矩阵分块法
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反证法
作业 1.利用逆矩阵解线性方程组:
2.设
3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求
例如：将3×4矩阵 分块形式如下：
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加. 设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
λ为数，那末
其运算律与数乘矩阵相同.
3.分块矩阵的乘法. 设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
1 ,2 ,L n
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
概 念
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 对于线性方程组
是 A 的第 j 列.
记
A=
x=
b=
B=
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为常数项向量 , B称为增广矩 阵, 记为:
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
A1n A2n L
An1
An2
L
Ann
概
如果AB=BA=E,则A可逆，
念
B是A的逆矩阵.
用定义
逆矩 阵
求法
用伴随矩阵
A1 1 A A
分块对角 矩阵
A
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
证法
|A| ≠ 0 , A可逆 . |A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆
矩 阵
特 殊 矩 阵
m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n)
构成的数表
单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵
对角矩阵:主对角元素是
对称矩阵:
AT = A
反对称矩阵: AT = –A
其余1， 元素2 都,L是零, 的nn阶方阵
运算
A+B = ( aij + bij)
其中
例1.设 求AB.
解 把A,B分块成
所以
E 0
AB＝
A1
E
其中 于是
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵
则
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设
其中 显然
所以
例2 设 解
所以
例3 设 A 的伴随矩阵
1 0 0 0
A
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 8
且ABA－1 = BA－1 + 3E, 求矩阵B.
解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2.在 ABA－1 = BA－1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得
2B = A*B + 6E
即
( 2E － A* )B = 6E
故
B = 6 (2E－A* )－1
由于 2E－A* ＝ 所以
(2E－A*)－1 =
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 6
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
1 6
1 6
因此
6 0 0 0
B
0
6
0
0
0 0 6 0
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用 设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
其中
是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
A与B同型
kA= ( kaij ) AB = C 其中
n
cij
aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA
. ,A必须是方阵
伴随 矩阵
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵
A11 A21 L
A
A12
A22 L
L L L
作业 1.利用逆矩阵解线性方程组:
2.设
3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求
例如：将3×4矩阵 分块形式如下：
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加. 设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
λ为数，那末
其运算律与数乘矩阵相同.
3.分块矩阵的乘法. 设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
1 ,2 ,L n
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
概 念
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 对于线性方程组
是 A 的第 j 列.
记
A=
x=
b=
B=
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为常数项向量 , B称为增广矩 阵, 记为:
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
A1n A2n L
An1
An2
L
Ann
概
如果AB=BA=E,则A可逆，
念
B是A的逆矩阵.
用定义
逆矩 阵
求法
用伴随矩阵
A1 1 A A
分块对角 矩阵
A
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
证法
|A| ≠ 0 , A可逆 . |A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆
矩 阵
特 殊 矩 阵
m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n)
构成的数表
单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵
对角矩阵:主对角元素是
对称矩阵:
AT = A
反对称矩阵: AT = –A
其余1， 元素2 都,L是零, 的nn阶方阵
运算
A+B = ( aij + bij)
其中
例1.设 求AB.
解 把A,B分块成
所以
E 0
AB＝
A1
E
其中 于是
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵
则
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设
其中 显然
所以
例2 设 解
所以
例3 设 A 的伴随矩阵
1 0 0 0
A
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 8
且ABA－1 = BA－1 + 3E, 求矩阵B.
解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2.在 ABA－1 = BA－1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得
2B = A*B + 6E
即
( 2E － A* )B = 6E
故
B = 6 (2E－A* )－1
由于 2E－A* ＝ 所以
(2E－A*)－1 =
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 6
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
1 6
1 6
因此
6 0 0 0
B
0
6
0
0
0 0 6 0
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用 设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
其中
是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
A与B同型
kA= ( kaij ) AB = C 其中
n
cij
aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA
. ,A必须是方阵
伴随 矩阵
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵
A11 A21 L
A
A12
A22 L
L L L