创意平板折叠桌论文

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：数模教练组

日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌

摘要

本文对创意平板折叠桌的折叠过程进行研究，用数学模型描述折叠桌的相关设计参数及其动态变化，用非线性优化模型确定最优设计参数，并给出折叠桌设计的程序。

问题一中，要求桌腿开槽的长度和桌脚边缘线。在整个变化过程中所有桌腿都由钢筋相连，且各桌腿与桌面连接点的相对位置不变。根据几何关系，由折叠后钢筋的位置及每根桌腿的长度即可计算每个桌脚边缘的位置。求出桌脚边缘的参数方程即可描绘桌脚边缘线。在折叠过程中，以桌高为参数，就可以描绘动态变化过程。分析发现，铺展时钢筋位于开槽的顶部，折叠时则位于底部。因此可由初末两个状态的钢筋与桌脚边缘距离之差计算开槽长度。结果是，从外到桌脚槽宽依次为：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 （单位：cm）。

问题二只给定了桌面面积与桌高，需自主确定桌腿长与钢筋位置。本文从三个方面来决定桌子具体形状：是否节约材料、稳固性、加工难易。分析发现桌腿越长用材越多，但稳固性越好。而开槽长度越短则加工越容易。由力学分析得桌子受压后不会变形的前提是最中间桌腿与桌面的夹角小于90度，即向“凹”。为求得最优方案，本文采用非线性规划的方法，利用桌面面积和底面积建立目标函数，根据几何关系寻找约束条件，考虑实际赋予桌面与桌脚接触面积权值。用Lingo软件求得最优解。结果是桌脚接触面为正方形时达到最优。桌腿长度确定后，通过考察不同钢筋位置所形成的开槽长度来确定合适的钢筋位置。其中，槽长须为正且不超过相应的桌腿长。据此可以确定一个围，再根据槽长越短加工越易的原则确定最优钢筋位置。

问题三由用户自由选择桌高、桌面形状与桌角线大致形状。本文提供一种简单的思路使得能够尽量满足客户的任意组合。确定桌子形状后参照第二问的标准确定桌腿长与钢筋位置。本文的程序利用第一问描述的几何关系描绘图案并计算加工参数。在最后本文设计了椭圆型桌面及心形桌面的桌子并描绘折叠过程的示意图。

关键字：数学模型非线性规划加工参数边缘线设计优化

一、 问题的重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为50 1 3 20c c m cm m ⨯⨯，每根木条宽

2.5cm ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm 。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm ，桌面直径80cm 的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8动态变化过程的示意图。

二、问题分析

第一问所有参数都已给定，该问就变成了纯几何分析问题。首先注意到几个特征：桌腿的长度不变，桌腿与桌面连接处不变，同侧所有桌腿由不可弯曲的钢筋连接，平铺时所有桌脚成一条直线。对于桌子折叠时的静止状态，每一根桌腿可看作是最外侧桌腿沿钢筋平行旋转而成。

建立空间直角坐标系，根据桌腿与桌面及钢筋接触的两点可确定桌腿的直线方程，再由每根桌腿的长度即可确定桌脚的坐标，依次连接即成桌脚线。对于桌腿开槽长度，分析发现桌子平铺时钢筋位于槽靠近桌面的顶端，而折叠时位于靠近桌脚的顶端。由此，计算两个状态下钢筋与桌脚距离之差即可得每根桌腿开槽长度。对于桌子折叠的过程，取桌面离地面高度为变量，每确定一个桌高即用上述方法进行分析计算。由此可得到桌子在折叠过程中各参数的变化。

问题二给定了桌面面积与桌高，需要确定的是腿长与钢筋位置。由此可确定第二问是一个求最优解的问题。制作桌子要考虑三方面因素：是否节省材料、稳固性、加工难