常见统计分布及其特点

附录一】常见分布汇总

一、二项分布

二项分布( Binomial Distribution )，即重复n 次的伯努利试验( Bernoulli Experiment )，用E表示随机试验的结果,如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是。

二、泊松poisson 分布

1 、概念

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中入为np。通常当nM 10,p三0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

2、特点 - 期望和方差均为入。

3、应用(固定速率出现的事物。)——在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速

率入(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布

三、均匀分布uniform

设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a) ，a

则称随机变量X服从［a,b］上的均匀分布，记为X〜U［a,b］。

四、指数分布Exponential Distribution

1 、概念

2、特点——无记忆性

1)这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害

2）无记忆性

当s,t >0时有P（T>s+t|T>t）=P（T>s）即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等。

3、应用在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果

五、正态分布Normal distribution

1、概念

2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础）中心极限定理：设从均值为□、方差为a A2；（有限）的任意一个总体中抽取

样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为卩、方差为a A2/n的正态分布。

3 、特点——在总体的随机抽样中广泛存在。

4、应用一一正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础

定理一：设XI，X2，X3. 00 Xn是来自正态总体N（u，3 2）的样本，则有样本均值X〜N（u，3 2/n ）――总体方差常常未知，用t分布较多

六、X 2 卡方分布（与方差有关）chi-square distribution

1 、概念

若n个相互独立的随机变量 E ?、E ?……、E n，均服从标准正态分布（也

称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方

Q=D?

和—T 构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布(chi-square

distribution ),其中参数n称为自由度

【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来。用RSS/3 2,所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。

2、卡方分布的特点

(1)分布的均值为自由度n，记为)= n。(这个容易证明)

(2)分布的方差为2倍的自由度(2 n)，记为D(： ) = 2n 。

(3)如果互相独立，贝V：(独立可加减)

，:呎场卜卜：fT厉服从i 分布，自由度，一；

汽九：服从；分布，自由度为•_

3、图形特点

4、应用

定理二，设X1，X2, X3. 00 Xn是来自正态总体N(u，3 2)的样本，则有样本均值X~N 5,3 2/n )

(1)正态分布以及卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检验：F

检验、三大检验。

七、t学生分布(用样本方差s来标准化) ------- Student's t-distribution

1、概念(适用于3 2未知)

【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知，但总体方差是未知

的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n的正态分布。由于在实际工作中，往往a是未知的，常用S作为a的估计值，为了与U变

换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布（U变换指把变量转换为标准正态分布）

【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是

样本均值的方差。不同

2、特点

1）与标准正态分布曲线相比，自由度v越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度V=x时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

定理三：设XI，X2, X3. 00 Xn是来自正态总体N（u，3 2）的样本，则有样本均值X〜N（u，3 2/n ），S为样本方差

【注意】S是样本方差。中心极限定理说的是样本均

值的方差。

八、F分布

F-distributio n

1、概念

F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布

2、特点

（1）它是一种非对称分布；

（2）它有两个自由度，即n1 -1和n2-1，相应的分布记为F （n1 - 1,

n2-1 ）, n1 - 1通常称为分子自由度，n2-1通常称为分母自由度;

（3）F分布是一个以自由度m 和为参数的分布族, 不同的自由度决定了F分布的形状。

F 二L

（4）F分布的倒数性质：''' 》：•打丨・

（5）残差平方和之比通常与F分布有关。

九、逻辑分布logistic （分类评定模型）一一最早应用最广的离散选择模型

1、概念

2、特点

用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。

Logistic 分布由尺度和位置参数描述。Logistic 分布没有形状参数，也就是说其概率密度函数只有一个形状。

下列图形显示了不同参数值对Logistic 分布的效应。

尺度参数的效应位置参数的效应

Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似，但Logistic 分布的尾部更长。

十、伽马分布

1、概念- 伽玛分布（Gamma Distribution ）是统计学的一种连续概率函数。Gammas布中的参数a称为形状参数（shape parameter ）, p称为尺度参数（scale parameter ）。

假设随机变量X为等到第a件事发生所需之等候时间，密度函数为

特征函数为伽马分布的可加性

当两随机变量服从Gamm分布，且单位时间内频率相同时，Gamma