都必须养成自学的习惯， 即使是今天在学校的学生，也要养成自学 的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学， 就是一种独立学习，独立思考的能力。行 路，还是要靠行路人自己。
科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造 发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也 是枉然。入宝山而空手回，原因在此。 学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和 “由厚到薄”的过程. ----华罗庚
存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
f (z) A e
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做
lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z0 ).
z z0
复变函数的几何意义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它 的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中.
定理2.2 若 zlim f ( z ) A, zlim g ( z ) B z z
0 0
，那么
(1)
z z0
lim[ f ( z ) g ( z )] A B ;
z z0
(2)
lim[ f ( z ) g ( z )] AB ;
(3)
f ( z) A lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
P ( x ,0)
x
arg z在负实轴 上不连续.
为了后面的需要, 给出下面一个关于函数有 界性的定理. 定理2.6 设f (z)在有界闭区域 D ( 或有限
在区域D上连续.
关于函数f(z)在连续曲线C上的连续性和闭
区域 D上的连续性, 只要把上述定义中的z限制
在C或 D 上即可.
定理2.3
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x , y ),
是定义在C \{0}上的多值函数. 以后不特别申明时，所指的复变函数都是单
值函数.
因为z=x+iy和w都是复数, 若把w记为u+iv时, u与v也是z的函数, 因此也是 x 和 y 的函数. 于是, 可以写成
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ),
其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数.
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值 . 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
则 f ( z ) g( z ), f ( z ) g( z ) 都在 z z0 点连续，而
f (z) 也在 z z0 点连续. 当 g( z0 ) 0 时， g( z )
定理2.5
j 设 j ( z ) 在 z0 处连续， ( z0 ) w0 ,
而 f ( w ) 在 w w0 点连续，则 复合函数 f [ g( z )]
在 z z0 点连续. 应用 定理2.3或仿证明实函数类似结论的方 法可以证明上述两个定理.
定理1.1 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
由前面的结论可知, 多项式
P ( z ) c0 z n c1 z n1 cn1 z cn
v ( x , y ) 都在 ( x0 , y0 ) 点连续.
注：这个定理说明复变函数
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
的连续性等价两个二元实函数 u( x , y ), v ( x , y )
的连续性.
定理2.4
设 f ( z ), g( z ) 都在 z z0 点连续,
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u( x , y ) 不存在, lim v ( x , y ) 0,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
都是复常数.
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续.
证明 (1) f ( z ) arg z在原点没有定义，
故不连续.
( 2)在负实轴上 P ( x , 0)( x 0) lim arg z
y 0
y
(z)
z
o z
lim arg z
y 0
在复平面内处处连续. 有理分式
a0 z n a1 z n1 an1 z an R( z ) b0 z m b1 z m 1 bm 1 z bm
在复平面内除分母为零的点之外, 处处连续.
ai , ci i 0, 1, 2, , n , b j j 0, 1, 2, , m
故 lim f ( z ) 不存在.
z0
思考题：试着收集整理复极限的计 算方法以及判别复极限不存在的方 法，并用例子说明.
2.1.3 函数的连续性
定义 设 f (z)在z0的邻域内有定义, 且
lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)
于是，复变函数 w f ( z ) 的极限、连续、一致连续 等概念就是映射 (u, v) : E 2 的相应概念.有关映射的 各种性质也对复变函数成立. 重要注记：由于 x
zz 2
，y
zz 2i
，故一般将
w f ( z ) 理解为以 z, z 为自变量的函数，即
w f ( z, z ) u ( z, z ) i v ( z, z ) 。以后将看到，这样
y
(z)
w f (z )
d
v
(w)
e
A
z0
o
x
o
u
注1: 定义中zz0的方式是任意的.
即形式和一元相同，本质和二元相同.“人面兽心” 就是此意.
注2： A是复数. 注3： 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的. 极限计算的定理 定理2.1
设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) z x iy z0 x0 iy0
证 (一)
令 z x iy, 则 f ( z )
x , 2 2 x y
u( x , y )
x , v ( x , y ) 0, 2 2 x y
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim 2 lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x ( kx )2 y kx y kx
o
z2 w1
z1 2 3i
x
C
A
v
w2 1 2i
o
B
C
o
z 2 1 2i
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
反函数的定义 设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集D, 称复平面上的点集
第二章
解析函数
§2.1 复变函数的概念、极限与连续性 §2.2 解析函数的概念
§2.3 函数可导与解析的充要条件
§2.4 初等函数
§2.1 复变函数的概念、极限与连续
1 复变函数的概念 2 复变函数的极限
3 复变函数的连续性
2.1.1 复变函数的概念
定义 设E 是一个非空集合, 若法则f , 使得 z E ,
2 2
zz zz , y . 于是 令 x 2 2i
zz zz zz zz 2 w 2i 2 2 2 i i z . 2
2 2
于是函数 w z 2 对应于两个二元实变函 : 数
u x2 y2 ,
v 2 xy .
w u iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函 数（简称复变函数）记作 w f ( z ).
E 称为该函数的定义域.
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数; z 多个w值，称f ( z )是多值函数.
例如, w=|z|是以复平面C为定义域的单值函
数, 而 w Argz arg z 2k ( k 0, 1, 2,)
则 lim f ( z ) A u0 iv0 ( x , y )( x0 , y0 ) z z0 lim v ( x , y ) v0
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
u( x , y ) u0
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 的极限问题, 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题.
以下不再区分函数与映射（变换）.
. 例1 研究w z 所构成的映射
解 将 z 平面上的点z a ib 映射成 w 平面上
的点 w a ib.
设z r (cos i sin ) rei 则z rei —关于实轴对称的一个映射
y
A
B
z1 2 3i
x
C
A
v
w2 1 2i
o
B
C
o
z 2 1 2i
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射. 且是全同图形.
y
A
B
z w21
G w w f ( z ), z D
为函数w=f(z)的值域. 对于任意的wG, 必有D中一个或几个复数 与之对应. 于是, 确定了G上一个单值或多值函数z=j(w),
称之为函数w=f(z)的反函数.
2.1.2 复变函数的极限
定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心
邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0,
方法二 由于
z 1 i
lim z 1 i 0 ，由定理2（3）得
z zlimi z x1 1 i y 1 1 lim i. z 1 i z lim z lim( x iy) 1 i
z 1 i x 1 y 1
lim( x iy )
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例3 证明函数 f ( z ) z 不存在.