高等数学微分方程组解法举例
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求 x : D× ⑦－⑥ 得
x D3 y et
⑩
x D y e
3 2
t t
⑥ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. ⑦ D x (D 2 1) y 0
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(D 1) x D y e
结束
作业
P352 1 (3),(6); 2 (2), (4)
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④
⑤
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原方程通解: 注意:
z (C1 C2 x) e x 1 y (2C1 C2 2C2 x) e x 2
1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数,
而它们与C1 ,C2 是不独立的 (它们受②式制约).
2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
因此 y 的表达式中 , 2C1 C2不能用另一任意常数
Cy代替 , 系数 1 也不能去掉. d3 3y 2z 2 ① dx 3) 若求方程组满足初始条件 y x 0 y0 , z dz 2y z ② 的特解, 只需代入通解确定 C1 ,C2 即可. dx
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x 0
z0
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任意常数的个数 = 未知函数个数 如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系.
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dy 3y 2z ① dx 例1. 解微分方程组 dz 2y z ② dx 1 dz ③ y z 解: 由②得 2 dx d2 z dz 2 z 0 代入①, 化简得 2 dx dx 特征方程: r 2 2r 1 0 通解: z (C1 C2 x) e x 1 将④代入③, 得 y (2C1 C2 2C2 x) e x 2
2
⑦
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
y
D 2 1 et ຫໍສະໝຸດ Baidu 0
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(D D 1) y e 其特征方程: r 4 r 2 1 0 1 5 特征根: r1, 2 2 记
即
4 2
t
⑧
r3, 4 i
记
5 1 2
i
⑨
令 y A et , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:
第七章 *第十节 常系数线性微分方程组 解法举例
解微分方程组
消元 代入法 算子法
高阶微分方程求解
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常系数线性微分方程组解法步骤:
第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个
函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;
第三步 把求出的函数代入原方程组 , 一般通过求导 得其它未知函数 . 注意: 一阶线性方程组的通解中,
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d2 x d y x et dt2 dt 例2. 解微分方程组 d2 y d x y0 2 dt dt d 解: 记 D , 则方程组可表为 dt 2 t ⑥ (D 1) x D y e
D x (D 2 1) y 0
D 1 D D D2 1
x D3 y et
⑩
x D y e
3 2
t t
⑥ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. ⑦ D x (D 2 1) y 0
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(D 1) x D y e
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原方程通解: 注意:
z (C1 C2 x) e x 1 y (2C1 C2 2C2 x) e x 2
1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数,
而它们与C1 ,C2 是不独立的 (它们受②式制约).
2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,
因此 y 的表达式中 , 2C1 C2不能用另一任意常数
Cy代替 , 系数 1 也不能去掉. d3 3y 2z 2 ① dx 3) 若求方程组满足初始条件 y x 0 y0 , z dz 2y z ② 的特解, 只需代入通解确定 C1 ,C2 即可. dx
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z0
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任意常数的个数 = 未知函数个数 如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系.
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dy 3y 2z ① dx 例1. 解微分方程组 dz 2y z ② dx 1 dz ③ y z 解: 由②得 2 dx d2 z dz 2 z 0 代入①, 化简得 2 dx dx 特征方程: r 2 2r 1 0 通解: z (C1 C2 x) e x 1 将④代入③, 得 y (2C1 C2 2C2 x) e x 2
2
⑦
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
y
D 2 1 et ຫໍສະໝຸດ Baidu 0
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(D D 1) y e 其特征方程: r 4 r 2 1 0 1 5 特征根: r1, 2 2 记
即
4 2
t
⑧
r3, 4 i
记
5 1 2
i
⑨
令 y A et , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:
第七章 *第十节 常系数线性微分方程组 解法举例
解微分方程组
消元 代入法 算子法
高阶微分方程求解
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常系数线性微分方程组解法步骤:
第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个
函数的高阶方程 ;
第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;
第三步 把求出的函数代入原方程组 , 一般通过求导 得其它未知函数 . 注意: 一阶线性方程组的通解中,
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d2 x d y x et dt2 dt 例2. 解微分方程组 d2 y d x y0 2 dt dt d 解: 记 D , 则方程组可表为 dt 2 t ⑥ (D 1) x D y e
D x (D 2 1) y 0
D 1 D D D2 1