求最短路径

分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
Fra Baidu bibliotek
②
A B 2
C1
1
D
C
2 4
③
C
A 1 A1
4
B1
A
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
10
圆柱中的最值问题
2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为 6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B 处 B 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ B C
A
A
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 = 12， 2 在Rt△ABC 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
（2012青岛市）如图，圆 柱形玻璃杯，高为12cm， 底面周长为18cm，在杯内 离杯底4cm的点C处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好 在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为 cm.
8
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
台阶中的最值问题
A
a
c b
Ａ
B
a
Ｃ b c b
c
b
AB= （nb nc） a
2
2
c Ｂ
小 结： 把几何体适当展开成平面图形， 再利用“两点之间线段最短”。
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段 是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
B C
C
1
2
B
A
A
二、正方体中的最值问题
B
C
a C 2a B
A
A
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
练习1如图是一个棱长为4cm的正方 体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处， 它到BB1的中点N的最短路线是—— 2 10 ———
长方体中的最值问题 例3如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬 行的最短路径的长是（ ）
′ A
B
A
怎样计算AB？
A’ r O B
4
侧面展开图
A
AB AA A' B
2 2
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(π r)
圆柱中的最值问题
B
底面圆周长的 C 一半 B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
圆柱中的最值问题 练习1如图所示，一圆柱高8cm，底 面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表面 爬到点B处吃食，要爬行的最短路程 （π取3）是————
15 A 20 E 10
B 5 C
台阶中的最值问题
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高 分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
.
长方体中的最值问题（续）
练习：、如图，长方体的 长为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A爬到 点B，需要爬行的最短距 离是多少？
5
C
B
20
15
A
10
E
C5
B
20
E
20
15
A
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
所以走的最短线段是
=
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
练习1:如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A 4 C1 1 B1 C 2 B
勾股定理的应用之
求解几何体的最短路线长
学习目标：长方体，正方体， 圆柱体侧面的距离最短问题， 会利用侧面展开图分析求解。
例1 如图 在一个底面周 长为20cm,高AA′为4cm的 圆柱石凳上，若小明在吃东 西时留下了一点食物在B处， 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉 到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想， 蚂蚁怎么走最近？