一类含有潜伏期的传染病动力学模型

l ’Ej$j’LjQ E&KNG SKG SNG OKG NKS$OG’KO’K’(&KG NG SG NK$OG’K’OK’(
L &KNSG ONKG OKS(1 Q
后 一 个 不 等 式 的 成 立 是 因 为 展 开 括 号 后 负 项 全 部 消 掉 了 )于
是 %这 就 证 明 了 地 方 病 平 衡 点 是 局 部 渐 进 稳 定 的 )
义C本 文 即 建 立 具 有 潜 伏 期 且 在 潜 伏 期 和 染 病 期 内 具 有 传 染 性 的 传 染 病 模 型 2为 了 讨 论 方 便2我 们 不 考 虑 人 群 的 迁 移 及 出 生与死亡的情况C
_\\NZ[ ] S*T$PU T+Q,NU YR
\\PZ[ S*T$PU T+Q,N] WP
k (.-k
Hale Waihona Puke Baidu
]349B@X3zn@56Yx@5;^@XnYt;^;BY
’3Xq$\ ()q\ ’QQ’
该平衡点称为地方病平衡点!当 "# $时%系 统 &’(不 存 在 正 平 衡 点%只 有 唯 一 疾 病 消 除 平 衡 点)这 里 " 即 为 我 们 所 关 心 的 阈 值 %由 此 我 们 得 到 下 面 的 阈 值 定 理 *
\ 8qsq8Y56^35Y%sqnq?;4%"q#q?YCYB.$~B@x;^@X_Y6@C;393z YA;tYx;3X3y;^@Xx3tYX<s;56B3BX;BY@9;B^;tYB^Y9@5Y<=]>qn@56 {;3<^;%$or%%’\*0\op 0rQq
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Q
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Q
N
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bNKN$GOK$OK’L KL O NKN$GOK’OK’L K L Kd
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Q
c
Q
N
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这 里 应 用 了 KE J&K$FG OK’(E J&NOK$G K’(&$L"(fg%gE $
G NOG NS%该 ]@^3_;@B矩阵的特征值由下列的0次特征方程给
出*
万方数据
0 廖 晓 昕 .稳 定 性 的 数 学 理 论 及 其 应 用 =n>.武 汉*华 中 师 范 大 学 出 版 社 %’QQ$%’Zp 0$q
Z 8qsq8Y56^35Y@Btu;?;@Btv64w4x ];Byq83Az{;z49^@5;3B;B n3tYX<z39|Y954<<;<}A;tYx;3X3y~=]>qn@56Yx@5;^@X@Bt!3xA457 Y9n3tYX;By%$ooo%0Q*’op Z\q
作 ?;@A4B3C函数 DEFGH%则
DIE J&K$FG K’H(&$L FL HL M(L NH
E J&K$FHG K’(H&$L FL HL M(L NH E J&KO$NG K’(H&$L FL HL M(L NH
= > ENH J&NK$OGNOK’(&$LFLHLM(L$
= > ENH "$&$LFLHLM(L$
证 明 将 系 统 &0(的 右 端 在 原 点 线 性 展 开%容 易 得 到 其 特
征 方 程 的 三 个 特 征 根 均 具 有 负 实 部%故 由 234567849:;5<判 据%即 知 零 平 衡 点 是 局 部 渐 进 稳 定 的=’>)下 面 我 们 利 用 ?;@7 A4B3C函 数 证 明 零 平 衡 点 的 全 局 稳 定 性 *
& 0rk&
h&i(E i0Gj’i’Gj$iGjQE Q 其中系数为*
&k(
jQE KNSG ONKG OKS%
j$E KNG SKG SNG OKG NKS$OG’KO’K’%
j’E
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NG
SG
O’K’ NK$G OK’
显 然%jQ%j$%j’均 为 正%地 方 病 平 衡 点 局 部 渐 进 稳 定 的 充 要 条
件是方程&k(的 所 有 特 征 根 均 具 有 负 实 部%由 234567849:;5<
判 据=0>%这 等 价 于
l$Ej$1 Q%
j$ jQ
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1 Q%
j0 j’
l 0Ej0l ’1 Q
而 这 些 条 件 全 部 满 足 %事 实 上 l$Ej$E KNG SKG SNG OKG NKS$OG’KO’K’1 Q%
衡 点%所 以 只 须 考 虑 系 统 &0(的 零 平 衡 点 的 稳 定 性 即 可%我 们
有下面的定理*
定理’ 如果 "1$%则系 统 &0(的 零 平 衡 点 是 局 部 渐 进 稳 定 的%当 "+ $时 是 不 稳 定 的!进 一 步 的%如 果 "# $%则 系 统 &0(的 零 解 是 全 局 渐 进 稳 定 的%即 系 统 &0(在 , 内 的 所 有 解 都 趋于原点)
阈 值 " 紧 密 地 依 赖 于 模 型 参 数%这 些 参 数 可 以 根 据 不 同 的 传 染 病 种%利 用 统 计 手 段 或 者 经 验 获 得%亦 可 通 过 计 算 机 模 拟 获 取)可 见%如 何 有 效 的 控 制 这 些 参 数%将 是 预 防 和 控 制 传 染病流行的重要理论根据)
性 的 情 况 下 建 立 的C而 事 实 上2在 现 实 中 许 多 传 染 病 当 被 感 染 后都存在一个潜 伏 期 *即 传 染 后 在 尚 未 发 病 之 前 具 有 一 个 潜 伏 阶 段,2且 在 潜 伏 期 内 就 已 经 具 有 了 对 外 的 传 染 性C所 以2在 建模研究中考虑具有潜伏期的传染病模型具有更实际的意
^
\\QZ[ WP] XQ
*+,
‘\\RZ[ XQ] YR
利 用 *$,式 N[ $]P]Q]R2代 入 *+,式 消 去 N2则 系 统 *+,可 归结为下列三维模型#
_\\PZ[ T*$] P] Q] R,] WP
^\\QZ[ WP] XQ
*(,
‘\\RZ[ XQ] YR
其中 T[ST$PUST+Q2称为传染力C考虑区域 a[b*P2Q2R,cP2Q2Rd%2且 PUQURe$f 则 易 知 a 是 系 统 *(,的 正 向 不 变 集K$LC
定理$ 对于系统 &’(存 在 阈 值 "%当 "+ $时%系 统 在 , 内 存 在 唯 一 地 方 病 平 衡 点!当 "# $时%系 统 在 , 内 不 存 在 正 平 衡 点 %只 存 在 疾 病 消 除 平 衡 点 )
下面讨论平衡点的稳定性)
-./ 疾病消除平衡点的稳定性
由 于 系 统 &’(的 疾 病 消 除 平 衡 点%对 应 于 系 统 &0(的 零 平
-.- 地方病平衡点的稳定性
对 于 "+ $时%系 统 &’(的 地 方 病 平 衡 点 由 &Z([&\(式 给 出%在该点的 ]@^3_;@B矩阵为*
bK$JaLKLO K’JaLK LKd
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bK$J NK&$L"(fgLKLO K’J NK&$L"(fgLg LKd
E
[ *$] i,h*$U
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XY,2
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WX S*XWT$U WT+,
*-,
可 见2当 ij $时2系 统 *+,在 a 内 存 在 唯 一 的 正 平 衡 点 *N" 2
P" 2Q" 2R" ,2其 中 N" 2P" 2R" 和 Q" 分 别 由 *&,O*-,两 式 给 出 2
! 武警医 万学方院数资据助课题 " 长治医学院
数理医药学杂志 文 章 编 号 #$%%&’&(()*+%%+,%-’%(.-’%+
中 图 分 类 号 #/($$
文 献 标 识 码 #0
+%%+年第 $-卷第 -期
一类含有潜伏期的传染病动力学模型!
张双德 郝 海 张喜红"
*武警医学院基础部数学教研室 天津(%%$1+,
摘 要# 在 不 考 虑 人 群 具 有 迁 移 和 人 群 具 有 出 生 与 死 亡 的 情 形 下2应 用 动 力 学 方 法 建 立 了 含 有 潜 伏 期 且 在 潜 伏 期 和 发 病 期 内 均具有传染性的传染病模型2并利用 3456789:’35;5<<=定理和 /97>?’@7AB4>;判据证明了疾病消除平衡点和地方病平衡点的稳定性C
NU PU QU R[ $ 于 是 2我 们 得 到 如 下 的 模 型 #
*$,
显 然2系 统 *(,的 零 点 是 其 平 衡 点2故 此 系 统 *+,有 平 衡 点
*$2%2%2%,2该 平 衡 点 称 为 系 统 *+,的 疾 病 消 除 平 衡 点 C
现 在 我 们 寻 求 系 统 *+,在 a 内 的 其 它 平 衡 点2令 系 统 *(,
的右端等于零2用 Q表示所有其它变量2则有#
N[ XTQ2P[ XWQ2R[ XYQ
*&,
其中 T[ST$PUST+Q2将*&,式代入*$,式2则 Q满足下列方程#
XTQU XWQU XYQ[$
即有
X S*TW$XU
U T+,
Q*XWU
$U
XY,[ $
即 Q[*$] S*XT$WUXWT+,,h*$U XWU XY,
并进一步约定#S为接触数DT$OT+分别为潜 伏 期 类 P*Z,和 染 病
类 Q*Z,的 传 染 率DW为 潜 伏 类 成 为 染 病 类 的 比 例DX为 恢 复 率2
即 染 病 类 成 为 移 出 类 的 比 例DY为 移 出 类 又 成 为 易 感 类 的 比
例C
这 里 SOT$OT+OWOXOY都 假 定 为 正 常2并 且 人 口 总 数 保 持 不 变 2 且满足条件#
当 "# $时%DIP Q%这 里 DIE Q的 条 件 是*"E $%FEHEME Q 或 HE Q%而 HE Q和 FR Q不 是 不 变 集%当 HR Q时%DI+ Q)在 , 的 边 界 上%FEHE Q%有 MIE L SM%所 以 M&T(E M&Q(ULSTV Q% &TV W 时(%即 在 , 内 的 所 有 解 均 趋 于 零%因 此 &F%H%M(E &Q% Q%Q(是 DIE Q的 唯 一 最 大 正 向 不 变 集)故 由 ?;@A4B3C7?@<@XXY 定 理 可 知 %零 点 是 全 局 渐 进 稳 定 的 )定 理 证 毕 )
关键词# 传染病D 动力学模型D 平衡点D 稳定性
自 从 上 世 纪 +%年 代2E=AF5AG和 HIG=8JA4IG首 先 利 用 动 力 学 方 法 建 立 传 染 病 的 数 学 模 型 以 来2人 们 逐 渐 认 识 到 了 应 用数学的理论和方法研究传染病或一般的流行病学的重要意
义C尤 其 进 入 七 八 十 年 代 以 后2这 方 面 的 研 究 逐 渐 成 为 热 点2 出 现 了 大 量 的 研 究 成 果2从 而 也 促 进 了 医 学 中 理 论 流 行 病 学 建 立 和 发 展C在 文 献 K$L和 其 它 众 多 的 文 献 中 给 出 了 在 多 种 不 同 条 件 下 建 立 的 传 染 病 和 数 学 模 型2这 些 模 型 多 是 在 不 考 虑 具有潜伏期或虽考虑潜伏期但却假定在潜伏期内不具有传染
参考文献
$ 陈 兰 荪%陈 键 .非 线 性 生 物 动 力 系 统 =n>.北 京*科 学 出 版 社%$oo0% $$$p $\\q
’ 原 三 领%韩 丽 涛%马 知 恩 .一 类 含 有 潜 伏 期 和 传 染 期 均 具 传 染 的 流 行 病 模 型 =]>.生 物 数 学 学 报 %’QQ$%$k&Z(*0o’p 0orq
m 生物学意义
对 于 含 潜 伏 期 并 在 其 间 具 有 传 染 性 的 传 染 病 模 型 %存 在 一 个 阈 值 "E J&NK$OGNOK’(%"# $时%系 统 只 存 在 疾 病 消 除 平 衡 点%并 且 该 平 衡 点 是 全 局 渐 进 稳 定 的)其 生 物 学 意 义 是%随 着时间的增加%该传染病最 终 全 部 消 灭)当 "+ $时%系 统 在 区 域 , 内存在唯一正平衡点%即地方病平衡点%且该 平 衡 点 是 局 部 渐 进 稳 定 的%其 生 物 学 意 义 是 随 时 间 的 增 加%该 传 染 病 最 终 趋 向 稳 定 %即 不 会 发 生 无 限 扩 散 )
M 模型的建立
g 平衡点及其稳定性
在本文中2我们只考虑将人群分为感染类 NO潜伏类 PO染
病 类 Q和 移 出 类 R四 种 类 型2其 各 类 之 间 的 变 化 机 制 如 下 图
所示# N
ST+NPU ST+NQ VP
WP VQ
XQ VR
YR VN
假 设在时间 Z各类人群的人口密度是 N*Z,2P*Z,2Q*Z,和 R*Z,2