经验模态分解算法中端点问题的处理

x=[0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360];

y=[-0.0167 -1.0927 -1.8725 -2.3586 -2.3061 -1.9576 -0.9574 -0.0080 0.8896 1.3877 1.1139 0.8517 -0.0167];

fun=@(a,t) a(1)+a(2)*sind(t+a(3)) %matlab7.0以上版本，否则用inline

%fun=inline('a(1)+a(2)*sind(t+a(3))','a','t')

a0=[-0.5 -1.9 -0.079];

a=nlinfit(x,y,fun,a0)

t=0:5:360;

yf=fun(a,t);

plot(x,y,'o',t,yf)

结果：

fun =

@(a,t) a(1)+a(2)*sind(t+a(3))

a =

-0.5239 -1.8995 -14.2382

经验模态分解算法中端点问题的处理

摘要：经验模态分解(EMD)方法就是对非线性、非平稳信号运用时间区域序列的上下包络线的均值得到瞬时平衡位置，将被分析信号分解成一组相互独立的稳态和线性的固有模态函数(IMF)数集。经验模态分解(EMD)方法是基于原始信号本事出发，经过筛选先把频率高的IMF 分量分离出来，然后在分离频率较低的IMF分量。其实质就是利用时间特征尺度来获取原始信号数据中的振荡模态，本文对经验模态分解算法中端点问题的处理进行研究。

关键词：经验模态分解算法端点函数

经验模态分解(EMD)方法被提出后在各个领域普遍的应用，其具有直观、简单、自适应、完备性和正交性以及调制特性等一系列良好的特点。

(1)自适应性

经验模态分解(EMD)方法的自适应性表现为自适应生成基函数。在整个筛选分解过程中

是根据原始信号自己的时间特征尺度实现的，不需要事先设立任何基函数。这与傅立叶变换和小波变换有着根本性的不同。傅立叶变换和小波变换需要事先设定谐波基函数和小波基函数，他们是先验性的。可以说在理论上，经验模态分解(EMD)方法适用任何信号的分解，其在对非线性、非平稳信号的处理上的优越性是其他时频分析方法无法比拟的。

经验模态分解(EMD)方法的自适应性还表现为自适应滤波特性。经验模态分解方法是基于原始信号本身出发，经过筛选先把频率高的IMF分量分离出来，然后在分离频率较低的工MF分量。这些不同频率成分以及带宽都是随原始信号的变化而改变的。因此，EMD方法可被视为是一组具有自适应性能的带通滤波器，它的截止频率和带宽均随着原始信号的变化而自动改变的，随着信号分析的目的改变而自动变化的。

这些尺度范围和频率成分均随着原始信号的变化而自动改变的，这样原始信号的特征可在不同分辨率下被表示，实现自适应多分辨率。

(2)正交性与完备性

所谓信号分解方法的完备性，是指可以从被分解后的信号的各个分量还原出原始信号的性质。经验模态分解(EMD)方法的本身就已经证明了其是完备的。可以得到证明EMD方法的完备性。且从EMD整个分解过程和结果都说明EMD方法的完备性。

所谓信号的正交性指的是被分解后的信号的各个分量之间相互正交的性质。例如频率不同的两个正弦信号它们是相互正交的。在EMD方法中，根据IMF的概念，每一个IMF分量应该是在局部应该是相互正交的。

此处的正交性是在局部意义上而言的。对于有一些特殊数据，有可能会出现两个相邻的分量在不同的时间段内含有相同的频率成分，因此在全局意义上不正交。由于一般在实际进行经验模态分解时采用的都是截取数据的有限长度，这样即使对于不同频率的纯正弦波形叠加信号进行分解也会有严重泄漏。泄漏的程度一般与数据的长度以及分解的结果是密切相关的。黄通过大量的实验数据证明EMD的泄漏一般小于1%;对于极短的数据为5%,与正弦型傅立叶分解在同一数量级上。据此可以认为EMD分解得到的各个IMF分量近似正交的。

(3) IMF分量的调制特性

由固有模态函数的概念可知，对于任意信号被分解为有限工MF分量，这些分量可以是幅值和频率调制的。任何频率随时间的变化都可定义为频率调制。频率调制有两种概念:一是波间调制;二是波内调制。EMD分解得到的各个IMF分量不仅含有原始信号的非线性以及非平稳特性，而且工MF分量有波内调制特性，能用一个IMT表示由不同傅立叶频率描述的同一分量。

1 经验模态分解和主成分分析

1.1 经验模态分解

经验模态分解算法的主要目的是将待分析信号分解为一系列表征时间尺度的IMF 分量,要求IMF 分量必须满足两个条件：IMF 的极值点个数与过零点个数不超过1；由极大值点和极小值点确定的包络线均值为零.对信号()x t 进行EMD 分解的步骤如下[6]

：

Step1 确定()x t 的所有极大值和极小值，分别对极大值点和极小值点进行三次样条插值,构

造()x t 的上下包络线()x up t 和()x low t ，计算上下包络线的均值

1()(()())/2up low t t t =+m x x ；

Step2 计算()x t 和()m t 之间的差值, 11()()()t t t =-g x m ； Step3 判断1()t g 是否是一个IMF,

3.1) 如果1()t g 符合IMF 的定义条件，是一个IMF ，则抽取1()t g 作为第一个IMF 分量,

令11()()imf t g t =，并求原信号与1imf 之间的差值1()r t ， 11()()()r t x t imf t =-。

3.2) 如果1()t g 不是一个IMF,则将1()t g 视为一个新的信号序列，重复步骤1和步骤2，

求其包络均值11()t m 及1()g t 与11()m t 间的差值11()g t 。对11()g t 重复上述过程n 次，直到1()n g t 符合IMF 的定义条件，则令11(1)1()()n n n g t g t m -=-为()x t 的第一个IMF 分量，并求原信号与1imf 之间的差值1()r t ， 11()()()r t x t imf t =-；

Step4 将1()r t 作为一个新的“原始”信号，重复步骤（step1-step3），抽取第2个内蕴模

态函数分量2imf ，令212()()(

)r t r t imf t =-；将2()r t 作为一个新的“原始”信号，抽取第3个内蕴模态函数分量3i m f ，

；以此类推，直到第K 次的余项

(1)K K k r r i m f -=-满足终止条件，则停止迭代，()x t 的EMD 分解完成。

EMD 分解结束后,原始信号()x t 可被表示为各IMFs 和一个余项之和：

1

()()()

x imf r K

k K k t t t ==+∑