强化中学数学建模教学的思考

强化中学数学建模教学的思考

镇江市丹徒区职教中心杨燕

随着科学技术、经济的飞速发展和计算机的广泛应用，数学日益成为一种技术，其手段就是计算和数学建模。所谓数学建模，粗略地说就是“解决各种实际问题的一种数学的思考方法。”具体地说：“数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种‘规律’建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新进行改进。

1、强化数学建模教学的意义

强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点。无论是美国“数学课程标准”，还是英国的“国家数学课程”都对数学应用能力的发展十分重视。瑞典的课程标准认为“数学课的根本目的是使所有的学生获的解决他们的日常生活中遇到的数学问题的能力”，法国的数学大纲也提出：“更重要的是应该运用所学知识解决自己在实践中遇到的问题”。重视用数学知识解决实际问题，也使我国数学的传统之一。中学数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高素质的人才打好基础。在中学数学教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有重要意义。近年来，我国对数学应用给予了高度重视。

1.1 促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识

现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十来年的数学教育，他们懂得了不少数学知识，但是接触到实际常常表现得束手无策，灵活地、创造性地运用数学知识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正是实践----理论----实践的过程，是理论与实践的有机结合。强化数学建模的教学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决实际问题的能力。

1.2 培养学生的能力

数学建模教学体现了多方面能力的培养：（1）翻译能力。能将实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解用一般人所能理解的非数学语言表达出来；（2）运用数学的能力。表现在能用数学工具对所建立的数学莫型进行处理；（3）交流合作能力。数学建模活动中常常是小组分工合作、密切配合、相互交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；（4）创造能力。数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答。因此，数学建模本身就给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围，通过建模，学生要从貌似不同的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力。

1.3 发挥了学生的参与意识，体现了学生主体性

强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学法，它一改过去满堂灌模式为讨论班方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程中的主体，师生处于平等地位。由于要求学生对学习的内容进行报告、答辩或争辨，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。所以数学建模教学符合现代教学理论，必将有助于教学质量的提高和素质教育的全面实施

2、数学建模的一般方法

数学建模是解决实际问题的过程，在这一个过程中，建立数学模型是最关键、最重要的环节，也是学生的困难所在。它需要运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等）加以简化、抽象、翻译、归纳，通常采用机理分析和统计分析两种方法。机理分析法是指人们根据客观事物的特征，分析其内部的机理，弄清其因果关系，再在适当的简化假设下，利用合适的数学工具描述事物特征的数学模型。统计分析法是指通过测试得到一串数据，再利用数理统计的知识对这串数据进行处理，从而得到数学模型。

中学数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：

2.1 审题

建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，

明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。

2.2 简化

根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。

2.3 抽象

将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。

按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。

例（落料问题）某机械厂要把一批长为135厘米的合金钢截成17厘米长和24厘米长两种规格，问怎样落料能使材料利用率最高？

分析：要使材料利用率最高，也就是要使落料时废弃的材料最少，因此截成的两种规格合金钢的根数是正整数，落料方案可以建立以下数学模型：

设截成17厘米和24厘米长的合金钢分别是x 根和y 根，则得

),(1352417N y x y x ∈≤+，即),(163

.549.7N y x y x ∈≤+。

在坐标纸上，建立坐标系，作出直线163

.549.7=+y x ，然后在坐标系中寻找满足上述不等式且坐标为正整数的点，同时，要求这些点与所作直线从下方尽可能靠近。

从图上可以看出，A 、B 、C 三点在直线的左下方且与它比较靠近。

对于A （2，4），因为2×l7＋4×24＝130，所以利用率为96.3％； 对于B （5，2），因为5×l7＋2×24＝133，所以利用率为98.5％； 对于C （6，1），因为6×l7＋1×24＝126，所以利用率为93.3％。 由此可见，截成17厘米和24厘米长的合金钢分别为5根和2根时，剩下的废料最少，该落料方案最佳。

3、教学策略----立足教材强化建模教学

3.1 打好基础，强化意识

对于一个繁杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关系，转化成数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想、方法是不可能的。因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的系统学习，打好基础。但是，我们也看到，解决常规问题的能力强，不见得解决实际问题的能力就强，从掌握知识到应用知识不是自然形成的。大纲指出：“能力是在知识的教学和技能的训练中，通过有意识的培养而得到发展的。”因此，教学中要注意从实际问题引入概念和规律，强化建模意识，用数学模型的方法解决实际问题。

3.2 挖掘教材，适当补充

从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型，可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入

钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。例如：

（1）平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、裂变等，可以建立幂函数、指数函数、对数函数或方程模型。

（2）最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型。

（3）行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型。

（4）拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型。

（5）测量问题，可以建立解三角形模型。

（6）计数问题，可以建立排列组合模型。

结合教材内容，还可以提出或构作一些比较浅显的建模问题。 例如，求方程32654321=+++++x x x x x x 的非负整数解的个数。 分析：由于所求的是非负整数解，故可设想用5块木块把32个相同的小球分成6组，某些组可以没有小球，于是32个小球和5块木板共有

37个位置，从这37个位置中任选5个位置放木块，则共有537C 种放法，即

为所求方程的解的个数。

拓展、补充的数学建模问题，即要密切联系教学内容，又要源于现实，并且使学生感兴趣的、用所学知识能够解决的问题。

3.2零存整取

我们认为中学数学的课堂上应结合教学内容有计划地强化建模教学，还数学知识源于现实的本来面貌。考虑到我国数学建模教学刚刚起步，现行教材内容、教学时间、以及教师的知识、经验和思维习惯，还有一个转换的

过程，可以将建模工作的一部分安排在课外去做，既课内课外相结合。有的建模问题较复杂，可以将其分解、分步解决，或由教师带领下解决某些环节，其求解过程可留给学生课后解决，最后再向学生讲解、交流或写成小论文，这种“零存整取”的做法，即发挥了教师的主导作用，体现了以学生为主体的原则，由培养了学生的探索精神和教学能力。