2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)PM

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f 和ϕ均为可微函数： ⑴ 3

4

(())y f x x ϕ=+； ⑵ (12)3sin ()y f x f x =-+. 解：⑴ 3

4

3

4

d [()]d[()]y f x x x x ϕϕ'=++

34234=[()][34()]d f x x x x x x ϕϕ''++

⑵ d d (12)3dsin ()y f x f x =-+

=(12)d(12)3cos ()d ()(12)(2)d 3cos ()()d [2(12)3cos ()()]d .

f x x f x f x f x x f x f x x f x f x f x x '--+''=--+''=--+

2．解：1211111

R ()()(1)!2(1)!2

n n n n n +++=

++

++

=

12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++

++++

12

2111111()[1()](1)!212(1)2

n n n n +<

+++

+++

1111

()1(1)!212(1)n n n +=

+-

+

11

()!(21)2

n n n =

+

从而 111

()!(21)2

n n R n n +<

+

3．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x 万元，则 5=

10

(10)0.050

e d t x t -⎰

即 5=20x (e 0.5-1)

0.5

1

4(e

1)

x =

-≈0.385386万元=3853.86元．

习题六

4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？

(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)

(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=

772

2552

2

2

(52)d 51x x x x

-=-=-⎰

．

即此时总利润减少1万元.

5．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ． 试求最大利润． 解： 设利润函数L (x )． 则L (x )=R (x )－C (x )－50

由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．

又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为 L (11)=

11

20

(1211)d 50x x x -+--⎰

311013341[611]50111.333x x x =-+--=

=

6． 求下列旋转体的体积：

（1）

由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋

转；

解： 求两曲线交点⎩⎨⎧y =x

2

y 2=x

3得(0，0)，(1，1)

V =π⎠⎛01

()x 3-x 4

d x

=π⎣⎡⎦⎤14x 4-1

5x 51

0 =

π

20

． （14） （2）由y =x 3，x =2，y =0所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转；

解：见图14，V x =π⎠⎛02

x 6d x =128

7π

V y =π⎠⎛08

⎝⎛⎭⎫22-y 2

3d y

=64

5π． （2）

星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3绕x 轴旋转；

解：见图15，该曲线的参数方程是：

⎩⎨⎧x =a cos 3t y =a sin 3t

0≤t ≤2π ， 由曲线关于x 轴及y 轴的对称性，所求体积可表示为

V x =2π⎠⎛0

a

y 2

d x

=2π⎠⎜⎛π

2

()a sin 3t 2d ()a cos 3t

=6πa 3

⎠⎜⎛0

π2sin 7t cos 2

t d t

=

32105

πa 3

(15)

7．已知

sin π

d 2

x x x +∞

=⎰

，求： 0sin cos (1)d ;x x

x x

+∞

⎰

解：(1)原式=001sin(2)1sin π

d(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰

22

sin (2) d .x x x +∞

⎰

解：