高中数学：三角函数的诱导公式 课件

圆的对称性 角的终边 的对称性 角之间的 数量关系 诱导公式
对称点的 数量关系
“对称是美的基本形式”
作业
P27 第2题
P28 第7题
.
诱导公式记忆 口诀：
奇变偶不变 符号看象限
注意： 看成锐角，原函数值的符号

例题与练习
3π 例 3、 证 明 ： （ 1） in( s α ) cos α ; 2 3π (2)cos( α ) sin α . 2
例题与练习
1 求下列三角函数值 （1）sin(-12000) (1) 3 2 （2）cos(47/6)
-1 0 -1

P(x,y) 1 x
公 式六 :
π sin( α ) cos α , 2 函数值，前面加上一个 把α 看 π 成锐角时原函数值的符 号。 cos( α ) sin α . 2
π α 的正弦（余弦）函数 2 值，分别等于 α 的余弦 （正弦）
总结：
1.公式五，六口诀： 函数名改变，符号看象限；
3 当n为奇数时， 4
练习1 求sin(2n+2/3)· cos(n+4/3)的值(nZ)
3 当n为偶数时， 4
2 化简 cos[(4n+1)/4+x]+ cos[(4n-1)/4-x]
当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)
小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
y y tan( ) x x
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间 的关系


sin( ) sin
公式二
cos( ) cos
tan( ) tan
探究2
我们再来研究角 与 的三角 函数值之间的关系
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
3 16 16 sin( 5 ) ( sin ) (3) sin( ) sin 3 3 2 3 3
11
公式五 :
公 式七 :
3π π sin( α ) cos α , sin( α ) cos α , 2 2 3π π cos( α ) sin α . cos( α ) sin α . 2 2 公 式六 : 公 式八 : 3π π sin( α ) cos α , sin( α ) cos α , 2 2 3π π cos( α ) sin α . cos( α ) sin α . 2 2
2016/9/29
一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔
一.复习回顾
Baidu Nhomakorabea
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ （2）余弦cosα＝
y
P(x,y)
r 1 sin y
公式四
cos x
sin( ) y cos( ) x
y y tan( ) x x
y tan x


公式四
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( 2k ) sin (k Z )
cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan (k Z )
（公式一）
二、思考：
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ， 请同学们思考回答点 P 关于原点、x 轴、y 轴对称 的三个点的坐标是什么?
x
y ，关于 点 Px，y 关于原点对称点 P 1 x， y ，关于 y 轴对称点 P2 x，y 轴对称点 P3 x，
探究1
r 1
sin y cos x y tan x sin( ) y cos( ) x
2 已知cos (750+)=1/3, 求cos(1050-)+cos(2850-)
0
例题与练习
1 已知角的终边上的一点P(3a,4a) (a<0) 则cos(5400-)的值是 3/5 。 2 cos(-8/3)+cos(+13/3)= 0 .
例题与练习
例4 化简
sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
y
x
O
（3）正切tanα＝
y x
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
公式一：
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan (k Z )
公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例1.求下列三角函数值
四.例题分析
(4) cos(2040 ) cos 2040 cos(5 360 240)
cos 240
cos 60
cos(180 60)
1 2
练习反馈
填写下表

3

sin

2 3
4 3
3 2
3 2
cos
1 2
1 2
3 2
5 3
3 2
7 3
3 2
1 2
1 2
1 2
cos(180 ) sin( 360 ) 例2 化简： 0 0 sin( 180 ) cos(180 )
0 0
练习反馈
(1)已知： tan 3, 求 2 cos( ) 3sin( ) 的值. 4 cos( ) sin(2 )
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
三.发现规律：
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式． 等于 的同名三角函数值前面加上把 看作 锐角时原函数值的符号。
2k (k z )、、 的三角函数值，
简记为“函数名不变，符号看象限”
小结
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗？
任意负角的 三角函数 用公式 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角的三 角函数 用公式 二或四
三或一
0 ~ 2 的
3 (2)已知cos( + )= , 6 3 5 求cos( - )的值. 6

探索研究
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ， 请同学们思考回答点 P 关于直线 y x 对称的 点的坐标是什么?
y 1
P′(y,x)
公式五 : π sin( α ) cos α , 2 π cos( α ) sin α . 2
r 1 sin y
cos( ) x
公式三
cos x
sin( ) y
y y tan( ) x x
y tan x


公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
3 ( 2) 2
2 求三角式sin(-12000)· cos(12900)+cos(-10200)· sin(-10500)+tan9450 2
3 计算 cos(/5)+ cos(2/5)+ cos(3/5)+ cos(4/5)
0
例题与练习
练习1 已知sin(/4+)=1/2,则sin(3/4-)的 值是 1/2 。
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
si n ( ) si n cos( ) cos tan( ) tan
由上面两组公式的推导方法， 你能同理推导出 角 与 的三角函数值之间的关系吗？