第一类曲线积分例题与习题

R3
sin2
d
2R
3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2
(0
π 4
)
O
x
利用对称性 , 得
π
4 4 r cos
f
(x,
y) ds
lim
0 k 1
f
(k ,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 L d s 表示什么?
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
目录 上页 下页 返回 结束
例5. 计算
其中 为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知
x2 ds
y2 ds
z2 ds
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
3
1 a2 ds 1 a22 π a
3
3
2 πa3 3
目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算
其中 为球面
其线密度
求它对原点处单位质量质点的引力.
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
y (x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
R O R x
Fx
2k R
π
cos d
0
2k R
sin cos
π
0
Fy
2k R
π
sin
d
2k
0
R
cos sin π
0
故所求引力为 F 4k , 2k π
RR
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
3. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z)ds f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
（, 为常数)
(2) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 π4 a2 cos d 0
目录 上页 下页 返回 结束
例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中 为螺旋
的一段弧.
a2 k 2 2π[a2 k 2t 2]d t 0
2 π a2 k 2 (3a2 4 π 2k 2 ) 3
说明:
(1) sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds dy dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. O x x
目录 上页 下页 返回 结束
如果曲线 L 的方程为
则有
b
f (x, (x) )
x2
y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
解:
:
1 2
(
x
12)2
1 4
y2
1,
化为参数方程
x z 1
x
2
cos
1 2
: y 2sin
0 2π
则
z
1 2
2 cos
ds ( 2 sin )2
( 2 sin )2 d 2d
I 9
2π
2d 18π
20
目录 上页 下页 返回 结束
例7. 有一半圆弧
f (x, y, z) ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds
目录 上页 下页 返回 结束
如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ),则
f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
: x (t), y (t), z (t) ( t )
则 f (x, y, z)ds
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y)ds f [ (t ) , (t )] 2(t ) 2(t ) d t
L
目录 上页 下页 返回 结束
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
k 1
目录 上页 下页 返回 结束
2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数,若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
n
记作
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )sk
第一节
第十一章
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
目录 上页 下页 返回 结束
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
内容小结
1. 定义 f (x, y) ds L
f (x, y, z)ds
2. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds g(x, y, z)ds (, 为常数)
(2) f (x, y, z)ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
O
1x
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x
y
R cos R sin
( )
O
L Rx
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d