铅垂法求三角形面积

二次函数三角形之面积问题（铅垂法）

专题前请先思考以下问题:

问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？

问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

问题4：铅垂法的具体做法是什么？

问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？

以下是问题及答案，请对比参考:

问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？

答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。

问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。

问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。

问题4：铅垂法的具体做法是什么？

答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。

问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？

答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)

的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.

解：

试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）

例2：如图，一次函数

1

2

2

y x

=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2

y x bx c

=-++

过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为

S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值. 解：

试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）

……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：

决胜中考：

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213

222

y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与

x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC

的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.

2. 如图，已知抛物线213

222

y x x =

+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得

1

2

ACM ABC S S ∆∆=

，求此时点M 的坐标.

3.如图，已知直线1

2

y x =

与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2）

，B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的3

4

，

求时点P 的坐标.

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