第二章 与或图搜索问题

初始节点
n1 n4 5
n0
初始节点
n4(1) n2(4)
n3
n5 n3(4) n6(2)
n5(1)
2
n6
n8
n8(0)
目标
n7
目标
n7(0)
红色：5 黄色：6
23
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4 5
n0
初始节点
1 n4(1)
n2(4)
n3
Baidu Nhomakorabea
n5 n3(4) n6(2)
n5(1)
2
n6
n8
n8(0)
第二章 与或图搜索问题
初始节点s
a c b
目标 目标
1
2.1 问题归约法
基本思想 当一问题较复杂时，可通过分解或变换，将其转化为一系列较简 单的子问题，然后通过对这些子问题的求解来实现对原问题的求解。
分解 如果一个问题P可以归约为一组子问题P1,P2,…,Pn，并且只有当所有 子问题Pi都有解时原问题P才有解，任何一个子问题Pi无解都会导致原 问题P无解，则称此种归约为问题的分解。 即分解所得到的子问题的“与”与原问题P等价。 等价变换 如果一个问题P可以归约为一组子问题P1,P2,…,Pn，并且子问题Pi 中只要有一个有解则原问题P就有解，只有当所有子问题Pi都无解时 原问题P才无解，称此种归约为问题的等价变换，简称变换。 即变换所得到的子问题的“或”与原问题P等价。 2
26
2.3 博弈树搜索
博弈问题
双人 一人一步 双方信息完备 零和
27
分钱币问题
对方先走 （7）
（6,1）
（5,2）
（3,2,2）
（4,3）
（3,3,1）
（5,1,1） （4,2,1）
（4,1,1,1） （3,1,1,1,1）
（3,2,1,1）
（2,2,2,1） 我方必胜
28
（2,2,1,1,1）
12
解图的耗散值记为k（n，N），则可递归计 算如下： ①若n是N的一个元素，则k（n，N）＝0； ②若n是一个外向连接符指向后继节点 {n1，…，ni}，并设该连接符的耗散值为Cn， 则 k（n，N）＝Cn+ k（n1 ，N） + … + k （ni ，N）
13
能解节点
终节点是能解节点 若非终节点有“或”子节点时，当且仅当 其子节点至少有一能解时，该非终节点才 能解。 若非终节点有“与”子节点时，当且仅当 其子节点均能解时，该非终节点才能解。
P
t
t t
解树
5
2.1 问题归约法
2. 问题的与/或树表示 例4.4 三阶梵塔问题。要求把1号钢针上的3个金片全部移到3号钢针 上，如下图所示。
1
2
3
1
2
3
解：这个问题也可用状态空间法来解，不过本例主要用它来说明如何 用归约法来解决问题。 为了能够解决这一问题，首先需要定义该问题的形式化表示方法。设 用三元组 (i, j, k) 表示问题在任一时刻的状态，用“→”表示状态的转换。上述三元组中 i 代表金片C所在的钢针号 j 代表金片B所在的钢针号 6 k 代表金片A所在的钢针号
利用问题归约方法，原问题可分解为以下三个子问题：
(1) 把金片A及B移到2号钢针上的双金片移动问题。即(1, 1, 1)→(1, 2, 2) (2) 把金片C移到3号钢针上的单金片移动问题。即 (1, 2, 2)→(3, 2, 2) (3) 把金片A及B移到3号钢针的双金片移动问题。即(3, 2, 2)→( (3, 3, 3) 其中，子问题(1)和(3)都是一个二阶梵塔问题，它们都还可以再继续进行分解； 子问题(2)是本原问题，它已不需要再分解。 三阶梵塔问题的分解过程可用如下图与/或树来表示
14
不能解节点
没有后裔的非终节点是不能解节点。 若非终节点有“或”子节点，当且仅当所 有子节点均不能解时，该非终节点才不能 解。 若非终节点有“与”子节点时，当至少有 一个子节点不能解时，该非终节点才不能 解。
15
普通图搜索的情况
s
n
f(n) = g(n) + h(n) 对n的评价实际是对从s到n这条路 径的评价
目标
n7
目标
n7(0)
红色：5 黄色：6
24
AO*算法过程 ： 1、建立一个搜索图G，G:＝s，计算q（s）＝h（s），IF GOAL（s）THEN M（s，SOLVED）；开始时图G只包括s，耗散值估计为h（s），若s是终节 点，则标记上能解。 2、Until s已标记上SOLVED，do： 3、begin 4、G′:＝FIND（G）；根据连接符标记（指针）找出一个待扩展的局部解图 G′。 5、n:＝G′中的任一非终节点；选一个非终节点作为当前节点。 6、EXPAND（n），生成子节点集{nj}，计算q（nj）＝h（nj），其中nj G， G:＝ADD（{nj}，G），IF GOAL（nj） THEN M（nj， SOLVED）；对G中 未出现的子节点计算耗散值，若有终节点则加能解标记，然后把n的子节点添 加到G中。 7、S:＝{n}；建立含n的单一节点集合S。 8、Until S为空，do： 9、begin 10、REMOVE（m，S）， ；这个m的子节点mc应不在S中。 11、· 修改m的耗散值q（m）： 对m指向节点集{n1i，n2i，…，nki}的每一个连接符i分别计算qi： qi（m）＝Ci+q（n1i）+…+q（nki）， q（m）:＝min qi（m）；对m的i个连接符，取计算结果最小的那个耗散值为 q（m）。 · 加指针到min qi（m）的连接符上，或把指针修改到min qi（m）的连接符上， 即原来指针与新确定的不一致时应删去。 · M（nji， SOLVED） THEN M（m， SOLVED）；若该连接符的所有子 IF 节点都是能解的，则m也标上能解。 12、IF M（m， SOLVED）∨（q（m）≠q0（m）） THEN ADD（ma， S）；m能解或修正的耗散值与原先估算q0不同，则把m 的所有先辈节点ma添加到S中。 25 13、end 14、end
2.1 问题归约法
2. 问题的与/或树表示
(1)与树 分解
P
P
(2) 或树 等价变换
P1
P2 与树
P3
P1
P2 或树
P3
(3) 与/或树
P P2 P12 P3 P31 P32 P33
3
P1 P12
与/或树
(4) 端节点与终止节点
在与/或树中，没有子节点的节点称为端节点；本原问题所对应的节 点称为终止节点。可见，终止节点一定是端节点，但端节点却不一定是 终止节点。 (5) 可解节点与不可解节点
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与或图: 对局部图的评价
初始节点
c
a
b 目标 目标
17
局部图的耗散值记为k（n，N），则： ①若n是局部图的一个叶节点，则k（n，N） ＝h(n)； ②若n是一个外向连接符指向后继节点 {n1，…， }，并设该连接符的耗散值为Cn， 则 k（n，N）＝Cn+ k（n1 ，N） + … + k （ni ，N） 其中，h(n)表示节点n到目标节点集的最佳 解图耗散值的估计。
③对“与”节点，只要其子节点中有一个为不可解节点，则该与节点是 4 不可解节点。
(6) 解树 由可解节点构成，并且由这些可解 节点可以推出初始节点（它对应着原 始问题）为可解节点的子树为解树。 在解树中一定包含初始节点。 例如，右图给出的与或树中，用红 线表示的子树是一个解树。在该图中， 节点P为原始问题节点，用t标出的节 点是终止节点。根据可解节点的定义， 很容易推出原始问题P为可解节点。 问题归约求解过程就实际上就是生 成解树，即证明原始节点是可解节点 的过程。这一过程涉及到搜索的问题， 对于与/或树的搜索将在后面详细讨 论。
2.2基本概念
与或图是一个超图，节点间通过连接符连 接。 K-连接符：
…...
K个
8
耗散值的计算
k(n, N) = Cn+k(n1, N)+…+k(ni, N) 其中：N为终节点集 Cn为连接符的耗散值
n
…...
n1 n2 i个 ni
9
• 解图： 初始节点
目标 目标
10
递归定义局部图： 定义： ①单一节点是一个局部图； ②对于一个局部图的任意叶节点n，选择一 个n的外向连接符K，则该局部图、外向连 接符K，以及K所连接的n的后继节点一起组 成的图，仍然组成一个局部图。
11
解图可递归定义如下： 定义：一个与或图G中，从节点n到节点集N 的解图记为 ， 是G的子图。 ①若n是N的一个元素，则 由单一节点组成； ②若n有一个指向节点{n1，…，nk}的外向连 接符K，使得从每一个ni到N有一个解图 （i=1，…，k），则 由节点n，连接符K，及 {n1，…，nk}中的每一个节点到N的解图所组 成； ③否则n到N不存在解图。
在与/或树中，满足以下三个条件之一的节点为可解节点： ①任何终止节点都是可解节点。 ②对“或”节点，当其子节点中至少有一个为可解节点时，则该或节点 就是可解节点。 ③对“与”节点，只有当其子节点全部为可解节点时，该与节点才是可 解节点。 同样，可用类似的方法定义不可解节点： ①不为终止节点的端节点是不可解节点。 ②对“或”节点，若其全部子节点都为不可解节点，则该或节点是不可 解节点。
18
两个过程
图生成过程，即扩展节点
从最优的局部途中选择一个节点扩展
计算耗散值的过程
对当前的局部图从新计算耗散值
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AO*算法举例
n0 n1 n2 n4
初始节点
n3
n5
n6
n8
其中： h(n0)=3 h(n1)=2 h(n2)=4 h(n3)=4 h(n4)=1 h(n5)=1 h(n6)=2 h(n7)=0 h(n8)=0 设：K连接符 的耗散值为K
这个算法可划分成两个操作阶段： 第一阶段是4-6步，完成自顶向下的图生成操作， 先通过有标记的连接符，找到目前为止最好的一 个局部解图，然后对其中一个非终节点进行扩展， 并对其后继节点赋估计耗散值和加能解标记。 第二阶段是7-12步，完成自下向上的耗散值修正 计算、连接符（即指针）的标记以及节点的能解 标记。 耗散值的修正从刚被扩展的节点n开始，其修正耗 散值q（n）取估计h（n）的所有值中最小的一个， 然后根据耗散值递归计算公式逐级向上修正其先 辈节点的耗散值，只有下层节点耗散值修正后， 才可能影响上一层节点的耗散值，因此必须自底 向上一直修正到初始节点。这由算法中的内循环 过程完成，
（2,1,1,1,1,1）
1，极小极大过程
评价函数:
可以对所有的棋局进行评估。当评价函数值大于0时， 表示棋局对我方有利，对对方不利。当评价函数小于0 时，表示棋局对我方不利，对对方有利。而评价函数值 越大，表示对我方越有利。当评价函数值等于正无穷大 时，表示我方必胜。评价函数值越小，表示对我方越不 利。当评价函数值等于负无穷大时，表示对方必胜。
(1,1,1)→(3,3,3)
(1,1,1)→(1,2,2)
(1,2,2)→(3,2,2)
(3,2,2)→(3,3,3)
(1,1,1)→(1,1,3) (1,1,3)→(1,2,3) (1,2,3)→(1,2,2)
(3,2,2)→(3,2,1) (3,2,1)→(3,3,1) (3,3,1)→(3,3,3)
29
30
过程MINIMAX： ①T:＝（s，MAX），OPEN:＝（s），CLOSED:＝（ ）；开始时 树由初始节点构成，OPEN表只含有s。 ②LOOP1:IF OPEN＝（ ）THEN GO LOOP2； ③n:＝FIRST（OPEN），REMOVE（n，OPEN），ADD（n， CLOSED）； ④IF n可直接判定为赢、输或平局 THEN f（n）:＝∞∨－∞∨0，GO LOOP1 ELSE EXPAND（n）→{ni}，ADD（{ ni}，T） IF d（ni）＜k THEN ADD（{ni }，OPEN），GO LOOP1 ELSE计算f（ni ），GO LOOP1；ni达到深度k，计算各端节点f值。 ⑤LOOP2：IF CLOSED＝NIL THEN GO LOOP3 ELSE np :＝FIRST（CLOSED）； ⑥IF（np ∈MAX）∧（f（ nci∈MIN）有值） THEN f（ np ）:＝max{f（ nci ）}，REMOVE np ，CLOSED）； 若MAX所有子节点均有值，则该MAX取其极大值。 IF （ np ∈MIN）∧（f（ ncj∈MAX）有值） THEN f np ）:＝min{f (ncj ）}，REMOVE（ np ，CLOSED）；若 MIN所有子节点均有值，则该MIN取其极小值。 ⑦GO LOOP2； ⑧LOOP3：IF f（s）≠NIL THEN EXIT（END∨M(Move，T))；s 有值，则结束或标记走步。 31
20
目标
n7
目标
n0 n1 n2
初始节点
n1(2) n4
n0
初始节点
n4(1)
n3
n5
n5(1)
n6
n8
目标
n7
红色：4
黄色：3
目标
21
n0 n1 n2
初始节点
n1 n4 5
n0
初始节点
n4(1) n2(4)
n3
n5 n3(4)
n5(1)
n6
n8
目标
n7
红色：4
黄色：6
目标
22
n0 n1 n2
在该与/或树中，有7个终止节点，它们分别对应着7个本原问题。如果把 这些本原问题从左至右排列起来，即得到了原始问题的解：
(1, 1, 1)→(1, 3, 3) (3, 2, 2)→(3, 2, 1) (1, 3, 3)→(1, 2, 3) (1, 2, 3)→(1, 2, 2) (1, 2, 2)→(3, 2, 2) 7 (3, 2, 1)→(3, 3, 1) (3, 3, 1)→(3, 3, 3)