研究生试卷详细答案
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福建农林大学研究生考试试卷 ( A )卷
2012 —2013 学年第 二 学期
课程名称: 系统模拟与仿真 考试形式 开卷
研究方向 年级 学号 姓名
一、系统设计与应用(第1 、2题各20分,共40分)
1.对房屋加热系统进行仿真,加热器和温度控制器用以下常微分方程描述:
)]()()[(0T T t C t K T -+='
其中,T 为温度控制器测量的室内温度,T 0为外部温度。所有温度均用摄氏度表示,K (t )表示温度变化的时间常数,C (t )为稳态内外温差,它们在加热器接通和关闭时都会发生变化。当加热器关闭时,K (t )=8×10-5/s ,C (t )=0℃;当加热器接通时,K (t )=5×10-4/s ,C (t )=40℃。温度控制器是一个开关,当检测的温度低于20℃时,接通加热器;当检测的温度高于22℃时,切断加热器。初始条件为T 0=0℃,T=18℃,加热器关闭。试选择合适算法仿真系统运行30分钟,使仿真温度的误差峰值在(0.01,0.02)范围内变化,并计算系统在此30分钟运行过程中要接通多少次加热器(附简要计算过程)。
解:根据已知条件,有2个微分方程,要求仿真温度的精度(20±0.01,22±0.02)。
(1)接通加热器方程:)40(10504
T T T -+⨯='-
(2)关闭加热器方程:)(10805
T T T -⨯='-
根据初始条件,T 0=0℃,T (0)=18℃,加热器关闭。这时温控器检测到温度T (0)<20℃, 接通加热器,方程为:)40(1054T T -⨯='-,即 )40(105),(4
T T t f -⨯=-
取步长h =20s ,根据欧拉公式有:)40(105204
1n n n n n T T hf T T -⨯⨯+=+=-+,整理得:
n n T T )01.01(4.01-+=+
(1)
应用式(1)计算接通加热器状态下各时刻的T 值,按h =20s 的间隔,将各T 值登记在表1-1中。
当温控器检测到温度T (t )>22℃, 关闭加热器,仍取步长h =20s ,方程为:
T T 5108-⨯-=' ,即 T T t f 5108),(-⨯-=
根据欧拉公式有:n n n n n T T hf T T 5
110820-+⨯⨯-=+= 整理得:
n n T T )0016.01(1-=+
(2)
应用式(2)计算关闭加热器状态下各时刻的T 值,按h =20s 的间隔,将各T 值登记在表1-1中。
同样,按照温控器的动作,计算30分钟(1800s )内各时刻的T 值。
表1-1 房屋加热系统温控仿真计算过程
根据表1-1的数据可得,从18º→20º约180s,20º→22º约200s ,22º→20º约1200s ,作图分析推测得,共需加热2次。
图1-1 房屋加热系统温控仿真过程
从表1-1可以看出,个别点仿真精度不符合要求,如在第1620s ,温度为
19.989º
<19.999º。出现此问题的主要原因是使用的步长h (=20s )偏长,此外欧拉方法本身误差也比较大。
2.已知某控制系统框图如图2所示,计算该系统用差分方程表示的仿真模型。
初值:0)0(=u ,1)0(=y ,2)0(=y
图2 控制系统框图
解:用并联法将该连续系统分解如下图所示。
显然,可以求得上图中系数2
1
,2121-==n n ,则可得描述连续系统的状态方程为 y u e -=
e x x x x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121212000 (3-P )
21x x y +=
状态矩阵
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2000A ,输入矩阵 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=2121B ,则 t
22 20
18
在环节入口e 处加一虚拟采样开关及保持器,得到离散相似系统如图2-1所示。
图2-1 离散相似系统
设图中的H (s )为零阶保持器,则有
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=-----210
01
200])[(11
1
1
1
s s L s s L A sI L e
At
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t e 2001
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==Φ-T AT
e e
T 2001
)(
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==Φ--⎰⎰
)1(001)(24121
21210
2T T
T
t At
m e T dt e Bdt e T 将计算结果代入式n m n n u T X T X )()(1Φ+Φ=+,得
)()1()()(001)1()1(2412
1
21221n e e T n X n X e n X n X T T ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--
与式(3-P )对比,展开后得差分方程为, )()()(n y n u n e -=
)(2
1
)()1(11n Te n x n x +=+
)()1(41
)()1(2222n e e n x e n x T T -+=+--
)1()1()1(21+++=+n x n x n y
求初值,从式(3-P )的输出方程得 1)0()0()0(21=+=x x y
2)0(2)0(2
1
)0(2)0(21)0(22=-=--=x e x e y
从而解得
2)0(1=x ,1)0(2-=x ,1)0(=y ,0)0(=u