斐波那契数列问题的探索

斐波那契数列问题的探索
摘要：斐波那契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……在数学上，斐波纳契数列以如下递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

关键词：裴波那契数列问题
一、简述裴波那契数列
(一)简介
裴波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是大概是比萨。

1202年，他撰写了《算经》（Liber Abacci）一书，他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。

他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。

他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

(二)定义
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

(三)通项公式
1.公式。

此公式又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。

此时a1=1，a2=1，
a n =a(n-1)+a(n-2)（n≥3,n∈N*）
2.推导。

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N ）。

那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。

方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：x²=x+1
解得：x 1=
251+，x 2=2
5
1- 则F(n)=c 1·x 1n +c 2·x 2n ∵F ⑴=F ⑵=1 ∴c 1·x 1+ c 2·x 2 ∴c 1·x 1² + c 2·x 2²
解得：c 1=
55，c 2=55- ∴F(n)= 55×[(251+)n - (2
51-)n
]
方法二：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）
设常数r ，s ，使得F(n)-r ·F(n-1)=s ·[F(n-1)-r ·F(n-2)]，则r+s=1 r-s=1 n≥3时，有：
F(n)-r ·F(n-1)=s ·[F(n-1)-r ·[F(n-2)] F(n-1)-r ·F(n-2)=s ·[F(n-2)-r ·F(n-3)] F(n-2)-r ·F(n-3)=s ·[F(n-3)-r ·F(n-4)] ……
F ⑶-r ·F ⑵=s ·[F ⑵-r ·F ⑴]
联立以上n-2个式子，得：F(n)-r ·F(n-1)=s n 2
-·[F ⑵-r ·F ⑴]
那么： F(n)=s
n 1
-+r ·F(n-1） =s n 1
-+ r ·s n 2
- + r ²·F(n-2）
=s n 1-+r ·s
n 2
-+ r ²·s n 3
-+r ³·F(n-3）
……
=s n 1
-+ r ·s n 2-+r ²·s n 3
-+……+ r n 2
-·s +r n 1
-·F ⑴ =s
n 1-+ r ·s
n 2-+r ²·s
n 3-+……+ r
n 2-·s +r
n 1
-
（这是一个以s
n 1
-为首项、以r
n 1
-为末项、s
r
为公比的等比数列的各项的和）
=
s
r r s n n -
---1)1
1
(=r
s r
s n
n
--
r+s=1，-rs=1的一解为 s=
251+，r=251-，则F(n)=55·(251+)n – (2
51-)n
(四)与黄金分割的关系
1.总述。

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的，而且当n 趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618。

（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。

）
1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666,…，8÷5=1.6，……，89÷55=1.6181818，…，233÷144=1.618055，……75025÷46368=1.6180339889……越到后面，这些比值越接近黄金比。

2.证明。

a(n+2)=a(n+1)+a(n)
两边同时除以a(n+1)得到：)1()2(++n a n a =)
1()
(1++n a n a
若
)
()
1(n a n a +的极限存在，设其极限为x ， 则lim
∞→n )1()2(++n a n a =lim ∞
→n )()
1(n a n a +=x
所以x=1+x
1
即x 2=x+1 所以极限是黄金分割比
二、奇妙的属性
(一) 斐波那契数列的性质
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数额（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1。

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

斐波那契数列的第n 项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

斐波那契数列[f(n ），f(0)=0，f ⑴=1，f ⑵=1，f ⑶=2……]的其他性质： 1. f(0)+f ⑴+f ⑵+…+f(n)=f(n+2)-1 2. f ⑴+f ⑶+f ⑸+…+f(2n -1)=f(2n ） 3. f ⑵+f ⑷+f ⑹+…+f(2n) =f(2n+1)-1
4. [f(0)]2+[f ⑴]2+…+[f(n)]2=f(n ）·f(n+1）
5. f(0)-f ⑴+f ⑵-…+(-1)n ·f(n)=(-1)n ·[f(n+1)-f(n)]-1
6. f(n+m)=f(n)·f(m)+f(n -1)·f(m -1)
7. [f(n)]2=(-1)n-1+f(n-1）·f(n+1）
8. f(2n-1)=[f(n)]2-[f(n-2)]2
9.
3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
10. f(2n-2m-2)·[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n 〉m≥-1，且n≥1] 11. f(2n+1)=[f(n)]2+[f(n+1)] 12.
)
()
2(n f n f =f(n-1)+f(n+1)
(二)隐藏的斐波那契数列
将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：f⑴=C(0,0)=1
f⑵=C(1,0)=1
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8
f⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13
……
f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
(三) 斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个数有且只有一个被2整除，每4个数有且只有一个被3整除，每5个数有且只有一个被5整除，每6个数有且只有一个被8整除，每7个数有且只有一个被13整除，每8个数有且只有一个被21整除，每9个数有且只有一个被34整除，……
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是），斐波那契数列的素数无限多吗？
(四)斐波那契数列与植物花瓣
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。

叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。

在一个循回中叶子数与叶
子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比，多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

三、裴波那契数列相关问题
(一)兔子数列[关于斐波那契数列的别名]
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

这个数列是意大利中世纪数学家裴波那契在《算经》一书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=a n +a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：
a n =
5
1×[(
251+)n -(2
51-)n
]（n=1,2,3.....）。

其中，记载了一个有趣的兔子问题： 已知：一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子生下后第二个月也开始生小兔子，那么，从刚出生的一对兔子开始算起，如果所有兔子都不死，满一年时可以繁殖出多少对兔子呢？
解题思路：我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子一共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；……
依次类推可以列出下表：
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数 总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。

这个数列有关十分明显的特点：前面相邻两项之和，构成了后一项。

由第1个月到第12个月，兔子的对数分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。

所以，满一年时可以繁殖出376对兔子。

(二)排列组合
1.爬楼梯问题。

已知：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨1级或2级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
解题思路：这就是一个典型的斐波那契数列：登上第1级台阶有1种走法；登上2级台阶，有2种走法；登上3级台阶，有3种走法；登上4级台阶，有5种走法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上10级台阶，有89种走法。

（小延伸）已知，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？ 解：
5
1×（
251+）10+2 - (2
51-)+10+2
=144(种) 2.小明爬楼梯。

已知：小明爬16级台阶楼梯，每步可以爬1级台阶、2级台阶、3级台阶，但不能踏到第7级台阶和第15级台阶，要爬上第16级台阶共多少种方法？
解题思路：(第1阶段上到第6级台阶)×(上到第8级台阶)×[(上到第13级台阶)×(上到第16级台阶)+(上到第14级台阶)×(上到第16级台阶)]+(第1阶段上到第5级台阶)×(上到第8级台阶)×[(上到第13级台阶)×(上到第16级台阶)+(上到第14级台阶)]+(第1阶段上到第6级台阶)×(上到第9级台阶)×[(上到第12级台阶)×(上到第16级台阶)+(上到第13级台阶)×(上到第16级台阶)]=1849种方法。

即：f(16)=f(6)×1×[f(5)×1+f(6)×1]+f(5)×1×[f(5)×1+f(6)×1]+f(6)×[f(4)×1+f(5)×1]=1849种方法。

(三)数学游戏
有一位魔术师拿着1块边长为25cm 的正方形地毯，对他的地毯将朋友说：“请您把这块地毯分成4小块，再把它们缝成1块长40m 、宽1.5m 的长方形地毯。

”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差0.1m 2呢！可是魔术师让匠师用下面的图上所示的办法达到了他的目的。

那神奇的0,1m 2去哪了？
解题思路：实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好是0.1m 2。

四、斐波那契数列相关应用 (一) 自然界中的巧合
斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。

例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。

所以，一株树苗在一段间隔，例如1年以后长出1条新枝；第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发：此后，老枝与“休息”过1年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。

这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。

这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3，5，8，13，21，……
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。

这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。

(二) 数字谜题
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：
已知：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm。

如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
解题思路：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。

截成的铁丝最小为1cm，因此可以放2个1cm，第三条线段就是2cm（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55以上各数之和为143cm，与144cm相差1cm，因此可以取最后一段为56(cm)，这时n达到最大为10cm。

我们看到，“每段的长度不小于1cm”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1cm换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。

这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。

在这个问题中，144cm>143cm，这个143cm是斐波那契数列的前n项和，我们是把144cm超出143cm的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

(三) 影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现。

比如,在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题，由此可见，数列就像黄金分割一样流行。

可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。

参考文献：
[1]杜学知著.小学趣味数学问题研究.山东:山东科学技术出版社
[2]王元(主编).小学数学竞赛指导.北京:人民教育出版社
[3]数学文摘[J]—来源于网络
[4]维基百科
[5]百度百科
[6]百度文库。