第六章 静定结构位移计算习题解答

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。 解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)

N

(d )(c)题6-1

（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P i

AB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EA

ϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）

（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()

(72i P i AC i i

P a P a N N l

P

a a E A EA EA EA

ϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==

+⨯=∑（↺）

故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：

8(7(10.414AB AC P P P P

EA EA EA EA

ϕϕϕ+-=-=

-==-（夹角减小）

6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。只计弯曲变形。EI 为常数。 方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：

sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr

（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：

[]1

cos )(0)2211cos()cos )()222

i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r

(a)

题6-2

（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。 2

02

3322

0022

311

cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V P

k Pr Pr M M ds rd rd EI

EI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI π

ππππππππθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

=-∑⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320

211cos 2)cos cos 2)442Pr EI π

ππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣

⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

题6-2

(a)

203322003

320

1

sin )(Pr cos )

221sin )cos cos sin 2)2

1sin cos 2)42i V P k M M ds rd EI EI

Pr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI π

πππ

θθθ

θθθθθθθθ⋅-⋅∆===-⋅=-=-+=-↑∑⎰⎰⎰⎰（）

(r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。EI 为常数。

方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为：

()2

1

(0)2

M x qlx qx x l =--≤<

（2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x x

x l =-≤<

（3）积分法求梁自由端的竖向位移V

B ∆。

方法二：（图乘法）

6-4 求图示梁支座B 左右两侧截面的相对转角。EI =常数。

题6-4

M i (c)(b)M P

解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。 （2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。 （3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V

B ∆

223

121115()38224248i i

B y ql ql ql l l EI EI EI

ωϕ⋅==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-∑

（↺↻）

(b)

(a)

题6-3

2

023

03

340

1()()21)21111)3824l

i V P

B l l

x qlx qx M

M dx dx

EI

EI

q lx x dx EI q ql lx x EI EI -⋅--⋅∆===⋅==

+=↓∑⎰⎰⎰

（）(+()↓题6-3

M i 图

M P (a)

(b)(c)

6-5求图示悬臂梁的自由端的挠度。52

3.8410kN m EI =⨯⋅。

(a)

(c)(m)M i 图

(kN ·M P 图(b)

解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。 （2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。 （3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V

C ∆

35

11122112(404(84)480(84)(4044)(4102)22333365606560 5.6910(m) 5.69mm()33 3.8410

V i i

C y EI EI EI EI EI ω-⋅⎡⎤

∆==

⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦===⨯=↓⨯⨯∑

6-6 求简支梁中点K 的竖向位移。EI =常数。

M i

(b)M P

题6-6

4

解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。 （2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。 （3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移V

K ∆