小学六年级奥数 第十一章 工程问题

第十一章工程问题
知识要点
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一类分数应用题。

这种类型的应用题，工作总量不再是具体的数量，经常用单位“1”来表示，工作效率用分率来表示。

解答此类问题，主要利用三个量之间的关系解题。

工作总量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
工作效率＝工作总量÷工作时间
典例巧解
例1 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需9天完成。

如果甲先单独做若干天后，乙接着单独做，共用10天完成。

甲做了几天？
点拨这类工程应用题，我们可以根据题中的已知条件和数量间的关系列方程解答。

除了方程方法外，还可以用假设法解答此题。

解法一设甲做了x天，那么乙做了(10－x)天。

1 12x＋
1
9
×(10—x)＝1 1
12
x＋
10
9
－
1
9
x＝1
1
36
x＝
1
9
x＝4
答：甲做了4天。

解法二假设这10天全部是乙做的，由于乙比甲做得快，则应超过工作总量“1”。

超过的工作量是怎样造成的呢？这是因为把这10天全都看成是乙做的。

乙每天的工作效率比甲每
天的工作效率多1
9
－
1
12
＝
1
36
，多少天才做了超过的工作量呢？列式为：
(1
9
×10－1)÷(
1
9
＝
1
12
)
＝1
9
÷
1
36
＝4(天)
答：甲做了4天。

例2 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。

现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的40%没有完成。

已知甲每天比乙多加工4个零件，求这批零件共多少个。

点拨甲、乙合作的效率和为
1
24
，甲先做16天，然后乙再做12天，可理解为甲、乙合作
12天后，甲再单独做16－12＝4(天)，这样甲4天完成的工作量为1－40%－
1
24
×12＝
1
10
，
于是，可以求出甲的工作效率为
1
10
÷4＝
1
40
，乙的工作效率为
1
24
－
1
40
＝
1
60
，从而求
出4个零件占这批零件总数的
1
40
－
1
60
＝
1
120。

问题易解。

解甲的工作效率：
(1－40%－
1
24
×12)÷(16－12)
＝
1
10
÷4
＝
1 40
这批零件总数：
4÷[
1
40
－(
1
24
－
1
40
)]
＝4÷
1 120
＝480(个)
答：这批零件共有480个。

例3 某地要修筑一条公路，甲工程队单独干需要10天完成，乙工程队单独干需要15天完成。

如果两队合作他们的工作效率就要降低，甲队只能完成原来的80%，乙队只能完成原来的90%。

现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
点拨根据题意，甲、乙及甲、乙合作的工作效率分别为
1
10
，
1
15
及
1
10
×80%＋
1
15
×90%
＝
7
50。

可以看出乙的效率最低，甲、乙合作的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少，
则必须甲尽可能地多做，如果全是甲做，8天可完成
1
10
×8＝
4
5
的工作量，尚有
1
5
的工作
没有完成，这部分工作要由甲、乙合作来完成。

解 (1－
1
10
×8)÷(
1
10
×80%＋
1
15
×90%－
1
10
)
＝1
5
÷
2
50
＝5(天)
答：两队要合作5天。

例4 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。

若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，需要几小时完成任务？
点拨甲的工作效率为
1
12
，乙的工作效率为
1
18
，甲工作1小时乙再工作1小时，即一个
循环，完成的工作量为
1
12
＋
1
18
＝
5
36
，1÷
5
36
＝7
1
5
，最多有7次循环，而7次循环将完
成的工作量
5
36
×7＝
35
36
，还剩下1－
35
36
＝
1
36
的工作量，剩下的工作量由甲做还需要
1 36÷
1
12
＝
1
3
(小时)。

解一个循环完成的工作量：
1
12
＋
1
18
＝
5
36
需要的循环次数：1÷
5
36
＝7
1
5
剩余的工作量：1－7×(
1
12
＋
1
18
)＝1－
35
36
＝
1
36
甲还要再做的时间：
1
36
÷
1
12
＝
1
3
(小时)
甲、乙共用时间：7×2＋1
3
＝14
1
3
(小时)
答：共用了141
3
小时完成任务。

例5 某工厂的一个生产小组生产一批零件，当每个工人在自己原工作岗位工作时，9小时可完成这项工作；如果交换A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成该项生产任务；如果交换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成该项生产任务；如果同时交换A和B、C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少分钟完成该项生产任务？
点拨题中所给出的几种情况，都是由于工作效率改变了，工作时间也相应变化，但工作总量却没有改变。

因此，可以先求出各种情况下的工作效率，然后再研究工作时间的变化。

解设工作总量为单位“1”，则原来全部工作效率为1
9。

A与B交换，全部工作效率为
1
8
，
由于其他工人的效率不变，所以A与B的工作效率提高了1
8
－
1
9
＝
1
72。

同理，C与D交换
后，他们两人工作效率也提高了
1
72。

若A与B、c与D同时交换，他们四人工作效率提高
了
1
72
＋
1
72
＝
1
36。

全组人每小时完成了
1
9
＋
1
36
＝
5
36。

因此，完成这项任务，全组人需要：
1÷
5
36
＝7
1
5
(小时)
比原来提前了：
9－71
5
＝1
4
5
(小时)＝1小时48分＝108(分钟)
答：可以提前108分钟完成该项生产任务。

例6 (第六届“华罗庚金杯”邀请赛试题)甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可以注满。

现在先开甲管向游泳池注水若干小时后，剩下的由乙管注水9小时。

将池注满，甲管的注水时间是多少？
点拨通过“甲管注水速度是乙管的一半”这个条件我们可以看出：乙管的工作效率是甲管工作效率的2倍。

也就是说：1个乙管等于2个甲管。

因此，甲、乙两管相当于1＋2＝3(个)甲管。

甲、乙同时注水12小时可将游泳池注满，由反比例关系可知：甲管单独注水需12×3
＝36(小时)方能注满，而乙管单独注满水池则需36×1
2
＝18(小时)。

所以此题就可以看成
是乙管单独注水9小时后，剩下的由甲管单独注水，还需几小时注满水池。

解 [1－
1
1
12(1)
2
⨯+
×9]÷
1
12(12)
⨯+
＝(1－
9
18
)÷
1
36
＝1
2
×36
＝18(小时)
答：甲管的注水时间是18小时。

例7 一个蓄水池底部有一道裂缝，满池水50小时全部漏完。

有甲、乙两个进水管，水池蓄满水后，经过40小时，开始打开两个进水管，10小时后水池注满。

经过8小时，打开乙管，再过6小时后水池注满。

如果把水放掉，把池底裂缝堵好，甲、乙两管分别注水，各需几小时把水池注满？
点拨题中告诉我们“满池水50小时漏完”，即漏水的速度为每小时
1
50。

水池注满水后，
经过40小时，空出了40
50
，甲、乙两管10小时注水为
40
50
，甲、乙两管每小时使水面上升
了：40
50
÷10＝
2
25。

而甲、乙工作效率和为
2
25
＋
1
50
＝
1
10
，再通过后一个条件“经过8
小时，打开乙管，经过6小时后水池注满”可知：乙工作效率为
8
50
÷6＋
1
50
＝
7
150
，甲
工作效率为
1
10
－
7
150
＝
8
150。

求出甲和乙的工作效率，再求它们单独注水各需几小时就
简单了。

解 (1)甲、乙两管合开1小时的进水量：
40 50÷10＋
1
50
＝
1
10
(2)乙管单独开放1小时的进水量：
8 50÷6＋
1
50
＝
7
150
(3)甲管单独开放1小时的进水量：
1 10－
7
150
＝
8
150
(4)裂缝堵好后，甲、乙两管单独开放，各需几小时注满水池：
1÷
8
150
＝18
3
4
(小时)
1÷
7
150
＝21
3
7
(小时)
答：裂缝堵好后，甲、乙两管分别单独注水各需183
4
小时、21
3
7
小时把水池注满。

解题技巧
分析、解答工程问题，首先根据题目的特点，把工作总量用“1”来表示，而工作效率也就可用单位时间内可做工作总量的“几分之一”来表示。

在解题时要注意以下几点：
1.有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程，灵活运用基本数量关系；
2.涉及具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答；
3.对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需工作时间。

竞赛能级训练
A 级
1.有一项工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要30天完成。

两人合作，其间甲休息了2天，乙休息了8天(不在同一天休息)，从开始到完工共用了多少天？
2.制造一批零件，甲车间做要10天完成：甲、乙两个车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。

三个，车间一起做，完成任务后发现甲车间比乙车间多制作2400个零件。

丙车间制作了多少个零件？
3.搬运一个仓库中的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。

有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又帮助乙搬运，最后两个仓库中的货物同时搬完。

丙帮助甲、乙各多长时间？
4.有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水。

在相同时间内，甲、乙
两管注水量之比是7：5。

经过21
3
小时后，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。

此后，
甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。

当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？
5.王师傅计划用2小时加工一批零件。

当还剩160个零件时，机器出现故障，效率比原来降
低1
5
，结果比原计划推迟20分钟完成任务。

这批零件有多少个？
6.用1辆大卡车和2辆小卡车一次能运走一批货物的未，用4辆大卡车和5辆小卡车一次恰好运完这批货物。

只用一种卡车运这批货物，小卡车要比大卡车多用几辆？
7.(“我爱数学杯”竞赛试题)有一项工作甲、乙两人合作了12天后还剩下一部分工作没有做完。

如果将剩下的工作由甲单独完成，则需要15天，而由乙单独完成则需要20天。

那么，这项工作全部由甲完成需要天。

8.(重庆市思维竞赛试题)一项工程由甲工作队先做10天，接着由乙工程队做6天完成。

如果由乙工程队先做18天，接着由甲队也要做6天完成。

那么甲队先做5天，接着乙工程队继续做天可以完成。

9.(江西省竞赛试题)甲、乙、丙三队合修一条公路，干5天后，甲修的是乙、丙总和的三分之一，乙修的是甲、丙总和的五分之一。

已知甲比乙多修3.6千米，那么丙队修了多少千米？
10.甲、乙两人各做一项工程，如果全是晴天，甲比乙少用6天完工；如果是雨天，甲的工作效率比晴天降低40%，乙降低10%。

两人同时开工，恰好同时完工。

问：工作中有多少天是雨天？
11.甲工程队每工作6天休息一天，乙工程队每工作5天休息两天。

一项工程，甲队独做需要97天完成，乙队独做需要75天完成(两队完成工作的时间均包括休息时间)。

如果两队合作，从2008年3月1日开工，几月几日可以完工？
12.一公司计划修建一条铁路，当完成任务的1
3
时，公司采用新设备，修建速度提高20%；
同时为了保养新设备，每天的工作时间缩短为原来的4
5
，结果185天完成任务。

原计划_____
天完成任务。

13. 一批零件甲队单独做10天可以完成，乙队单独做12天可以完成，丙队每天生产64个零件。

如果甲、乙合作4天后，还有256个零件没完成。

现在三个队合作需多少天完成？14.一列快车从A地开往B地需要5小时，一列慢车从B地开往A地所需时间比快车多{。

两列火车同时从两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行驶96千米与慢车相遇，A、B两地相距多少千米？
B 级
1.有一些水管，它们每分钟的注水量都相等。

现在打开其中若干根水管，经过预定时间的1
3
，
再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池。

如果开始打开10根水管，中途不增加水管，也能按预定时间注满水池。

开始打开了几根水管7
2.一个容积是120立方厘米的容器安装着甲、乙、丙三根水管，甲水管是进水管，每秒能进水4立方厘米；丙管是排水管，每秒排水8立方厘米。

开始时容器是空的，把三根水管同时打开，一会儿水就注满容器，再把甲管关掉，过了不久，容器就空了。

从开始到容器里的水排空，总共用了50秒。

乙管每秒的进水量是多少立方厘米？
3.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。

现在池
水有1
6
池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流开1小时，多少小
时后水开始溢出水池？
4.一个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度一样的出水管。

单开一根进水管20分钟可注
满空池，单开一根出水管，65分钟可以放完满池的水。

现有1
3
池水，如果四管齐开，多少
分钟后池水有2
5
？
5.加工一批零件，甲单独做需75小时完成，乙单独做需50小时完成。

已知每小时乙比甲多做12个零件，如果甲的工作效率提高50%，而乙每小时比原来多做8个，那么两人合作这
批零件的2
3
需要多少小时？
6.三条环形跑道交于A点，每条跑道周长均为200米，三名运动员的速度分别为每小时5千米、7千米、9千米，他们同时从A点出发分别沿三条跑道跑步，三名运动员出发后第四次相遇时，跑了多少分钟？(如右图)
7.某项工程由甲、乙两队承包22
9
天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包3
1
13
天
可以完成，需支付1520元；由甲、丙两队承包22
3
天可以完成.需支付1680元。

在保证7
天内完成的条件下，选择队单独承包的费用最少，这个最少的费用是元。

8.一项工作，甲单独完成需10小时，乙单独完成需15小时，丙单独完成需20小时。

现在甲、乙合作2小时后，甲因事离开了，又过3小时后，丙加入进来，直到工作完成。

完成这项工作共用了小时。

9.有一项工程，甲队单独做20天可以完成，乙队单独做30天可以完成。

现在由两队合作来做这项工程，合作中甲队休息了4天，乙队休息了若干天，共1 5天完工。

则乙队休息了天。

10.栽一批茄子，兄弟两人合栽8小时完成。

如果哥哥先栽了3小时后弟弟又单独栽了1小
时，还剩总棵数的11
16
没有栽。

已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽茄子多
少棵？
11.甲、乙合作一项工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高
1
10
，乙的工作效率
比单独做时提高1
5。

甲、乙合作6小时完成全部工作的
2
5
，第二天乙又单独做了6小时，
还剩下这项工作的13
30
未完成。

如果这项工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时完成？
能力测试
一、填空题(每题9分，共54分)
1.一项工作，甲独做需要12小时完成。

现在甲、乙两人合作2小时后，甲因事外出，剩下的工作乙又用了5.5小时才做完。

如果这项工作由乙单独做，需要( )小时完成。

2.两队合作收割一块稻田，7小时可以完成。

两队共同收割5小时后，第一队所有队员及
第二队人数的1
5
调做其他工作，又经过6小时全部收割完。

若单独收割这块稻田，第一队
要( )小时，第二队要( )小时。

3.一辆汽车往返于A、B两地，去时速度为72千米／小时，到达后立即返回，回来的速度为48千米／小时。

往返的平均速度是( )。

4.水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管，甲、乙两管单独灌满
水池分别需要10小时和15小时。

水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水且排水管放水，6小时可将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，2小时可将池中水放完。

水池中原有( )立方米的水。

5.在一条马路上小明骑车与小光同向而行，小明骑车的速度是小光速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过小光，每隔20分钟有一辆公共汽车超过小明。

如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，相邻两车的发车时间间隔是( )分钟。

6.甲、乙两汽车先后从A地出发到B地，当甲车到达A、B两地中点时，乙车走了全程的1
5
；
当甲车到达B地时，乙车走了全程的2
3。

甲、乙两车车速之比是( )。

二、选择题(每题8分，共16分)
1.一项工程，甲、乙合作6天完成5
6。

如果单独做，甲完成
1
3
与乙完成
1
2
所需的时间相
同。

甲、乙单独完成这项工程，甲、乙各需( )天。

A.20，16
B.18，16
C.18，12
D.12，18
2.一水池装有一个进水管和一个排水管，单开进水管5小时可将空池灌满，单开排水管7小时可将满池水排空。

如果进水管开了2小时后，再打开排水管( )，池内将积有半池水。

A.1小时30分钟
B.1小时20分钟
C.1小时50分钟
D.1小时45分钟
三、解答题(每题10分，共30分)
1.有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要9天，单独完成乙工作要12天；王师傅单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天。

如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
2.放满一个水池的水，如果同时打开1号、2号、3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2号、3号、4号阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1号、3号、4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1号、2号、4号阀门，30分钟可以完成。

如果同时打开1号、2号、3号、4号阀门，那么多少分钟可以完成？
3.甲、乙、丙合修围墙，甲、乙合修5天完成了1
3
，乙、丙合修2天完成余下的
1
4
，然
后甲、丙合作5天才完工。

整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？。