最短路径算法与应用中的问题分析(史上最全路径算法总结)
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5 V2 V0 V1 7 -5
二，任意权值的单源最短路径算法，解决上述问题 2.
1， 问题的描述： 给定一个有向带权图 D 与源点 v,各边上的权值为任意实数，要求找出从 v 出 发到 D 中其它各顶点的最短路径。 2， 算法的主要思想： 此种情况下我们可以用 Bellman-ford 算法。 当图中没有由带负权值的边组成的回 路时，有 n 个顶点的图中任意两个顶点之间如果存在最短路径，此路径最多有 n-1 条边。 Bellman-Ford 方法构造一个最短路径长度数组序列 dist1[u], dist2[u], …, distn-1[u]，其中，dist n-1[u]是从源点 v 出发最多经过不构成带负长度边回路的 n-1 条边到达终点 u 的最短路径长度。算法的最终目的是计算出 dist
六，如果权值非负，求其总长最短的一条过全部节点的初级回路。解 决问题 7。
1，问题的描述： 给定一个正权完全图， 求其总长最短的哈密顿回路。 所谓的哈密顿回路便是无向 图中一条经过全部节点的初级回路。这个便是图论中非常经典的旅行商问题。 2，算法的主要思想： 解决旅行商问题的一种比较精确的求解方法是分支与界法。 分支与界法的基本思路是： 1， 首先将边权由小到大排序，初始界 d0 。 2， 在边权序列中依次选边进行深探，直到选取 n 条边，判断是否构成 H 回路， 若是， d0 d (s1) ，结束。 3， 继续深探， 依次删除当前 si 中的最长边， 加入后面第一条待选边， 进行深探， 如果它是 H 回路且 d( si ) d 0 ，则 d0 d ( si ) 作为界。 4， 退栈过程，不能再深探时需要退栈。如果栈空，结束，其最佳值为 d0。否则 如果新分支的 d( si ) d 0 ，继续退栈；若 d(si)<d0,转 3. 这种搜索过程是在不断的构造分支与确定界值。一旦确定了界值，则对大于等于 界值的分支不在搜索， 而且最后得到的界值就是问题的最佳解。但是在最坏的情 况下，该算法的时间复杂度是 O(n!)。因此在实际问题中，我们经常采用近似算 法求解问题的近似最优解，近似算法中比较好的是“便宜”算法。 便宜算法的基本思路： 初始化时 T=(1，1); S ={2，3， · · · ，n} T 是一个不断扩充的初级回路，最初是一个自环。首先我们选取 S 中与 T 距离最 近的节点 j。设（j，t）是相应的边，这时节点 j 或插入到回路 T 中 t 的前面或者 插入到其后面，这根据 j 插入后回路 T 长度增量的大小而定。即如果 ，则插入到 t 与 t1 之间，否则 w ( j ,t ) w ( j ,t 1) w( t ,t 1) w (j t , ) w (j t , 2 ) w t ( t, 2 ) 插入在 t 与 t2 之间。
将新选出的边从 E 中剔除：E = E-{(u, v)}; } if (Vmst 包含的顶点少于 n) cout << "不是最小生成树" << endl;
4， 算法在应用过程中的问题分析： Prim 算法适用于边稠密的网络。Kruskal 算法更适合于边稀疏的情形。当各边有 相同权值时， 由于选择的随意性， 产生的生成树可能不唯一。 从二者的原理来看， Kruskal 算法是基于边的算法，而 Prim 算法则是基于顶点的。因此对于一个边数 很多的图, 用 Kruskal 算法求解并不明智。而顶点与边数之比相对较大的图用 Kruskal 算法则效率会更高。 最小生成树是解决 n 个节点之间相互连通的重要算法，n 个节点相互连通在构建 合理的城市交通网络，高效的通信网络等问题方面有重要应用。
S {v0}; dist[ j ] Edge[0][ j ]
//dist[j]为 v0 到节点 vj 的距离。
②求最短路径的长度：
dist[k ] min{dist[i]}, i V S S S {k};
③修改： dist[i ] min{dist[i], dist[k ] Edge[k ][i ]}, 对于每一个i V S ④判断：若 S=V，则算法结束，否则转② 算法的复杂度是 O(n^2). 4，算法应用中的问题分析： 虽然在讨论的过程中我们构造的是有向图，但是 D 算法对于无向图依然适用。 这个算法的不足是如果有向图中出现负权值，那么计算结果会出现错误，如图 1 所示，如果按照 D 算法 v0 到 v2 的最短路径应该是 5，而实际上 v0 到 v2 的最短 路 径 应 该 是 7-5=2 。 在 有 负 权 值 出 现 时 ， 我 们 应 该 用 一 种 全 新 的 算 法 ---Bellman-ford 算法。
template <class T, class E> void Bellman-Ford (Graph<T, E>& G, int v, E dist[], int path[]) { //在有向带权图中有的边具有负的权值。从顶点 v //找到所有其他顶点的最短路径。 E w; int i, k, u, n = G.NumberOfVertices(); //计算 dist1[i]
五，n 个节点的连通图之间的最短路径，解决上述问题 6.
1， 问题的描述： 在规划建立 n 个城市之间的通讯网络时，至少要架设 n-1 条线路，如果在任何两 个城市间建造通讯线路的成本已经确定， 那么如何使总造价最低？对于这类问题 便是最小生成树问题，他要找的便是连通 n 个节点的代价最小的生成树。 2， 算法的主要思想： 解决最小生成树有两种算法，Kruskal 算法和 Prim 算法 Kruskal 算法是：
几种最短路径算法与应用中的问题分析
对于一个带权图，求解满足以下条件的最短路径：
1， 如果权值全部为非负，求一个节点到其它各个节点的最短路径。 2， 如果权值有正有负，求一个节点到其它各个节点的最短路径。 3， 如果权值全部为非负，求任意两个节点间的最短路径。 4， 如果权值有正有负，求任意两个节点间的最短路径。 5， 不考虑边上的权值，求一个节点到其它各个节点所需经过的最少节点数。 6， 如果权值非负，求使 n 个节点连通的最小支撑树的最小花费。 7， 如果权值非负，求其总长最短的一条过全部节点的初级回路。 8， 对于无向图，如果权值非负，求从某节点出发经过每条边至少一次最后回到 出发点的最短回路 9，实际应用中应用广泛的 A*算法 上面的 9 个问题基本包含了各种形式和情况下的最短路径。下面我将对上面的 9 个问题一一讨论。
从连通网络 N = {V, E}中的某一顶点 u0 出发, 选择与它关联的具有最小权值的边 (u0, v), 将其顶点加入到生成树顶点集合 U 中。以后每一步从一个顶点在集合 U 中, 而另一个顶点 不在集合 U 中的各条边中选择权值最小的边(u, v), 把它的顶点加入到集合 U 中。如此继续 下去, 直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止。
n-1
[u]。用递推
公式 distk [u] = min { distk-1 [u], min { distk-1 [j]+Edge[j][u] } }计算 distk [u]，可得从 源点 v 绕过各顶点 j，最多经过不构成带负长度边回路的 k 条边到达终点 u 的最 短路径长度。用它与 distk-1 [u]比较，取小者作为 distk [u]的值，依次类推，直到 从顶点 v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。 3， 算法的实现：
一，非负权值的单源最短路径，解决上述问题 1.
1，问题的描述： 给定一个有向带权图 D 与源点 v,各边上的权值均为非负数，要求找出从 v 出发 到 D 中其它各顶点的最短路径。 对于这样的问题，我们可以运用 Dijkstra 算法。, 2，算法的主要思想是： 利用路径长度的递增次序， 逐步产生最短路径。首先求出长度最短的一条最短路 径，然后参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从顶点 v 到其它 各顶点的最短路径全部求出为止。 3，Dijsktra 算法的伪代码描述是： ①初始化：
for (i = 0; i < n; i++) { dist[i] = G.getWeight(v, i);
if (i != v && dist[i] < maxValue) path[i] = v; else path[i] = -1; } for (k = 2; k < n; k++) for (u = 0; u < n; u++) if (u != v) for (i = 0; i < n; i++) { w = G.getWeight(i, u); if (w > 0 && w < maxValue && dist[u] > dist[i]+w) { dist[u] = dist[i]+w; path[u] = i; } } }; 4， 算法在应用过程中的问题分析： 虽然该算法是对于有向图进行讨论的，但是对于无向图同样适用。 但是对于图中包含有由带负权值的边组成的回路时，如图 2 所示，如果来回 在回路中转圈，则路径的长度会越来越小，从顶点 0 到顶点 2 的最短路径长 度可达到 - 。显然此时 Bellman-ford 算法不适用。 //计算 dist2[i]到 distn-1[i]
①初始化 A(-1) [i][j] = Edge[i][j]； ②对于每一对(i,j),求最短路径的长度： A(k) [i][j] = min { A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k] + A(k-1)[k][j] }, k = 0,1,…, n-1 ③判断：若全部的 i 与 j 已经遍历完全，则算法结束，否则转② 4， 算法在应用过程中的问题分析
3， 算法的伪代码： Kruskal 算法的伪代码是： T = ; //T 是最小生成树的边集合，E 是带权无向图的边集合
while ( T 包含的边少于 n-1 && E 不空) { 从 E 中选一条具有最小代价的边 (v, w); 从 E 中删去(v, w); 如果(v, w)加到 T 中后不会产生回路, 则将 (v, w)加入 T; 否则放弃(v, w); } if ( T 中包含的边少于 n-1 条) cout << “找不到最小生成树" << endl; Prim 算法的伪代码是： 选定构造最小生成树的出发顶点 u0; Vmst = {u0}，Emst = ; while (Vmst 包含的顶点少于 n && E 不空) { 从 E 中选一条边(u, v), uVmst∩vV-Vmst, 且具有最小代价(cost); 令 Vmst = Vmst∪{v}, Emst = Emst∪{(u, v)};
Floyd 算法的时间复杂度是 O(n3)，这和改进 D 算法的时间复杂度是相同的，但 是 Floyd 算法在有负权值时依然适用，这一点要优于 D 算法。
四， 不考虑边上的权值， 求一个节点到其它各个节点所需经过的最少 节点数，解决上述问题 5
这个问题比较简单，我们只需要变通一下，套用一下 D 算法，可以将边上的权 值设为 1，则 D 算法求出的最短路径即是我们需要的经过最少节点数的路径。
三，所有顶点之间的最短路径，解决上述问题 3 和 4.
1，问题的描述： 已知一个各边权值均大于 0 的有向带权图，对于每一对节点 Vi Vj ,要求出 Vi 到
Vj 之间的最短路径与最短路Байду номын сангаас长度
解决这种问题，如果我们利用先前的 D 算法，轮流以每一个顶点为源点，重复 执行 Dijkstra 算法 n 次，就可以得到每一对节点之间的最短路径，此时的算法时 间复杂度是 O(n3 ) ，但是这种算法虽然套用比较直接，但是和 D 算法一样，有向 图中不能出现负权值。 而对于这种问题，还有一种算法 Floyd 算法。 2， 算法的主要思想： Floyd 算法仍然使用图的邻接矩阵 Edge[n][n] 来存储有向带权图。首先初始化 Edge[n][n]矩阵，然后逐步尝试在原路径中加入其他顶点作为中间节点，如果增 加中间节点后， 得到的路径比原来的路径长度减小了， 则以此新路径代替原路径， 修改矩阵元素，代入新的更短的路径长度，以此类推，这样的增加中间节点，可 以得到 Floyd 算法。 3， 算法的伪代码： 定义一个 n 阶方阵序列：A(-1), A(0), …, A(n-1).
设一个有 n 个顶点的连通网络 N = { V, E }, 最初先构造一个只有 n 个顶点, 没有边的非 连通图 T = { V, }, 图中每个顶点自成一个连通分量。当在 E 中选到一条具有最小
权值的边时, 若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中; 否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。如此重复下去, 直到所有顶点在 同一个连通分量上为止。 本质是： 在保证无回路前提下选 n-1 条具有最小权值的 边。 Prim 算法是：
二，任意权值的单源最短路径算法，解决上述问题 2.
1， 问题的描述： 给定一个有向带权图 D 与源点 v,各边上的权值为任意实数，要求找出从 v 出 发到 D 中其它各顶点的最短路径。 2， 算法的主要思想： 此种情况下我们可以用 Bellman-ford 算法。 当图中没有由带负权值的边组成的回 路时，有 n 个顶点的图中任意两个顶点之间如果存在最短路径，此路径最多有 n-1 条边。 Bellman-Ford 方法构造一个最短路径长度数组序列 dist1[u], dist2[u], …, distn-1[u]，其中，dist n-1[u]是从源点 v 出发最多经过不构成带负长度边回路的 n-1 条边到达终点 u 的最短路径长度。算法的最终目的是计算出 dist
六，如果权值非负，求其总长最短的一条过全部节点的初级回路。解 决问题 7。
1，问题的描述： 给定一个正权完全图， 求其总长最短的哈密顿回路。 所谓的哈密顿回路便是无向 图中一条经过全部节点的初级回路。这个便是图论中非常经典的旅行商问题。 2，算法的主要思想： 解决旅行商问题的一种比较精确的求解方法是分支与界法。 分支与界法的基本思路是： 1， 首先将边权由小到大排序，初始界 d0 。 2， 在边权序列中依次选边进行深探，直到选取 n 条边，判断是否构成 H 回路， 若是， d0 d (s1) ，结束。 3， 继续深探， 依次删除当前 si 中的最长边， 加入后面第一条待选边， 进行深探， 如果它是 H 回路且 d( si ) d 0 ，则 d0 d ( si ) 作为界。 4， 退栈过程，不能再深探时需要退栈。如果栈空，结束，其最佳值为 d0。否则 如果新分支的 d( si ) d 0 ，继续退栈；若 d(si)<d0,转 3. 这种搜索过程是在不断的构造分支与确定界值。一旦确定了界值，则对大于等于 界值的分支不在搜索， 而且最后得到的界值就是问题的最佳解。但是在最坏的情 况下，该算法的时间复杂度是 O(n!)。因此在实际问题中，我们经常采用近似算 法求解问题的近似最优解，近似算法中比较好的是“便宜”算法。 便宜算法的基本思路： 初始化时 T=(1，1); S ={2，3， · · · ，n} T 是一个不断扩充的初级回路，最初是一个自环。首先我们选取 S 中与 T 距离最 近的节点 j。设（j，t）是相应的边，这时节点 j 或插入到回路 T 中 t 的前面或者 插入到其后面，这根据 j 插入后回路 T 长度增量的大小而定。即如果 ，则插入到 t 与 t1 之间，否则 w ( j ,t ) w ( j ,t 1) w( t ,t 1) w (j t , ) w (j t , 2 ) w t ( t, 2 ) 插入在 t 与 t2 之间。
将新选出的边从 E 中剔除：E = E-{(u, v)}; } if (Vmst 包含的顶点少于 n) cout << "不是最小生成树" << endl;
4， 算法在应用过程中的问题分析： Prim 算法适用于边稠密的网络。Kruskal 算法更适合于边稀疏的情形。当各边有 相同权值时， 由于选择的随意性， 产生的生成树可能不唯一。 从二者的原理来看， Kruskal 算法是基于边的算法，而 Prim 算法则是基于顶点的。因此对于一个边数 很多的图, 用 Kruskal 算法求解并不明智。而顶点与边数之比相对较大的图用 Kruskal 算法则效率会更高。 最小生成树是解决 n 个节点之间相互连通的重要算法，n 个节点相互连通在构建 合理的城市交通网络，高效的通信网络等问题方面有重要应用。
S {v0}; dist[ j ] Edge[0][ j ]
//dist[j]为 v0 到节点 vj 的距离。
②求最短路径的长度：
dist[k ] min{dist[i]}, i V S S S {k};
③修改： dist[i ] min{dist[i], dist[k ] Edge[k ][i ]}, 对于每一个i V S ④判断：若 S=V，则算法结束，否则转② 算法的复杂度是 O(n^2). 4，算法应用中的问题分析： 虽然在讨论的过程中我们构造的是有向图，但是 D 算法对于无向图依然适用。 这个算法的不足是如果有向图中出现负权值，那么计算结果会出现错误，如图 1 所示，如果按照 D 算法 v0 到 v2 的最短路径应该是 5，而实际上 v0 到 v2 的最短 路 径 应 该 是 7-5=2 。 在 有 负 权 值 出 现 时 ， 我 们 应 该 用 一 种 全 新 的 算 法 ---Bellman-ford 算法。
template <class T, class E> void Bellman-Ford (Graph<T, E>& G, int v, E dist[], int path[]) { //在有向带权图中有的边具有负的权值。从顶点 v //找到所有其他顶点的最短路径。 E w; int i, k, u, n = G.NumberOfVertices(); //计算 dist1[i]
五，n 个节点的连通图之间的最短路径，解决上述问题 6.
1， 问题的描述： 在规划建立 n 个城市之间的通讯网络时，至少要架设 n-1 条线路，如果在任何两 个城市间建造通讯线路的成本已经确定， 那么如何使总造价最低？对于这类问题 便是最小生成树问题，他要找的便是连通 n 个节点的代价最小的生成树。 2， 算法的主要思想： 解决最小生成树有两种算法，Kruskal 算法和 Prim 算法 Kruskal 算法是：
几种最短路径算法与应用中的问题分析
对于一个带权图，求解满足以下条件的最短路径：
1， 如果权值全部为非负，求一个节点到其它各个节点的最短路径。 2， 如果权值有正有负，求一个节点到其它各个节点的最短路径。 3， 如果权值全部为非负，求任意两个节点间的最短路径。 4， 如果权值有正有负，求任意两个节点间的最短路径。 5， 不考虑边上的权值，求一个节点到其它各个节点所需经过的最少节点数。 6， 如果权值非负，求使 n 个节点连通的最小支撑树的最小花费。 7， 如果权值非负，求其总长最短的一条过全部节点的初级回路。 8， 对于无向图，如果权值非负，求从某节点出发经过每条边至少一次最后回到 出发点的最短回路 9，实际应用中应用广泛的 A*算法 上面的 9 个问题基本包含了各种形式和情况下的最短路径。下面我将对上面的 9 个问题一一讨论。
从连通网络 N = {V, E}中的某一顶点 u0 出发, 选择与它关联的具有最小权值的边 (u0, v), 将其顶点加入到生成树顶点集合 U 中。以后每一步从一个顶点在集合 U 中, 而另一个顶点 不在集合 U 中的各条边中选择权值最小的边(u, v), 把它的顶点加入到集合 U 中。如此继续 下去, 直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止。
n-1
[u]。用递推
公式 distk [u] = min { distk-1 [u], min { distk-1 [j]+Edge[j][u] } }计算 distk [u]，可得从 源点 v 绕过各顶点 j，最多经过不构成带负长度边回路的 k 条边到达终点 u 的最 短路径长度。用它与 distk-1 [u]比较，取小者作为 distk [u]的值，依次类推，直到 从顶点 v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。 3， 算法的实现：
一，非负权值的单源最短路径，解决上述问题 1.
1，问题的描述： 给定一个有向带权图 D 与源点 v,各边上的权值均为非负数，要求找出从 v 出发 到 D 中其它各顶点的最短路径。 对于这样的问题，我们可以运用 Dijkstra 算法。, 2，算法的主要思想是： 利用路径长度的递增次序， 逐步产生最短路径。首先求出长度最短的一条最短路 径，然后参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从顶点 v 到其它 各顶点的最短路径全部求出为止。 3，Dijsktra 算法的伪代码描述是： ①初始化：
for (i = 0; i < n; i++) { dist[i] = G.getWeight(v, i);
if (i != v && dist[i] < maxValue) path[i] = v; else path[i] = -1; } for (k = 2; k < n; k++) for (u = 0; u < n; u++) if (u != v) for (i = 0; i < n; i++) { w = G.getWeight(i, u); if (w > 0 && w < maxValue && dist[u] > dist[i]+w) { dist[u] = dist[i]+w; path[u] = i; } } }; 4， 算法在应用过程中的问题分析： 虽然该算法是对于有向图进行讨论的，但是对于无向图同样适用。 但是对于图中包含有由带负权值的边组成的回路时，如图 2 所示，如果来回 在回路中转圈，则路径的长度会越来越小，从顶点 0 到顶点 2 的最短路径长 度可达到 - 。显然此时 Bellman-ford 算法不适用。 //计算 dist2[i]到 distn-1[i]
①初始化 A(-1) [i][j] = Edge[i][j]； ②对于每一对(i,j),求最短路径的长度： A(k) [i][j] = min { A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k] + A(k-1)[k][j] }, k = 0,1,…, n-1 ③判断：若全部的 i 与 j 已经遍历完全，则算法结束，否则转② 4， 算法在应用过程中的问题分析
3， 算法的伪代码： Kruskal 算法的伪代码是： T = ; //T 是最小生成树的边集合，E 是带权无向图的边集合
while ( T 包含的边少于 n-1 && E 不空) { 从 E 中选一条具有最小代价的边 (v, w); 从 E 中删去(v, w); 如果(v, w)加到 T 中后不会产生回路, 则将 (v, w)加入 T; 否则放弃(v, w); } if ( T 中包含的边少于 n-1 条) cout << “找不到最小生成树" << endl; Prim 算法的伪代码是： 选定构造最小生成树的出发顶点 u0; Vmst = {u0}，Emst = ; while (Vmst 包含的顶点少于 n && E 不空) { 从 E 中选一条边(u, v), uVmst∩vV-Vmst, 且具有最小代价(cost); 令 Vmst = Vmst∪{v}, Emst = Emst∪{(u, v)};
Floyd 算法的时间复杂度是 O(n3)，这和改进 D 算法的时间复杂度是相同的，但 是 Floyd 算法在有负权值时依然适用，这一点要优于 D 算法。
四， 不考虑边上的权值， 求一个节点到其它各个节点所需经过的最少 节点数，解决上述问题 5
这个问题比较简单，我们只需要变通一下，套用一下 D 算法，可以将边上的权 值设为 1，则 D 算法求出的最短路径即是我们需要的经过最少节点数的路径。
三，所有顶点之间的最短路径，解决上述问题 3 和 4.
1，问题的描述： 已知一个各边权值均大于 0 的有向带权图，对于每一对节点 Vi Vj ,要求出 Vi 到
Vj 之间的最短路径与最短路Байду номын сангаас长度
解决这种问题，如果我们利用先前的 D 算法，轮流以每一个顶点为源点，重复 执行 Dijkstra 算法 n 次，就可以得到每一对节点之间的最短路径，此时的算法时 间复杂度是 O(n3 ) ，但是这种算法虽然套用比较直接，但是和 D 算法一样，有向 图中不能出现负权值。 而对于这种问题，还有一种算法 Floyd 算法。 2， 算法的主要思想： Floyd 算法仍然使用图的邻接矩阵 Edge[n][n] 来存储有向带权图。首先初始化 Edge[n][n]矩阵，然后逐步尝试在原路径中加入其他顶点作为中间节点，如果增 加中间节点后， 得到的路径比原来的路径长度减小了， 则以此新路径代替原路径， 修改矩阵元素，代入新的更短的路径长度，以此类推，这样的增加中间节点，可 以得到 Floyd 算法。 3， 算法的伪代码： 定义一个 n 阶方阵序列：A(-1), A(0), …, A(n-1).
设一个有 n 个顶点的连通网络 N = { V, E }, 最初先构造一个只有 n 个顶点, 没有边的非 连通图 T = { V, }, 图中每个顶点自成一个连通分量。当在 E 中选到一条具有最小
权值的边时, 若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中; 否则将此边舍去，重新选择一条权值最小的边。如此重复下去, 直到所有顶点在 同一个连通分量上为止。 本质是： 在保证无回路前提下选 n-1 条具有最小权值的 边。 Prim 算法是：