文献检索物体的质心求法

（文献检索论文）

课题名称：高中物理物体质心的求法中

存在的问题及意义

专业：物理

姓名：赵永胜

班级学号：08 级1班14号

检索步骤：

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高中物理物体质心的求法中存在的问题及意义

摘要：利用平行四边形定则和极限的思想求出了不共点平行力合成的法则，并

由该法则推导出一般物的求法，证明了质心的存在，分析了质心求解法

则的微观意义，并进一步用该法则推导出两质点重心求三角形重心求导

公式及杠杆平衡条件。

关键词：物体质心平行四边形定则理论求法意义应用

1. 问题的提出

物理学经常把一些复杂的事物抽象化、简单化，这样有助于对物体进行分析和研究。在对物体受力情况进行研究的时候，我们常常会把物体的质量集中在一个假想点上，从而忽略物体复杂的形状给研究带来的不便。这个假想的物体质量集中点就是物体的质心。质心的引入之所以会给研究带来便利，是因为在物体运动时物体上各点都受到力的作用，我们不可能因此分析物体所有点的受力情况，于是我们就引入物体的质心并用物体质心的受力来代替物体所有点的受力，从而简化了对物体运动的分析。但是，物体的质心为什么一定存在呢？为什么物体所有点的受力可以等效于物体质心的受力呢？怎样求导物体的质心呢？物体的质心跟重心又有什么关系呢？本文将对这些问题进行探究。

2 .质心的理论求法

2.1 . 非平行力的合力求法——平行四边形定则

质心的引入是为了等效物体各点的受力，也就是说，在物体加速平动的过程中，物体仅仅质心处受力跟物体各部分都受力是等效的。要想研究质心，就必须研究物体加速平动时每个点受力的情况。因为分子是组成物质的最小微粒，所以，我们可以把物体分割成一个个分子，也就是等质量的点，并把每个分子当做一个最小的受力（在此我们研究物体密度均匀，且为纯净物的理想情况）。只要我们能找出这些分子受力和的等效方法，就可以求出质心的位置。由于物体在加速平动，物体上所有分子所受的力应该是相等的（下文中将把分子当做点对待）。为了分析这些点所受力的合成方法，我们先从更加基本的问题的着手分析。

对于一个点来说，如果它受到多个力，这些力的等效作用力就是这些力的矢量和，即该点所受的合力。如图1所示，合力的求解需满足平行四边形定则。

对于一个物体来说，假设它受到两个不共点且不平行的力，如图2 所示。由于力的作用点在力的方向上变动不影响力的作用效果，如果我们想求导出这个物体所受到的合力，就可以找到这两个分力延长线的交点，并以此点作为两个力的公共作用点，如图3所示。这样的话，根据对第一种情况的分析用平行四边形定则就可以求出这个物体所受的合力了。这个合力的作用点可以是物体上合力所在直线上的任意一点。2.2 平行力合成法则——质心的理论求法

上面第二种情况给我们提供了一种求物体合力的方法，即找到力的公共作用点，把力进行合成，从而找到两个力作用效果的等效力。但第二种情况的前提是物体所受的两个力不平行。而我们要研究的是物体平动时各部分力的合成方法，这种情况下物体上各点所受的力是平行的，各力所在的直线在欧式几何内不相交，没有公共作用点。为了研究这种情况，我们仍需要从两个平行力的合成说起。当一个物体受到两个平行力时，我们可以用极限的思想假想这两个力相交于无限远处。具体的做法是，将这两个平行力都各自偏向对方一个非常小的角度，使误差小到几乎为零，不影响我们对合力的求解。这样以来两个力所在直线就会有一个交点，我们也就可以用两个具有共同作用点的力的合力等效两个平行力的合力，从而用第二种情况的合力求法等效出两个平行力的合力。如果知道该对平衡力的大小、方向及两点间的距离，我们甚至可以求出他们合力的大小、方向及作用点。让我们从最一般的情况着手分析。如图4 所示，A、B 是物体上任意两点，F1、F2分别是作用在A、B 上的一对方向相同，大小任意的力。为了求解这种最基本情况下两个平行力的合力，首先，我们可以把这对力分解成沿线段AB 方向的力跟垂直于AB 方向的力。由于沿AB方向上物体受的力在同一直线上，如果F1，F2与AB 所夹锐角的大小是，那么物体在AB 方向上受到的力的大小就是cos（F1+F2）。接下来我们研究垂直于AB 方向上物体的受力情况。如图5 所示，我们按上文所述的方法尝试合成这对方向相同的力。先使两个力各自偏离对方一个很小的角度，然后反向延长这对力使它们交于点Q，并以Q 为它们的公共作用点，根据平行四边形定则合成这两个力，即图中力QM。如果将图中力QE,QG正交分解并求和，可得出力QM

的大小为

，当角

趋近于零度，即图中力QE, QG 趋近平行时，QM 的大小

为

,等于sin（F1+F2）。知道了该力的大小，我们再求导它的作用点及方向。此处分段？设该合力的作用点是点O，由于合力 F 作用点的集合合（一条线段）与AB 定有交点，为了便于计算，我们可以将O置于线段AB上。在图5 中M 点是偏转近似合力QF的顶点。过M点做AB的平行线分别交QB,QA于点C,D。由于△QCD与△QBA相似，所以CM:MD=BO:OA。由于△GCM与△EMD相似，所以CM:MD=GC:EM。又因为△GCM是等腰三角形，所以GM=GC,所以CM:MD= GM: EM =QE:QG.。由此，我们可以得到M点距C,D点的距离之比与A,B点处受到AB垂直方向上力的比值相等。从上述结论中我们可以注意到一旦A,B两点受平行力大小确定，M点在线段CD上的比例位置就不会发生变化，但图中∠

QMN却会随着角的大小变化而变化。当两平行力偏折角度变化时，QN, NM 的长度也会发生变化。它们之间满足关

系

式

由

于, 所

以

，换言之，当角为0!

时，AB垂直方向原F1,F2分力的合力

也与AB 方向垂直。又由于M点在线

段CD 上比例位置不变，结合上文中

对几何关系的描述可得知该合力的作

用点的位置满足CM:MD=OB:OA=

sinF2: sin F1=F2:F1。由此我们便知道了

AB 垂直方向上力的大小、方向及理想

作用点。再把这个合力与沿AB 方向

上F1, F2分力的合力进行简单合成，如

图5所示，就可以得出F1,F2合力的

性质了。根据矢量合成法则，F1,F2 的

合力大小为F1,F2之和，方向与F1,F2

方向相同，作用点O 的位置满足

OA:OB=F2:F1。由于F1,F2的大小与方

向都是任意选取的，我们就由此得到了

两点受到的同向力合成的法则，即该合

力满足方向与原力方向相同；大小等于

原力大小之和；作用点可以在以原力作

用点为顶点的线段上，且该作用点距离

两个原力作用点大小之比的倒数等于

这两个点分别受到力的大小之比。由此

我们得到了合成一对同向不共点的力

所需的方法

。

3 质心存在的理论依据——平行力合

成法则

在上述结论的基础上，让我们再次

回到我们的原来的问题上。对于一个加

速平动的物体来说，我们只需要把它各

点处所受的力按照第三种情况的方法

以任意顺序逐一进行合成，就可以理论

上求出这些力的合力。该合力的大小与

方向可以用表示，其中 F 是矢量，表

示物体各点处所受的力。由于k物体上

各点都受到了力，所以K等于物体所含

分子的个数。由于物体的质心处受力与

物体各点处均受力的情况等效，而物体

各点处的受力与该合力等效，所以物体

在质心处受到的力与该合力相等。质心

一定在这个合力所在直线上。由于同一

平面内两条不平行的直线可以确定一

个交点，所以理论上我们只需要在另一

方向上合成物体各点所受的任意大小

的力，找到该合力与原合力所在直线的

交点，就可以找到我们所要求的质心

了。在生活中，当我们想要找到一个物

体的质心时，我们经常利用的悬挂法就

是根据这个原理设计的。当我们悬挂一

个物体时，这个物体仅受到重力和绳子

的拉力。由于物体各点受到的重力都相

等，我们可以按照情况3所述方法把物

体各点所受的重力等效为物体在质心

处受到的重力。由于物体所受绳子拉力

与物体质心所受的重力是平衡力，所以

物体所受拉力一定与物体质心处所受

的重力等值反向。所以物体的质心一定

在物体所受拉力所在的直线上，即绳子

所在的直线上。这样悬挂两次的话，两

次拉力所在直线的交点就是物体的质

心。这种求物体质心的方法似乎十全十

美，但为什么两次物体所受的绳子拉力

一定在同一平面并相交呢？物体为什

么一定会有一个像质心一样能保证在

质心处受力能够等效于物体各点在任

意方向上受力的点呢？换句话说，为什

么对于一个点，如果它的受力能等效于

物体各点在两个方向上的受力，该点

（我们所求的质点）就一定能够等效物