布莱克-舒尔斯期权定价模型

二、布朗运动
（一）标准布朗运动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z 在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具 有两种特征： 特征1： z 和 t 的关系满足（6.1）： z t （6.1） 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式 （6.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ： （6.22） r (T t ) p Xe N ( d 2 ) SN ( d 1 ) 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平 价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差 分三种数值方法以及解析近似方法求出。
S t 2 S
2
S
f (
f S
S
f t

1 f 2 S
2
S )t
2 2
f S
S （6.14） z
为了消除 z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： f (6.15) f S
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dS Sdt Sdz
则：
S St Sz
（6.12）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则： 2 f f 1 f f 2 2 （6.13） df ( S S ) dt Sdz 2
2
Baidu Nhomakorabea
2
2
) dt dz
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln S T ln S ~ [(

2
2
)( T t ),
T t]
例6.2
设A股票价格的当前值为50元,预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
第三节 布莱克——舒尔斯期权定价公 式的实证研究和应用
一、布莱克——舒尔斯期权定价公式实 证研究 布莱克—舒尔斯期权定价公式倾向于高 估方差高的期权，低估方差低的期权； 高估实值期权的价格，低估虚值期权的 价格。
造成用布莱克——舒尔斯期权定价公式 估计的期权价格与市场价格存在差异的 原因主要有以下几个： 1. 计算错误； 2. 期权市场价格偏离均衡； 3. 使用的错误的参数； 4、 布莱克——舒尔斯期权定价公式建 立在众多假定的基础上。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随 时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格 的概率分布只取决于该证券现在的价格。
2 2 2
dG (
G S
S
G t

1 G
2
2 S
2
S ) dt
2 2
G S
Sdz
(6.10)
六、证券价格自然对数变化过程
令 G ln S ，由于 代入式（6.10）:
dG (
G 1 G 1 G , 2 , 0 2 S S S S t
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 2 2 方差率为 的伊藤过程来表示： S dS Sdt Sdz 两边同除以S得：
dS S dt dz
（6.6）
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为：
S S
S S
t
对于欧式期货期权，其定价公式为： r (T t ) c e [ FN ( d 1 ) XN ( d 2 )] （6.23） r (T t ) p e [ XN ( d 2 ) FN ( d 1 )] （6.24） 其中：
d1 d2 ln( F / X )
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为 b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4） dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的 函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程 （Ito Process）： dx a ( x , t ) dt b ( x , t ) dz (6.5） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
（二）有收益资产美式期权的定价
1．美式看涨期权 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有 提前执行的可能，我们可用一种近似处理 的方法。该方法是先确定提前执行美式看 涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期 权处理；若在tn提前执行有可能是合理的， 则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧 式看涨期权的价格，然后将二者之中的较 大者作为美式期权的价格。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么 所有现金流量都可以通过无风险利率进 行贴现求得现值。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱 克——舒尔斯微分方程而作出的人为假 定，但通过这种假定所获得的结论不仅 适用于投资者风险中性情况，也适用于 投资者厌恶风险的所有情况。
例子
假设一种不支付红利股票目前的市价为 10元，我们知道在3个月后，该股票价格 要么是11元，要么是9元。现在我们要找 出一份3个月期协议价格为10.5元的该股 票欧式看涨期权的价值。 该看涨期权的价值应为0.31元
例6.5
假设一种1年期的美式股票看涨期权，标 的股票在5个月和11个月后各有一个除权 日，每个除权日的红利期望值为1.0元， 标的股票当前的市价为50元，期权协议 价格为50元，标的股票波动率为每年 30%，无风险连续复利年利率为10%， 求该期权的价值。 近似为7.2824元
2．美式看跌期权
由于收益虽然使美式看跌期权提前执行 的可能性减小，但仍不排除提前执行的 可能性，因此有收益美式看跌期权的价 值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通 过较复杂的数值方法来求出。
标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔， t 和 z 的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： z (T ) z ( 0 ) t （6.2） 当0时，我们就可以得到极限的标准布 朗运动： dz dt （6.3）
N i i 1
二、布莱克——舒尔斯期权定价 公式的应用
（一）评估组合保险成本 （二）给可转换债券定价：可转换债券 是一种可由债券持有者转换成股票的债 券，因此可转换债券相当于一份普通的 公司债券和一份看涨期权的组合。 （三）为认股权证估值：认股权证相当 于一份看涨期权
( f t 1 f
2
f
S
2 S
2
S ) t r ( f
2 2
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
f t rS f S 1 2
S
2
2
f
2
S
2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
第八章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节
证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。
T t
d1
T t
其次， N ( d 1 )是复制交易策略中股票的数量，SN （d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交 易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可 以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-ornoting call option）多头和现金或无价值看涨期 权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资 产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X 份现金或无价值看涨期权空头的价值。
T
其中，
d1 d2
ln( S / X ) ( r
2
/ 2 )( T t ) / 2 )( T t )

T t
2
ln( S / X ) ( r
我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义： 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率， 或者说式欧式看涨期权被执行的概率， e-r(Tt)XN(d )是X的风险中性期望值的现值。 SN(d )= 2 1 -r(T-t)S N(d )是S 的风险中性期望值的现值。 e T 1 T
2
2 (T t )

T t
2
ln( F / X )
2 (T t )
T t
d1
T t
例6.4
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美 国的无风险连续复利年利率为7%，英国 的无风险连续复利年利率为10%，英镑 汇率遵循几何布朗运动，其波动率为 10%，求6个月期协议价格为$1.5000的 英镑欧式看涨期权价格。 3.05美分 。
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 E [max( S X , 0 )] （T时刻）的期望值为： r (T t ) 其现值为 c e （6.19） E [max( S T X , 0 )] 对数股票价格的分布为： 2 ln S T ~ [ln S ( r )( T t ), T t（6.20） ] 2 对式（6.19）求解： r (T t ) c SN ( d 1 ) Xe N (d 2 ) （6.21）
t
可见， 也具有正态分布特征
S S ~ ( t , t )
(6.7)
例6.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： G G 1 G G dG ( a b ) dt bdz （6.8） x t 2 x x 由于 dS Sdt Sdz （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
S
在 t 时间后：
f
（6.16） S 将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可 2 得： f 1 f 2 2 ( S )t 2 （6.17） t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t 把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
三、有收益资产的期权定价公式
（一）有收益资产欧式期权的定价公式 当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用 （S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收 益率q（单位为年）时，我们只要将 q (T t ) 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付 Se 连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的 价格。