分数阶傅里叶的发展

分数阶傅里叶的发展

1940年Kober提出了另一种不同于wiener形式 的定义。Kober用类似于Fourier变换的分数幂 形式的理论定义了分数阶傅里叶变换。
1956年，Guinaud引用Kober的结论讨论了整数与分数 阶Fourier变换的关系。 1973年De Bruijn也针对Kober的理论在更广泛的范围 讨论了这个变换。
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1807年法国科学家傅里叶首次提出Fourier分析
在此之后分析在信号处理中一直占据着极为重要的地 位。随着人们研究对象和范围的逐渐扩大，逐渐暴露 出Fourier变换在研究某些问题时具有局限性。 FT得到的只是信号的整体频谱，不能同时获得信号的 局部特征，因此，Fourier对于时变的非平稳信号处理 则显得无能为力。为了分析处理非平稳信号，人们提 出了新的信号分析理论：短时Fourier变换(STFT)、 Wigner分布(WD)、Gabor变换(GT)、小波变换、FrFT等。 这些时频分析揭示出信号的时变频谱特征。时频分析 理论的提出是信号处理领域中的一个突破，逐渐成为 现代信号处理研究中的一个热点。


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1993年Mendlovic和Ozaktas给出了FrFT的光学 实现，并将之应用于光学信息处理。
1992 年 Ozaktas 和 Mendlovic 再次研究 FRFT ，这两位 学者第一次利用负二次型渐折射率介质 (GRIN) 来实现 光学分数傅里叶变换，在这之后，科研人员 Lohamann 也加入到工作中来，Lohamann 再次定义了分数阶傅里 叶变换根据wigner 分布，同时这位学者还从物理的角 度解释了信号在时频平面的旋转表示的意义。这三位 学者最后研究的是结果证明了早期关于分数阶傅里叶 变换的定义和三个人彼此的定义，并且发现尽管对分 数阶傅里叶变换的定义出发点是不同，但是各种定义 是等价的。这三位的学者除了以上的工作之外他们的 研究工作还包括了分数傅里叶变换的光学实现、计算 机的仿真实现、变换域的滤波等。自此，分数阶 Fourier变换的理论与应用开始引起各国学者的关注。

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1959年Patterson提出的广义变换工具中也包 括分数阶傅里叶变换。他的理论于1974年被 Knare证明。

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1980年Namias以纯数学的方式重新提出了FrFT 的概念并将它用于求解偏微分方程。
尽管FrFT的概念很早就被导出了，但是它的重要性是 直到1980年Namias的理论推出后才引起人们的注意的。 Namias从特征值与特征函数的角度，以纯数学的方式 重新提出了FRFT的概念并将它用于求解偏微分方程。 之后几年里，McBride和Kerr分别继承了Namias的工作 并将其引入到更严密的领域。他们用积分形式为FrFT 做了更加严格的数学定义，为后来一些学者从光学的 角度提出FRFT的概念奠定了一定的基础。


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1995年《status Report on the Fractional Fourier Transform》发表
1995 年《status Report on the Fractional Fourier Transform》发表是一个里程碑，它使研究这一问题的 研究人员彼此更加透明，分数阶Fourier变换的研究与 应用也开始引起各国学者的广泛关注。

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2001年Ozaktas出版了专著《The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and signal processing》
近十年来，关于分数阶Fourier变换的理论与应用的研 究已经形成了一个不小的高潮，据文献检索，至 2003 年 10 月， IEEE 的期刊和国际会议上发表的与 FrFT 有关 的 论 文 及 研 究 报 告 共 有 110 余 篇 ， 其 中 以 土 耳 其 Bilkent 大学的 Haldun M Ozaktas教授的成果最为显著。 2001 年 Ozaktas 出 版 了 专 著 《The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and signal processing》，这是关于 FRFT 的第一部学 术专著，也是对 FrFT 的研究及成果的第一次全面的介 绍的总结。

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1929年Wiener试图寻找一种特征函数的变换核, 这是关于分数阶Fourier变换的最早研究。
关于分数阶Fourier变换的研究最早可以追溯到wiener 对Fourier变换的一个修正。 1929年，wiener开始寻找这样一种变换核，它的特征 函数是Hilbert—Gaussian函数，但是它的特征值形式 又比普通Fourier变换更完备。这是我们所知道的与分 数阶Fourier变换有关的最初的工作。
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1993年Almeida指出分数阶傅里叶变换可以理 解为时频平面的旋转。
1993-1994 年期间， Almeida 继续对 FrFT 进行研究分析， 最后将FrFT解释为一种“角”Fourier变换，即在时频 平面内，信号绕坐标轴原点逆时针旋转一个角度后构 成的FrFT域上的一种表示方法。 同时， 在 一系列 的 学术报 告 中 ， Wood 和 Rary 分 析了 Radon—wigner变换及其应用。尽管他们当时还没有意 识到这种变换和 FrFT 的关系，但在后来的研究中就很 快注意到了它们之间的联系。

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1937年Condon独立地研究了FrFT的基本定义
尽管他没有使用分数阶Fourier变换这一术语，也没有 讨论它的基本属性，但他可能是第一个直接研究其定 义的人。 1961年Bargmann参考了Condon所提出的FRFT定义，在 一个更为广泛的背景下，更为深入地探讨了其基本定 义。

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