线性代数实践8章

T
x m x m xi
i 1
m
2
• 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向 量的长度（或模、或范数norm）。
内积的几何意义
• 在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它 们夹角的余弦，可以利用下图证明。 • 根据余弦定律， • 最后得到
uT v cos u u
• 此结果可推广到高维空间，只是被抽象化了：
二维向量张成的空间
• 平面上的任何一点[w1;w2]是不是一定能用u和v的线 性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数 [c1,c2]，使得
2 3 w1 c1 c2 4 1 w2
• c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张 成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。 • 若u和v两个向量的各元素成比例关系，如 v 0.5
a2+a1,a3
张成的平面
(u1,0)
a3
a2 0 a1
a1,a3
张成的平 面
二维向量行列式等于面积
• 任意二维向量的行列式等于两向量所张平 行四边形的面积，可证明如下：
SOACB SOEDB SCDB S AEO S AEDC SOEDB S AEDC a1b2 a2 b1
Hale Waihona Puke Baidu
8.4 齐次方程Ax=0的解空间
• 设有m个方程和n个变量，A的秩是r，则经过行简 化后得到的行阶梯矩阵U的有r个枢轴元素，非枢 轴元素有nr个。因此该方程的全解将等于Axb 的一个特解加上其齐次方程Ax0的通解。本节将 从向量空间的视点来讨论它的解，因为通解是nr 阶的无穷的集合，所以要研究解所张成的向量空 间。 • Ax0意味着这些解x的集合经过矩阵A变换后都映 射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的空 间称为Null Space，直译为‘零空间’。我国的 通用译名为‘解空间’或‘基础解系’，我们觉 得用‘齐次解空间’较为准确。
齐次方程Ax=0解空间的例
• 例8.6 试求下列系数矩阵的齐次解空间：
0 A 5 3 0 5 3 1 7 0 1 3 6 1 7 0
• 解：输入A，并求出它的简化行阶梯形式，键入 [u0,ip]rref(A)，得到
U0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0
1
合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维 平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关 的。
2．三维空间中的向量
• 若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间 坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭 头来表示。用矩阵代数表示如下
1 5 3 , v 4 , v 1 , v1 1 2 3 2 7 0
viewsubspaces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是xyz0的原点。要看清其几 何意义，还是需要一定的空间想象力。
三个向量的空间关系
例8.3 w是否在v1,v2,v3的空间内
• 设
7 4 v1 2 9 4 9 9 10 5 4 7 -2 , v2 , v3 , w1 , w2 1 4 1 8 7 7 4 -2
0 0 0 0
三个向量的空间位置演示程序
• 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系， ATLAST手册还提供了一个演示程序 viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u， 同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面， 画在同一张立体图上。例如： u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5];
第8章 用向量空间解方程组
• 8.1 向量和向量空间
– 1．二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示
u1 2 u , u 2 4
– – – – –
v1 3 v , v2 1
u=[2;4]; v=[3;-1]; plot([2,3],[4,1],’x’);hold on % 若用中的子程序drawvec， drawvec(u);hold on drawvec(v,’g’);hold off
正交基向量的生成
• 两向量x，y正交的条件是它们的内积为零。 给出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手册中 给出了相应的程序gschmidt。调用时键入 [Q,R]=gschmidt(v)，Q就是单位正交基向量e。 • MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法编成 了正交分解子程序qr.m，它将v分解为Q和R两个矩 阵的乘积。调用方法为： [Q,R]qr(v) • Q就是mm单位正交矩阵。
• 若w与v线性相关，其组合矩阵[v,w]的秩应该与v的秩相同， 反之，其秩应该加1。由此列出程序ag803： • v1=[7;-4;-2;9]; v2=[-4;5;-1;-7]; % 输入参数 • v3=[9;4;4;-7]; w1=[-9;7;1;-4]; w2=[10;-2;8;-2]; • v=[v1,v2,v3]; % 将三个基向量组成矩阵 • dr1=rank([v,w1])-rank(v) % w1秩的增量 • dr2=rank([v,w2])-rank(v) % w2引起秩的增量 • 运行结果为dr1=1, dr2=0。说明w1不是v1,v2,v3的线性组 合，而w2是，w2将位于v1,v2,v3所张成的R3子空间内。
• det(A)=0 相关 • det(A)≠0 不相关 • 行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行 四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面 体的体积。
行列式的几何意义
• 二维
(v1, v2)
u1 v1 D det u1v2 0 v2
• 三维 det(A)=右图平行六 面体的体积
ip[1,3]
齐次解空间的例（续）
• 其通解可以看成三个向量的线性组合
x1 x2 x 2 x3 x4 x4 x5 2 x4 1 2 0 1 0 0 x2 x5 x2 0 x4 1 x5 1 x4 0 1 0 x5 0 0 1
8.3 向量的内积和正交性
• 在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为 [x,y]x1y1x2y2x3y3。m维情况可以写成
x, y xT y x1 y1 x2 y2
x m y m xi y i
i 1
m
• 这是一个标量。向量x与自己求内积：
x x x1 x1 x2 x2
• 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线 性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三 个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判 断三个向量的线性相关性，可用行列式。
三维空间向量的相关性
• 即看三向量并列所得矩阵的行列式
1 5 3 , A v1 , v 2 , v 3 1 4 1 2 7 0
O E x y C B(a2,b2) D A(a1,b1)
n维向量的相关性
• 在进入三维以上的空间时，已经没有可与 面积、体积直接相当的概念可用了，所以 采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也 就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线 性相关的。 • 秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积 存在（r3）的意义，因此，它是更高度的 抽象。
例8.2 求四个五维向量的子空间
• 这四个向量组成的矩 阵如右，对它进行行 阶梯简化。程序为：
4 0 A 2 5 1 5 3 1 4 4 4 0 2 5 1 1 1 0 3 1
A[4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1] [U0,ip]rref(A) 1 0 1 0 0 1 0 0 得到 ip=1,2,4 0 0 0 1 其三个枢轴列对应的就是 U 0 0 0 0 0 三个线性无关的列向量。
8.2 向量空间和基向量
• 若r个向量是线性无关的，则它们的线性组 合的全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不 是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线 性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。 • 当rn时，给定的n个向量就是一组基。如 果rn，那就要在n个向量中选出r个线性无 关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向 量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵 简化为阶梯形式的方法。
基向量正交化的schmidt公式
q1 v1 [v2 , q1 ] q1 [q1 , q1 ] [v3 , q1 ] [v3 , q2 ] q3 v3 q1 q2 [q1 , q1 ] [q2 , q2 ] q 2 v2 [vk , q1 ] [v k , q 2 ] q k vk q1 q2 [q1 , q1 ] [q2 , q2 ] [vk , qk 1 ] qk 1 [qk 1 , qk 1 ]
求单位正交基向量的例
例8.5 对于例8.4的数据，求其规范化正交基向量 e1,e2,…,en。 解：程序为
V[7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7] [Q,R]qr(v) eQ(:,[1:3]) • 得到： % 或 [Q,R]gschmidt(v)
0.5715 0.3164 0.7473 0.3266 0.6096 0.1080 , e [ e1 e2 e3 ] 0.1633 0.7144 0.5022 0.1339 0.4216 0.7348
例8.4 基向量长度规一化和夹角
• 例8.4 求例8.3中的单位基向量v01,v02,v03，并 分别求它们之间的夹角。 • 解：解题的程序为ag804： v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos((v1'*v2)/(norm(v1)*norm(v2))) theta13=acos((v1'*v3)/(norm(v1)*norm(v3))) theta23=acos((v3'*v2)/(norm(v3)*norm(v2)) )
• 得到qi(i1,2,…,k)后，再把它们除以norm(qi)，就 可归一化为单位向量ek。
基向量正交化的schmidt子程序
• function [Q,R]=gschmidt(V) [m,n]=size(V); R=zeros(n); R(1,1)=norm(V(:,1)); Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1); for k=2:n R(1:k1,k)=Q(:,1:k1)'*V(:,k); Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k); R(k,k)=norm(Q(:,k)); Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k); end