气体瑞利布里渊散射的频谱分析模型

(3)
式中 ΔvL 和 ΔvG 分别为高斯函数和洛伦兹函数的半高宽， vc 为中心频率。 那么，3 个 Voigt 线型的线性组合就应该能够对 RBS 谱廓线 VRB 进行精确的建模，我们 称之为 V3 模型：
� VRB = C T 0 iV
(4)
+ − � = ⎡V (v) V + (v ) V − (v) ⎤T ， VBrill (v) 和 VBrill (v ) 其中，V Brill Brill ⎣ Rayl ⎦ VRayl (v) 为瑞利散射谱线，
(a)
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(b)
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图 1 气压 p = 1,3,5,7atm 下由 S7 模型和 V3 模型求出的 RBS 谱线(N2，T=292K)的对比
(c)
(d)
Байду номын сангаас
由图 1 可以看出， 不同气压下 V3 模型拟合得到的曲线都能与 S7 模型谱线符合得很好。 下表显示了不同气压下 S7 模型和 V3 模型拟合得到的曲线之间的相关系数和最大偏差（相 对值）。从表中也可以看出两个模型求得的曲线之间有相当好的一致性。
LIANG Kun, YU Yin, MA Yong, HUANG Jun, ZHOU Bo
0 引言
瑞利布里渊散射谱被广泛地应用在空间科学和大气遥感探测中， 如大气中空气温度分布 和风速的测量等[1-4]。在这些实际应用中，气体温度等参数是通过对比实验频谱数据和 RBS 谱数学模型获得的，模型的精度直接影响着参数的测量精度。因此，为了更加精确地测量大 气参数，建立一个精确的 RBS 谱数学模型是非常有价值的。而由以往的研究可知[5]，RBS 谱特征和线型由一个无量纲的因子 y 来决定(y 为入射光波长和分子平均自由程之比)。对于 气体介质来说， 散射处于动力学区域(0.3<y<3)， 气体介质中的瑞利散射峰和对称于它的正反 斯托克斯布里渊峰混叠在一起，形成一个大的包络，无法完全区分开，因而需要在该区域中 建立一个合适的 RBS 数学模型。 目前，S6 [6
2 ⎧ 2 ln 2 ⎪ −4 ln 2 ⋅ ( v − vc ) ⎫ ⎪ ⋅ exp ⎨ ⎬ 2 ΔvG π ⋅ ΔvG ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
(2)
L (v ; ΔvL , vc ) 为洛伦兹函数，其定义为：
2 L (v ; ΔvL , vc ) = ⋅
π 4 ( v − vc )2 + ΔvL 2
ΔvL
基金项目：国家自然科学基金资助课题（61078062 ，61108074）；高等学校博士学科点专项科研基金资助 课题（20100142120012） 作者简介：梁琨，（1981-），男，讲师，主要从事激光与红外遥感、信号与信息处理方面的研究工作。 通信联系人： 周波， （1976-） ， 男， 讲师， 主要从事激光与红外遥感， 信号与信息处理方面研究工作。
表 1 不同气压下 S7 模型和 V3 模型拟合得到的曲线之间的相关系数和最大偏差 1 3 5 7 0.99999 0.99991 0.99951 0.99902 0.431% 1.546% 3.802% 4.035%
压强(atm) 相关系数 最大偏差
随后，我们把 V3 模型与目前应用中使用较多的高斯模型进行了比较。如图 2a，在一个 大气压下，可以看到 V3 模型比高斯模型要更符合标准的 RBS 谱线。高斯模型的底部偏宽， 顶部偏窄，峰值偏高。图 2b 是 2 个模型与 S7 模型的残差比较。同样可以看出，高斯模型在 多处存在较大的残差，而 V3 模型误差极小。
，7]
和 S7 [8
，9]
模型是公认最好的描述 RBS 谱的数学模型。该模型从微观的碰
撞理论出发，通过求解波尔兹曼或类波尔兹曼方程来得到 RBS 谱的整体廓线。但是，波尔 兹曼方程的解没有解析形式，只能通过数值求解获得，导致从 S6 和 S7 模型中获取有用参 数将会变得十分的复杂。正因如此，利用简单的高斯函数对 RBS 谱进行数学建模的方法得
， 14]
：
V (v ) = L(v ; ΔvL , vc ) ∗ G (v ; ΔvG , vc ) =
−∞
∫ L(v ; Δv , v ) ⋅ G(v − τ ; Δv
L c
∞
G
, vc ) dτ
(1)
其中， G (v ; ΔvG , vc ) 为高斯函数，其定义为：
G (v ; ΔvG , vc= )
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气体瑞利布里渊散射的频谱分析模型#
梁琨，余寅，马泳，黄珺，周波**
（华中科技大学电子与信息工程系，武汉 430074） 摘要：文章构建并讨论了一个气体瑞利布里渊散射(RBS)的频谱分析模型。公认的 S6 和 S7 模型只具有数值形式，在实际应用中处理起来很复杂；而简单的高斯模型不够精确，容易造 成较大的误差。 针对以上问题， 一种基于谱线展宽理论和 Voigt 线型理论的新模型(V3 模型) 被提出。该模型具有解析形式，处理起来很容易，并且能够较好地符合 S7 模型得到的瑞利 布里渊散射的频谱。另外，这种模型能够将混在一起的瑞利和布里渊线型分开。仿真结果证 明，测得的布里渊频移与理论值是匹配的。 关键词：大气散射；线型；频移；频谱分析 中图分类号：O436.2
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似[13
，15]
：
V (v ) ≈ Vp (v) = ρ ⋅ L(v ; ΔvL , vc ) + (1 − ρ ) ⋅ G (v ; ΔvG , vc )
其中， ρ 为洛伦兹函数的权重，取值 0 到 1。 由此，V3 模型可表示为：
(5)
� Diag (ρ) i G + [I − Diag (ρ)] i L = V 3
分别为正反斯托克斯布里渊散射谱线， C 0 = [ A 渊权重系数。
B
B ] ，A 为瑞利权重系数，B 为布里
T
V3 模型中包含 3 个 Voigt 线型，即三个卷积过程。然而该卷积积分无法用解析式表达 出来，只能采用数值积分方法获得。然而，数值积分的方法计算量大，耗时很长，对参数的 求解比较麻烦。 为了方便计算和应用， 我们采用类 Voigt 线型函数 Vp(v)作为 Voigt 线型的近
，13]
。散射发生时，
两种展宽机制都存在，忽略任何一种展宽机制的数学模型都只能是对真实谱线的一种近似， 将不可避免地造成误差。 由高斯分布和洛伦兹分布卷积得来的 Voigt 线型能够兼顾这两种展 宽，是表示谱线展宽的最好函数形式，因而瑞利和布里渊线型都能够由 Voigt 线型 V(v)表示 出来[13
(6)
⎡GRayl (v) ⎤ ⎡ G (v ; ΔvGr , 0) ⎤ ⎡ LRayl (v ) ⎤ ⎡ L(v ; ΔvLr , 0) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L+ (v ) ⎥ = ⎢ L(v ; Δv , −v ) ⎥ ， + G (v ) = G (v ; ΔvGb , −vb ) ， L = 其中， G = Lb b ⎥ ⎢ Brill ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Brill ⎥ ⎢ − − ⎢ ⎢ ⎣GBrill (v) ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ G (v ; ΔvGb , vb ) ⎥ ⎦ ⎣ LBrill (v ) ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ L(v ; ΔvLb , −vb ) ⎥ ⎦ ⎡ ρr ⎤ ρ = ⎢ ρ b ⎥ 为洛伦兹权重列向量， I 3 为三阶单位矩阵。由于我们对激光的中心频率进行了归 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ρb ⎥ ⎦
Analytical model for Rayleigh Brillouin scattering spectra in gases
(The Department of Electronics and Information Engineering, Huazhong University of Science and Technology, WuHan 430074) Abstract: Analytical model for Rayleigh Brillouin scattering (RBS) spectra of gases is developed and discussed in this paper. The well-recognized S6 and S7 models only have numerical form and are complex to process in real applications; simple Gaussian models are imprecise and suffer from greater error. A new model (V3) based on spectral line broadening theory and Voigt profile is established. This model is easy to process as it has an analytical form, and is proved to have good accordance with S7 model. In addition, this model can separate Rayleigh and Brillouin line, the measured Brillouin shift is proved to match with theoretical values. Keywords: Atmospheric scattering; Line shapes; shifts; Spectrum analysis
零，所以瑞利散射谱线的中心频率为 0，而上式中布里渊散射谱线的中心频率 vb 就是布里渊 散射频移。 最终，V3 模型可以表述为：
= VRB CT 0 i{ Diag (ρ) i G + [I 3 − Diag (ρ)] i L}
(7)
上式中待定的参数都为瑞利散射峰和布里渊散射峰的特征参数， 因此将上式带入通过实 验或仿真得到的气体瑞利布里渊廓线数据进行曲线拟合即可得到这些参数， 进而反演大气温 度。此外，由于瑞利散射峰和布里渊散射峰拥有各自独立的解析式，本模型还能独立求解瑞 利散射峰和布里渊散射峰，方便研究 RBS 谱内部具体构成形式。
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到了广泛的应用[4
，10，11]
。高斯模型有一个简单的解析表达形式并且使用起来很简单，然而
它只是对 RBS 谱粗略地近似，使用高斯模型进行气体参数的求解会带来较大的测量误差。 在本文中，我们的目标是建立一个全新的描述 RBS 谱的数学解析模型。本文将从 RBS 产生原理出发，结合谱线展宽理论，分析 RBS 谱各组成部分的线型，寻找合适的解析形式 的函数用于建模， 得到一个比简单的高斯模型更为精确的， 同时能够通过常规的拟合方法从 测量到的 RBS 谱线中获得气体温度等参数的数学模型，使瑞利布里渊散射激光雷达的应用 范围更加广泛。
2 实验与分析
如果在各种条件 我们将以 Pan 的 S7 模型[8]数据为基础来分析文中的 V3 模型的精确性， 下由 S7 模型获得的瑞利布里渊廓线都能被 V3 模型精确描述， 那么 V3 模型也能够接近实际 的 RBS 谱。 图 1 中，我们用 S7 模型计算获得了四种不同气压下 N2(T=292K)的 RBS 谱线数据并采 用 V3 模型和 Levenberg-Marquart 算法对参数进行了拟合。为了方便和分析拟合效果，我们 对曲线作了相对标准化处理，其入射光频率相对为零，布里渊频移统一标准化为 0.8367，整 个 RBS 谱线的频率范围标准化到[-2,2]，而整体的瑞利布里渊散射谱能量标准化为 100。另 外由于 RBS 谱是关于入射激光频率中心对称的， 所以图中仅绘制了每个 RBS 谱的右半部分。
1 理论
激光与气体作用产生的 RBS 谱包含了瑞利散射和布里渊散射两部分，其中锐利散射的 中心频率为激光频率， 正反斯托克斯布里渊峰对称地分布在锐利散射峰的左右。 由于气体的 RBS 谱中的布里渊散射频移较小，布里渊峰和瑞利峰混叠在一起，形成一个大包络。从理 论上来说，RBS 谱是瑞利散射谱和布里渊散射谱的线性叠加的结果，因而能够分别对二者 进行独立的研究。 而根据谱线展宽理论可知，无论是瑞利散射谱还是布里渊散射谱,都由两种展宽组成： 均匀展宽和非均匀展宽。前者呈现洛伦兹线型，而后者呈现高斯线型[12