16-空间群3
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
.75 .42
.92
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (b)
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (c)
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例：黑铜矿CuO的结构
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1 :0 4: 1 4
， ， ， பைடு நூலகம் ， ，，
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Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4， Cu：4，O：20
一般等效点数: 32，因此，所有原子应该占据特殊等效点位置。 2个Ru可以放在2a或2b位置，把它们放在2a位置。 4个Sr，4个(Gd,Ce）和4个Cu应该占据4c，4d或4e位置之一； 考虑到可能的堆积对成键的影响，把20个氧放在重复数为4或8的 等效点位置，最后对该氧化物的结构精化分析结果如下：
特殊位置等价点系 1 (d )
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (e)
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例：黑铜矿CuO的结构
a 0.465nm
3 4 1 2 1 4 3 4
b 0 . 341 nm
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
特殊位置等价点系 1 (a) ， ，
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
特殊位置等价点系 1 (b) ，
第四章：晶体的对称性 §4.1 对称性的概念 §4.2 空间变换 §4.3 对称群的类型和性质 §4.4 晶体学点群 §4.5 晶系 §4.6 空间群和国际表
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25 .75 .42 .92
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
h4
2次旋转轴
底心单斜格子： n 2
h 4 2 8
对称素：
2 c
1
单胞中的分子数：Z 4
例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
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，
简单格子 同态点群：mmm 正交晶系 简单正交格子： n 1
空间群：
Pmcn
No.62
h 8
垂直于a 垂直于b 垂直于c 的反射面 的c滑移 的n滑移 反射面 反射面
h 8 1 8
对称素： 21 m
21 c 21 n
1
单胞中的分子数： Z 4
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
乌科夫符号 一般位置等价点系
特殊位置等价点系
等效点数
位置点群
位置坐标
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
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一般位置等价点系
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P
Simultaneous Ferromagnetics and Ferroelectrics
Ferroelastic
e s
c
M
m
Ferromagnetic
H
Magnetic
Mechanical
基于多铁性的电写电读随即存储器
Manipulating magnetization electrically Multistate memory Direct sensing of magnetic field . . . . . .
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
：C×4
0.25, 0.75, 0.42
.25
.58
：Ca×4
0.25, 0.08, 0.25
：O1×4
0.25, 0.58, 0.42
：O2×8
0.02, 0.67, 0.92
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
，
例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
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例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
特殊位置等价点系
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (a)
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关 联 电 子 效 应
超导：（传统）电荷-晶格 巨磁电阻：电荷-自旋 稀磁半导体：电荷-自旋 铁磁：自旋-自旋 铁电：电荷-电荷 多铁性：电荷-自旋 ……
稀磁半导体
自旋流
多铁性
Electrical Ferroelectric
E
e
There is coupling between magnetic and electric
I 4 mmm
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4: 1 4
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4态存储器
Manipulating magnetization electrically Multistate memory Direct sensing of magnetic field . . . . . .
Charge/orbital ordering in La0.5Sr1.5MnO4
例
例
第四章：晶体的对称性 §4.6 空间群和国际表
其它对称群：
空间维数
对称维数
1 线群
2 花边群
3 棍群
1
2
3
×
×
面群
×
层群
空间群
色对称群
固体物理能够处理的两种近似
一、近自由
原子的周 期结构
二、紧束缚
电子-电子之间没有相互作用！
关联电子体系 电子-电子之间 存在相互作用！
电荷
自旋 轨道 晶格
DQC ~ 1 e DQO ~ 0
作业
补充题： 1、画出金刚石结构的点系，找出所有的滑移 面和螺旋转动轴。 2、作出空间群Pbcn的两个俯视图。
1 4 3 4
1 2
1 4
：Cu×4
0.25, 0.25, 0.00
：O×4
0.00, 0.416, 0.25
c 0.511nm
1 (d )
1 ( e)
99.5
例：等效点系应用
RuSr2(Gd,Ce)2Cu2O10
X射线粉末衍射分析表明：具有体心四方点阵， 从衍射消光初步判断其空间群：4/mmm， 其它检测手段表明：其晶胞具有两个分子，Z=2。 Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4，Cu：4，O：20
：C×4
0.25, 0.75, 0.42
.25
.58
：Ca×4
0.25, 0.08, 0.25
：O1×4
0.25, 0.58, 0.42
：O2×8
0.02, 0.67, 0.92
m(c)
m(c)
m(c)
(d )
例：黑铜矿CuO的结构
底心格子
空间群：
C2 c
No.62
垂直于2 的c滑移 反射面
同态点群： 2 m 单斜晶系
，
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
一般位置等价点系
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
特殊位置等价点系 m(c)
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
.75 .42
.92
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (b)
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (c)
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例：黑铜矿CuO的结构
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， ， ， பைடு நூலகம் ， ，，
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Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4， Cu：4，O：20
一般等效点数: 32，因此，所有原子应该占据特殊等效点位置。 2个Ru可以放在2a或2b位置，把它们放在2a位置。 4个Sr，4个(Gd,Ce）和4个Cu应该占据4c，4d或4e位置之一； 考虑到可能的堆积对成键的影响，把20个氧放在重复数为4或8的 等效点位置，最后对该氧化物的结构精化分析结果如下：
特殊位置等价点系 1 (d )
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例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (e)
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例：黑铜矿CuO的结构
a 0.465nm
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
特殊位置等价点系 1 (a) ， ，
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例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
特殊位置等价点系 1 (b) ，
第四章：晶体的对称性 §4.1 对称性的概念 §4.2 空间变换 §4.3 对称群的类型和性质 §4.4 晶体学点群 §4.5 晶系 §4.6 空间群和国际表
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25 .75 .42 .92
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
h4
2次旋转轴
底心单斜格子： n 2
h 4 2 8
对称素：
2 c
1
单胞中的分子数：Z 4
例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
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简单格子 同态点群：mmm 正交晶系 简单正交格子： n 1
空间群：
Pmcn
No.62
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垂直于a 垂直于b 垂直于c 的反射面 的c滑移 的n滑移 反射面 反射面
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对称素： 21 m
21 c 21 n
1
单胞中的分子数： Z 4
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
乌科夫符号 一般位置等价点系
特殊位置等价点系
等效点数
位置点群
位置坐标
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
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一般位置等价点系
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Simultaneous Ferromagnetics and Ferroelectrics
Ferroelastic
e s
c
M
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Ferromagnetic
H
Magnetic
Mechanical
基于多铁性的电写电读随即存储器
Manipulating magnetization electrically Multistate memory Direct sensing of magnetic field . . . . . .
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
：C×4
0.25, 0.75, 0.42
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：Ca×4
0.25, 0.08, 0.25
：O1×4
0.25, 0.58, 0.42
：O2×8
0.02, 0.67, 0.92
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
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例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
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例：黑铜矿CuO的结构
一般位置等价点系
特殊位置等价点系
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (a)
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关 联 电 子 效 应
超导：（传统）电荷-晶格 巨磁电阻：电荷-自旋 稀磁半导体：电荷-自旋 铁磁：自旋-自旋 铁电：电荷-电荷 多铁性：电荷-自旋 ……
稀磁半导体
自旋流
多铁性
Electrical Ferroelectric
E
e
There is coupling between magnetic and electric
I 4 mmm
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4态存储器
Manipulating magnetization electrically Multistate memory Direct sensing of magnetic field . . . . . .
Charge/orbital ordering in La0.5Sr1.5MnO4
例
例
第四章：晶体的对称性 §4.6 空间群和国际表
其它对称群：
空间维数
对称维数
1 线群
2 花边群
3 棍群
1
2
3
×
×
面群
×
层群
空间群
色对称群
固体物理能够处理的两种近似
一、近自由
原子的周 期结构
二、紧束缚
电子-电子之间没有相互作用！
关联电子体系 电子-电子之间 存在相互作用！
电荷
自旋 轨道 晶格
DQC ~ 1 e DQO ~ 0
作业
补充题： 1、画出金刚石结构的点系，找出所有的滑移 面和螺旋转动轴。 2、作出空间群Pbcn的两个俯视图。
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：Cu×4
0.25, 0.25, 0.00
：O×4
0.00, 0.416, 0.25
c 0.511nm
1 (d )
1 ( e)
99.5
例：等效点系应用
RuSr2(Gd,Ce)2Cu2O10
X射线粉末衍射分析表明：具有体心四方点阵， 从衍射消光初步判断其空间群：4/mmm， 其它检测手段表明：其晶胞具有两个分子，Z=2。 Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4，Cu：4，O：20
：C×4
0.25, 0.75, 0.42
.25
.58
：Ca×4
0.25, 0.08, 0.25
：O1×4
0.25, 0.58, 0.42
：O2×8
0.02, 0.67, 0.92
m(c)
m(c)
m(c)
(d )
例：黑铜矿CuO的结构
底心格子
空间群：
C2 c
No.62
垂直于2 的c滑移 反射面
同态点群： 2 m 单斜晶系
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一般位置等价点系
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特殊位置等价点系 m(c)