高数第二章导数与微分的知识点总结

2015考研数学:导数与微分的知识点总结

来源：文都教育

导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面都教授给出该章的知识点总结，供广大考生参考。

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

0000000000

()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或 注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

0'000000

()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'00000

0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.

（3）导数的几何应用

曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.

法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=-

-. 2．基本公式

（1）'0C = （2）'1()a a x ax

-= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a

=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-

（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =-

（9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-

（11

）(arcsin )'x = （12

）(arccos )'x =

（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x

=-+

（

15[ln(x =

3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2

''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则

设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=. 例5 求函数21

sin x y e =的导数.

（3）反函数的求导法则

设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则

11'()'()'(())

g y f x f g y ==. （4）隐函数求导

设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法

'''x y

F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.

常用的高阶求导公式：

（1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =

（2） ()(sin )

sin()2n n kx k kx n π=+ （3）()(cos )cos()2

n n kx k kx n π=+ （4）()1(1)(1)

n n n n x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+

（6）莱布尼茨公式：()()()0

()n n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v ==

第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.

定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆. 注：,y dy x dx ∆≠∆=

2．可导与可微的关系

一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =.

3．微分的几何意义

4．微分的计算

（1）基本微分公式'()dy f x dx =.

（2）微分运算法则

②四则运算法则

()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udv d v v

-= ②一阶微分形式不变

若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；

若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.