常用方法MATLAB求解(好)
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称为拉格朗日插值基函数。
7
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地: 两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 L2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
10
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
几种常见的数学方法及软件求解
一、曲线拟合及MATLAB软件求解 已知离散点上的数据集 [( x1 , y1 )( x2 , y2 )
( xn , yn )],
求得一解析函数y=f(x)使y=f(x)在原离散点 xi 上尽可能 接近给定 yi 的值，这一过程叫曲线拟合。最常用的 曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的 平方和最小，即找出使
f (x ) y
i 1 i
n
2
i
1
最小的f(x).
格式：p=polyfit(x,y,n). 说明：求出已知数据x,y 的n次拟合多项式f(x)的系 数p,x 必须是单调的。 例1 已知某函数的离散值如表
xi yi 0.5 1.75 1.0 2.45 1.5 3.81 2.0 4.80 2.5 7.00 3.0 8.65
求二次拟合多项式. 先画函数离散点的图形 输入命令 ： >> x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]; >> y=[1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60]; >> scatter(x,y,5) 结果见图
2
由图可看出可用二次多项式拟合。 再输入命令 ： >> p=polyfit(x,y,2) p= 0.5614 0.8287 1.1560 即二次拟合多项式为 f ( x) 0.5614x2 0.8287 x 1.1560
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
11
2、一维插值的MATLAB软件命令： 已知离散点上的数据集[( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ( xn , yn )], 求得一解析函数连接自变量相邻的两个点，并求得两点 间的数值，这一过程叫插值。 MATLAB在一维插值函数interp1中，提供了四种 插值方法选择：线性插值、三次样条插值、立方插值 和最近邻点插值。interp1的本格式为： yi=interp1(x，y，xi，'method') 其中x,y分别表示数据点的横、纵坐标向量，x 必须 单调，xi为需要插值的横坐标数据（或数组），xi不能 超出x的范围，而method为可选参数，有四种选择： ‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； 12
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
*
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
5
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
6
拉格朗日(Lagrange)插值
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
3
画出离散点及拟合曲线： 输入命令 ： >> x1=0.5:0.05:3.0; >> y1=polyval(p,x1); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 结果见图5.4
4
二、一维插值
1、一维插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
计算量与n无关;
xn
9
三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
Байду номын сангаас
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线 )的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
直接验证可知 , Ln x满足插值条件 .
8
分段线性插值
y o
Ln ( x ) y j l j ( x )
j 0 n
xj-1 xj xj+1 xn x
x0
x x j 1 , x j 1 x x j n越大，误差越小. x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 lim Ln ( x) g ( x), x0 x x j x j 1 n 0, 其它
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
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拉格朗日(Lagrange)插值
特别地: 两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 L2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
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三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
几种常见的数学方法及软件求解
一、曲线拟合及MATLAB软件求解 已知离散点上的数据集 [( x1 , y1 )( x2 , y2 )
( xn , yn )],
求得一解析函数y=f(x)使y=f(x)在原离散点 xi 上尽可能 接近给定 yi 的值，这一过程叫曲线拟合。最常用的 曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的 平方和最小，即找出使
f (x ) y
i 1 i
n
2
i
1
最小的f(x).
格式：p=polyfit(x,y,n). 说明：求出已知数据x,y 的n次拟合多项式f(x)的系 数p,x 必须是单调的。 例1 已知某函数的离散值如表
xi yi 0.5 1.75 1.0 2.45 1.5 3.81 2.0 4.80 2.5 7.00 3.0 8.65
求二次拟合多项式. 先画函数离散点的图形 输入命令 ： >> x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]; >> y=[1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60]; >> scatter(x,y,5) 结果见图
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由图可看出可用二次多项式拟合。 再输入命令 ： >> p=polyfit(x,y,2) p= 0.5614 0.8287 1.1560 即二次拟合多项式为 f ( x) 0.5614x2 0.8287 x 1.1560
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
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2、一维插值的MATLAB软件命令： 已知离散点上的数据集[( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ( xn , yn )], 求得一解析函数连接自变量相邻的两个点，并求得两点 间的数值，这一过程叫插值。 MATLAB在一维插值函数interp1中，提供了四种 插值方法选择：线性插值、三次样条插值、立方插值 和最近邻点插值。interp1的本格式为： yi=interp1(x，y，xi，'method') 其中x,y分别表示数据点的横、纵坐标向量，x 必须 单调，xi为需要插值的横坐标数据（或数组），xi不能 超出x的范围，而method为可选参数，有四种选择： ‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； 12
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
*
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
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构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
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拉格朗日(Lagrange)插值
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
3
画出离散点及拟合曲线： 输入命令 ： >> x1=0.5:0.05:3.0; >> y1=polyval(p,x1); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 结果见图5.4
4
二、一维插值
1、一维插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
计算量与n无关;
xn
9
三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
Байду номын сангаас
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线 )的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
直接验证可知 , Ln x满足插值条件 .
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分段线性插值
y o
Ln ( x ) y j l j ( x )
j 0 n
xj-1 xj xj+1 xn x
x0
x x j 1 , x j 1 x x j n越大，误差越小. x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 lim Ln ( x) g ( x), x0 x x j x j 1 n 0, 其它
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)