本体性知识
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课改背景下
小学数学教师本体性知识的 缺失与对策
张华
2012 年 8 月
题解
教师专业知识结构的内容分类
本体性知识 学科知识
教师专业知识 条件性知识 教育理论
实践性知识 教学经验
我国的“传统观念”
“给学生一杯水，教师要有一桶水”
“桶论”→“活水论” →“找水论”
“量”
“质”
“方法”
研究的缘起
lim n
甲乙 3☆ 31 32
甲没摸中，乙接着摸中 的可能性是： 3 1
43
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
4.课改理念被误读导致教师学科思维出现混乱
以为可以依据课改理念重新解读学科知识
师：比较1/2与1/3的大小。 甲生：1/2大。 乙生：不一定，要看哪个圆大。大圆的1/3比小圆的1/2大。
➢54.4÷2.6的商是20，余数是（ 2.4 ）。得分率59.2%
商的对位；余数的概念
➢一个因数扩大到它的3倍，另一个因数缩小到它的
（ 1/3 ），积不变。
得分率30.7%
“扩大几倍”、“缩小几倍”的说法有歧义，不符合习
惯用法。
“扩大到原数的几倍”
“缩小到原数的几分之一”
➢……
二、课改背景下教师本体知识的缺失
P
un n
p＜ 1
贝努里大数定律
本体知识：十多年被大家遗忘的角落
教学困惑：很多源于本体性知识缺失
例如，抛硬币实验：“想说爱你不容易” 常常全班累计数的误差＞小组＞个人
抛的次数越多，正面朝上的可能性越接近1/2？
抛的次数越多，误差大的可能性越小 改进：先思考（思想实验）
确认出现正、反或1～6的可能性相等 再实验（体验随机性） 误差大的解释：动作不稳定
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征 高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性
数学的严谨： 根据不讲自明的假设，依靠逻辑推理得到大量的结论
例如： 由“一千只苹果是红的”推出“苹果都是红的”
归纳，不确定
由“小明哥哥已大学毕业” “小明受教于同一老 师”推出“小明也能大学毕业”
类比，不确定
由“人终将一死” “约翰是人”推出“约翰会死”演绎，结论确定
关于数学语言（三种形态）
如：两个数的和与一个数相乘……(文字语言)
(a+b)c=ac+bc
(符号语言)
c
(图形语言)
a
b
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术 是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
文化说：渗透与挖掘 数学本身也有人文性 中国文化中的数学 圆：到定点的距离等于定长的轨迹 “圜，一中同长”； “圆出于方”
甲乙两个候选人得票数相同，老师做了4个纸团， 只有一个画有☆。甲先摸，摸中了，乙认为不公平；
又有同学说，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果 没摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以这 种方法不公平。你认为呢？
已知一个画有☆，设另外三个分别为1，2，3
甲乙甲乙甲乙 ☆1 1 ☆2 ☆ ☆2 1 2 2 1 ☆3 1 3 2 3
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征
数学的价值在于它的高度抽象性和严谨性，决 定了它的广泛应用性。 问题在于怎么看？怎么用？
香港某厂业绩：年 份 1990年 股东红利 5万 工资总额 10万
15
200%
10
150%
5
100%
1991年 7.5万
12.5万
1992年 10万 15万
90 91 92 老板所画
质地不均匀
研究的缘起
本体知识：十多年被大家遗忘的角落 教学困惑：很多源于本体性知识缺失
又如，平均数、中位数、众数的区别： “越辩越糊涂” 有些数据适合平均数，有些数据适合中位数或众数？
取决于需要，而不是取决于数据！ 还要进一步统计计算时用平均数； 欲知中上、中下水平时用中位数。 “迄今为止的课堂，大多以学科教学为载体，‘去 学科’的课堂改进至少是一种缺失，不了解、曲解学 科本意的改进甚至是一种危险”。(顾泠沅)
2. 加强自身学习
基于学科、基于问题、基于经验、基于群体
3.结合教材分析学习有关数学知识 4. 结合课例点评学习有关数学知识 5. 结合教学研究学习有关数学知识
四、面对“缺失”我们怎么办
6.备教学过程与备数学内容兼顾
眼下备课的重点：
不应忽视的内容：
引入的设计
探究的思路
激趣的设计
数学的思想
活动的设计 过程设计 数学的方法 内容挖掘
“王老师收到一封表扬信，表扬我们班的一位女同学帮助 低年级小朋友，你们猜猜她是谁？”
教师的设想是引导学生用“不可能”与“可能”回答，并 引出可能性的大小：
不可能是男生， 全班20个女生都有可能， 每人的可能性是1/20。 不料实际教学时，第一个抢着回答的学生就让教师处于尴 尬境地：“不用猜，我知道她是××”。
例如，一年级比多少“一一对应”的问题
引入一一对应的初衷，是为了比较无限集合元素
“个数”的“多少”
自然数
0，1，2，3，4，…， n，…
自然数中的偶数 0，2，4，6，8，…，2n，…
改进措施：
1.让对应更自然 2.让对应更合理
比 人；比 人
四、面对“缺失”我们怎么办Βιβλιοθήκη Baidu
1. 引起自身关注
弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力
5.教师学科思维的“童化”现象影响教学的科学性 “退化” “同化” “童化”
伴随着教师重建儿童心智的努力，而出现的本体性 知识及其思维的退化。
长方形框，钉木条，哪种能使木框不变形？
钉个木框试试 实验能代替数学证明吗？ 实验能帮我们有所发现，但数学的结论最终要靠逻辑推理，这 是数学的精髓，也是数学有别于其它学科最本质的特征。 哥德巴赫猜想验证了无数次，还是猜想！
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？
➢ 今天我问学生:“数学是什么?” 只有一位学生举
手回答。为什么学了六年数学,却不知数学是什么? 他们不敢说，拿不准? 我们给学生头脑中留下了什
么样的数学痕迹?
➢ 叫我说，数学是头疼。小学时，碰到应用题，我立 马头脑发胀，直到现在，拿起女儿的数学书，还心有 余悸，好在初中学了解方程，才让我的数学恐惧症消 失了。
➢崔永元：对我来说，数学是疮疤，是泪痕…… 《不过如此》
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？
数学教师又会怎样回答? 好像清楚，又说不清楚 需要回答吗？
在学校环境中，大多数人开始形成自己的“数学 观念”，而且在大多数情况下，这些观念在他们以后 的生涯中一直得到保持。现行数学教育的一个重要弊 端就在于：学校通过数学学习所形成的数学观并不是 “真正数学”的真实写照。也就是说，就今天的现实 而言，“学校的数学”并不是“真正的数学”。
一、课改背景下教师本体知识调研
例如： 2008年7月某省农村骨干教师国家级培训， 228名教师参加了本体性知识的测试。 最高分82，最低15； 基本合格（50分及以上）率53%。 参测教师坦言：
一份简单的试卷，这么多教师50分以下，真的没想 到啊!
一、课改背景下教师本体知识调研
例如：
试题第一部分占50%，为小学数学基础知识的灵活应用
“建构主义”惹的祸
“老师问：2大，还是3大？甲生：3大，因为3岁小孩比2岁小 孩大。乙生：2大，因为老二比老三大。请从自然数的两种含义 说明谁的判断正确。”
数的大小比较，最基本的一条规定： a＜b，a＞b，a＝b，三者必居其一
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
对话的设计
内在的规律
课件的设计
结论的验证
……
……
五、哪些问题应当引起重视
1.科学性与艺术性
教学被除数是0的除法，涉及“除数不能为0”。
小小每天去森林给小动物分苹果。
第一天，小小带去了6个苹果，出来了3只小动物，
平均每只可以得到几个苹果？ 6÷3＝
第二天，小小没有带去苹果，3只小动物每只可以
得到几个苹果呢？
教学平角、周角等概念后，让学生提问 →板书→讨论→交流→学生回答的问题擦去 →留下的问题今后学习中解决： 0°角与周角有何区别？ 有没有大于360°的角？ ……
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
3.教学内容的更新、拓展暴露了教师知识的盲点 课程内容更新力度加大，拓展范围更广
⑽技术说 高科技本质上是数学技术
⑶创新说 ⑾工具说
⑷直觉说 ⑿逻辑说
⑸活动说 ⒀符号说
⑹精神说 ⑺审美说
⒁集合说 ⒂结构说
⑻艺术说 ……
⒃模型说 ……
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术
是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
基础说：提供语言、思想、方法
——郑毓信
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？数学家的回答：
⑴万物皆数说
毕达哥拉斯：“数统治着宇宙。” 柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学院门上 写着：“不懂几何学的人不得入内！”
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？数学家的回答：
⑴万物皆数说 ⑼科学说 高斯：数学是科学的皇后
⑵哲学说
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术
是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
文化说：渗透与挖掘 数学本身也有人文性 中国文化中的数学 3000006000 三十亿六千 30600， 30060， 30006 三万零六百 三万零六十 三万零六
3056由( )个千、( )个百、( )十和( )个一组成 3056＝( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( )×1
五、哪些问题应当引起重视
4.追求形式与重视实质
形式为内容服务，减少非数学、非公认的规定 追求形式与内容的统一
有必要指出：
充分认识本体性知识对于驾驭教学内容的潜在作用， 关注教学的科学性，并不意味对教学语言的苛求！
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
1.基础教育的发展对小学教育提出了新的要求 教育普及程度提高；小学成为9年义务教育一个学段。
要求小学教育更加关注学生学习的后效；更加关注学 生的可持续发展。
要求小学教师加强学段之间的衔接研究；更为自觉地 “瞻前顾后”更; 多考虑后继学习的需要。
初中试题：两地间公路长22千米，两人分别以5千米/时、6千米/ 时速度同时从两地相向而行，几小时后相距5.5千米？
0÷3＝
第三天，小小带了6个苹果，可是等了很长时间，
没有小动物来…，…分就没有意义了
因为除数×商＝被除数
所以当被除数≠0，除数＝0时，商不存在； 当被除数＝除数＝0时， 商不确定。
五、哪些问题应当引起重视
1.科学性与艺术性
“教材把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越 会南辕北辙。错了、偏了，还有什么艺术可言呢？”
2.科学性与应用性
偏离了科学性，应用也就失去了意义。 真实生活中用到的数学知识面较窄；很多数学知识 的应用涉及数学以外的专业知识。 例如量角，有老师“经过反复搜寻、思考和讨论”, 最终呈现实际生活中的角：
A
┌C
o
B
五、哪些问题应当引起重视
3.问题情境与数学意义
为了引出用分数表示可能性的教学内容，教师创设情境：
“大于2的偶数都可表示为两个质数的和”无一反 猜想，结论未知
例
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征
高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性
逻辑推理得到大量的结论 数学的应用： “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之谜,生 物之谜,日月之繁,无处不用数学。”——华罗庚
“数学是上帝描述自然的符号。”——黑格尔 例如：
90 91 92 工会主席所画
四、面对“缺失”我们怎么办
1. 引起自身关注
弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力
2. 加强自身学习
何有源头活水来？ 高等代数、高等几何、数学分析、概率论… 学习数学知识，了解数学历史
怎样学习更有效？ 基于学科、基于问题、基于经验、基于群体
3. 结合教材分析学习有关数学知识
五、哪些问题应当引起重视
3.问题情境与数学意义
“人造的伪随机事件” ——王梓坤 随机事件的特点： ①可以在相同的条件下重复进行实验； ②其结果具有多种可能性； ③在每次试验前，知道其所有可能出现的结果， 但不能预言将出现哪一个结果。 “让问题情境挺起数学的脊梁”： ➢富有数学味； ➢适合教与学； ➢成为问题源。
80%以上的学生只有一个答案。
两个物体相向运动，结果：相遇；相距；相遇又相距
相遇；相距
相遇前相距 相遇后相距
未相遇；相遇；交叉而过
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
2.课堂教学的生成性使教师面临新的挑战 学生质疑问难、节外生枝的频率与教师本体性知识 缺失的显露，同步增长。
小学数学教师本体性知识的 缺失与对策
张华
2012 年 8 月
题解
教师专业知识结构的内容分类
本体性知识 学科知识
教师专业知识 条件性知识 教育理论
实践性知识 教学经验
我国的“传统观念”
“给学生一杯水，教师要有一桶水”
“桶论”→“活水论” →“找水论”
“量”
“质”
“方法”
研究的缘起
lim n
甲乙 3☆ 31 32
甲没摸中，乙接着摸中 的可能性是： 3 1
43
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
4.课改理念被误读导致教师学科思维出现混乱
以为可以依据课改理念重新解读学科知识
师：比较1/2与1/3的大小。 甲生：1/2大。 乙生：不一定，要看哪个圆大。大圆的1/3比小圆的1/2大。
➢54.4÷2.6的商是20，余数是（ 2.4 ）。得分率59.2%
商的对位；余数的概念
➢一个因数扩大到它的3倍，另一个因数缩小到它的
（ 1/3 ），积不变。
得分率30.7%
“扩大几倍”、“缩小几倍”的说法有歧义，不符合习
惯用法。
“扩大到原数的几倍”
“缩小到原数的几分之一”
➢……
二、课改背景下教师本体知识的缺失
P
un n
p＜ 1
贝努里大数定律
本体知识：十多年被大家遗忘的角落
教学困惑：很多源于本体性知识缺失
例如，抛硬币实验：“想说爱你不容易” 常常全班累计数的误差＞小组＞个人
抛的次数越多，正面朝上的可能性越接近1/2？
抛的次数越多，误差大的可能性越小 改进：先思考（思想实验）
确认出现正、反或1～6的可能性相等 再实验（体验随机性） 误差大的解释：动作不稳定
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征 高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性
数学的严谨： 根据不讲自明的假设，依靠逻辑推理得到大量的结论
例如： 由“一千只苹果是红的”推出“苹果都是红的”
归纳，不确定
由“小明哥哥已大学毕业” “小明受教于同一老 师”推出“小明也能大学毕业”
类比，不确定
由“人终将一死” “约翰是人”推出“约翰会死”演绎，结论确定
关于数学语言（三种形态）
如：两个数的和与一个数相乘……(文字语言)
(a+b)c=ac+bc
(符号语言)
c
(图形语言)
a
b
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术 是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
文化说：渗透与挖掘 数学本身也有人文性 中国文化中的数学 圆：到定点的距离等于定长的轨迹 “圜，一中同长”； “圆出于方”
甲乙两个候选人得票数相同，老师做了4个纸团， 只有一个画有☆。甲先摸，摸中了，乙认为不公平；
又有同学说，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果 没摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以这 种方法不公平。你认为呢？
已知一个画有☆，设另外三个分别为1，2，3
甲乙甲乙甲乙 ☆1 1 ☆2 ☆ ☆2 1 2 2 1 ☆3 1 3 2 3
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征
数学的价值在于它的高度抽象性和严谨性，决 定了它的广泛应用性。 问题在于怎么看？怎么用？
香港某厂业绩：年 份 1990年 股东红利 5万 工资总额 10万
15
200%
10
150%
5
100%
1991年 7.5万
12.5万
1992年 10万 15万
90 91 92 老板所画
质地不均匀
研究的缘起
本体知识：十多年被大家遗忘的角落 教学困惑：很多源于本体性知识缺失
又如，平均数、中位数、众数的区别： “越辩越糊涂” 有些数据适合平均数，有些数据适合中位数或众数？
取决于需要，而不是取决于数据！ 还要进一步统计计算时用平均数； 欲知中上、中下水平时用中位数。 “迄今为止的课堂，大多以学科教学为载体，‘去 学科’的课堂改进至少是一种缺失，不了解、曲解学 科本意的改进甚至是一种危险”。(顾泠沅)
2. 加强自身学习
基于学科、基于问题、基于经验、基于群体
3.结合教材分析学习有关数学知识 4. 结合课例点评学习有关数学知识 5. 结合教学研究学习有关数学知识
四、面对“缺失”我们怎么办
6.备教学过程与备数学内容兼顾
眼下备课的重点：
不应忽视的内容：
引入的设计
探究的思路
激趣的设计
数学的思想
活动的设计 过程设计 数学的方法 内容挖掘
“王老师收到一封表扬信，表扬我们班的一位女同学帮助 低年级小朋友，你们猜猜她是谁？”
教师的设想是引导学生用“不可能”与“可能”回答，并 引出可能性的大小：
不可能是男生， 全班20个女生都有可能， 每人的可能性是1/20。 不料实际教学时，第一个抢着回答的学生就让教师处于尴 尬境地：“不用猜，我知道她是××”。
例如，一年级比多少“一一对应”的问题
引入一一对应的初衷，是为了比较无限集合元素
“个数”的“多少”
自然数
0，1，2，3，4，…， n，…
自然数中的偶数 0，2，4，6，8，…，2n，…
改进措施：
1.让对应更自然 2.让对应更合理
比 人；比 人
四、面对“缺失”我们怎么办Βιβλιοθήκη Baidu
1. 引起自身关注
弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力
5.教师学科思维的“童化”现象影响教学的科学性 “退化” “同化” “童化”
伴随着教师重建儿童心智的努力，而出现的本体性 知识及其思维的退化。
长方形框，钉木条，哪种能使木框不变形？
钉个木框试试 实验能代替数学证明吗？ 实验能帮我们有所发现，但数学的结论最终要靠逻辑推理，这 是数学的精髓，也是数学有别于其它学科最本质的特征。 哥德巴赫猜想验证了无数次，还是猜想！
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？
➢ 今天我问学生:“数学是什么?” 只有一位学生举
手回答。为什么学了六年数学,却不知数学是什么? 他们不敢说，拿不准? 我们给学生头脑中留下了什
么样的数学痕迹?
➢ 叫我说，数学是头疼。小学时，碰到应用题，我立 马头脑发胀，直到现在，拿起女儿的数学书，还心有 余悸，好在初中学了解方程，才让我的数学恐惧症消 失了。
➢崔永元：对我来说，数学是疮疤，是泪痕…… 《不过如此》
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？
数学教师又会怎样回答? 好像清楚，又说不清楚 需要回答吗？
在学校环境中，大多数人开始形成自己的“数学 观念”，而且在大多数情况下，这些观念在他们以后 的生涯中一直得到保持。现行数学教育的一个重要弊 端就在于：学校通过数学学习所形成的数学观并不是 “真正数学”的真实写照。也就是说，就今天的现实 而言，“学校的数学”并不是“真正的数学”。
一、课改背景下教师本体知识调研
例如： 2008年7月某省农村骨干教师国家级培训， 228名教师参加了本体性知识的测试。 最高分82，最低15； 基本合格（50分及以上）率53%。 参测教师坦言：
一份简单的试卷，这么多教师50分以下，真的没想 到啊!
一、课改背景下教师本体知识调研
例如：
试题第一部分占50%，为小学数学基础知识的灵活应用
“建构主义”惹的祸
“老师问：2大，还是3大？甲生：3大，因为3岁小孩比2岁小 孩大。乙生：2大，因为老二比老三大。请从自然数的两种含义 说明谁的判断正确。”
数的大小比较，最基本的一条规定： a＜b，a＞b，a＝b，三者必居其一
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
对话的设计
内在的规律
课件的设计
结论的验证
……
……
五、哪些问题应当引起重视
1.科学性与艺术性
教学被除数是0的除法，涉及“除数不能为0”。
小小每天去森林给小动物分苹果。
第一天，小小带去了6个苹果，出来了3只小动物，
平均每只可以得到几个苹果？ 6÷3＝
第二天，小小没有带去苹果，3只小动物每只可以
得到几个苹果呢？
教学平角、周角等概念后，让学生提问 →板书→讨论→交流→学生回答的问题擦去 →留下的问题今后学习中解决： 0°角与周角有何区别？ 有没有大于360°的角？ ……
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
3.教学内容的更新、拓展暴露了教师知识的盲点 课程内容更新力度加大，拓展范围更广
⑽技术说 高科技本质上是数学技术
⑶创新说 ⑾工具说
⑷直觉说 ⑿逻辑说
⑸活动说 ⒀符号说
⑹精神说 ⑺审美说
⒁集合说 ⒂结构说
⑻艺术说 ……
⒃模型说 ……
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术
是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
基础说：提供语言、思想、方法
——郑毓信
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？数学家的回答：
⑴万物皆数说
毕达哥拉斯：“数统治着宇宙。” 柏拉图称“上帝乃几何学家”，他在自己学院门上 写着：“不懂几何学的人不得入内！”
三、怎样认识数学学科特点
1.数学是什么？数学家的回答：
⑴万物皆数说 ⑼科学说 高斯：数学是科学的皇后
⑵哲学说
三、怎样认识数学学科特点
2.数学教育视野中的数学 研究数与形的科学；普遍适用的技术
是基础；是工具；是能力；是素养；是文化
文化说：渗透与挖掘 数学本身也有人文性 中国文化中的数学 3000006000 三十亿六千 30600， 30060， 30006 三万零六百 三万零六十 三万零六
3056由( )个千、( )个百、( )十和( )个一组成 3056＝( )×1000＋( )×100＋( )×10＋( )×1
五、哪些问题应当引起重视
4.追求形式与重视实质
形式为内容服务，减少非数学、非公认的规定 追求形式与内容的统一
有必要指出：
充分认识本体性知识对于驾驭教学内容的潜在作用， 关注教学的科学性，并不意味对教学语言的苛求！
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
1.基础教育的发展对小学教育提出了新的要求 教育普及程度提高；小学成为9年义务教育一个学段。
要求小学教育更加关注学生学习的后效；更加关注学 生的可持续发展。
要求小学教师加强学段之间的衔接研究；更为自觉地 “瞻前顾后”更; 多考虑后继学习的需要。
初中试题：两地间公路长22千米，两人分别以5千米/时、6千米/ 时速度同时从两地相向而行，几小时后相距5.5千米？
0÷3＝
第三天，小小带了6个苹果，可是等了很长时间，
没有小动物来…，…分就没有意义了
因为除数×商＝被除数
所以当被除数≠0，除数＝0时，商不存在； 当被除数＝除数＝0时， 商不确定。
五、哪些问题应当引起重视
1.科学性与艺术性
“教材把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越 会南辕北辙。错了、偏了，还有什么艺术可言呢？”
2.科学性与应用性
偏离了科学性，应用也就失去了意义。 真实生活中用到的数学知识面较窄；很多数学知识 的应用涉及数学以外的专业知识。 例如量角，有老师“经过反复搜寻、思考和讨论”, 最终呈现实际生活中的角：
A
┌C
o
B
五、哪些问题应当引起重视
3.问题情境与数学意义
为了引出用分数表示可能性的教学内容，教师创设情境：
“大于2的偶数都可表示为两个质数的和”无一反 猜想，结论未知
例
三、怎样认识数学学科特点
3.数学的特征
高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性
逻辑推理得到大量的结论 数学的应用： “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之谜,生 物之谜,日月之繁,无处不用数学。”——华罗庚
“数学是上帝描述自然的符号。”——黑格尔 例如：
90 91 92 工会主席所画
四、面对“缺失”我们怎么办
1. 引起自身关注
弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力
2. 加强自身学习
何有源头活水来？ 高等代数、高等几何、数学分析、概率论… 学习数学知识，了解数学历史
怎样学习更有效？ 基于学科、基于问题、基于经验、基于群体
3. 结合教材分析学习有关数学知识
五、哪些问题应当引起重视
3.问题情境与数学意义
“人造的伪随机事件” ——王梓坤 随机事件的特点： ①可以在相同的条件下重复进行实验； ②其结果具有多种可能性； ③在每次试验前，知道其所有可能出现的结果， 但不能预言将出现哪一个结果。 “让问题情境挺起数学的脊梁”： ➢富有数学味； ➢适合教与学； ➢成为问题源。
80%以上的学生只有一个答案。
两个物体相向运动，结果：相遇；相距；相遇又相距
相遇；相距
相遇前相距 相遇后相距
未相遇；相遇；交叉而过
二、课改背景下教师本体知识的缺失
为什么教师学历层次提高了，本体性知识仍然缺失
2.课堂教学的生成性使教师面临新的挑战 学生质疑问难、节外生枝的频率与教师本体性知识 缺失的显露，同步增长。