数学建模 创意平板折叠桌

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解。

对问题一，依据题目中的数据应用Matlab 和SolidWorks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析，然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型，应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿的力为零。

假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析，桌腿只在两个端点处受力，是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α。

根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高70 cm ，桌面直径80 cm 时，解得木板长a =167.416cm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发，给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用SolidWorks 设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，见图6～图12。

关键字：立体几何图形 动态模拟 自锁 SolidWorks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

（附件：视频）二、基本假设1、假设折叠桌木条间没有空隙，且木条间的摩擦不计。

2、假设折叠桌木材质量可靠，在受力状态下不会形变。

3、假设桌子各部分间衔接良好。

4、假设折叠桌的木条的宽度和折叠桌平板的厚度不变。

三、符号说明1、r表示圆桌的直径x圆桌上第i根木条的长度2、ip第i根桌腿的长度3、ic第i根桌腿的槽长4、i四、模型的建立与求解问题一1、问题的分析问题一中给出了长方形平板的尺寸为120cm×50cm×3cm，并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53 cm（看做桌子上表面与地面的距离），以及每根木条宽 2.5 cm。

因此我们首先依据该尺寸，应用Matlab 和SolidWorks 2008软件在计算机上模拟出该折叠桌的实物，并制作出了一小段动画如图1和动画演示视频（见附件）。

图1在此基础上，我们根据折叠桌模型的制作，对该折叠桌进行数学图形的转化，对实物图进行抽象，如图2，在根据题目中所给的数据进行计算。

①将桌腿看做没有宽的线②根据实际将线设定宽度⇒③将木条折叠图22、模型的建立（抽象立体图解模型）图3在图3中有，1r ()2OR id d =-- ①其中i 表示第i 根木条。

根据勾股定理可以得到i AR x ==②所以可以得到桌子的每根腿的长度为2m a p RD AR =-=-③图4在图4中，当折叠桌的桌腿运动变化时，折叠桌最外侧两条腿AG 、DJ 与钢筋BC ，铰链A 、D 连线所形成的面始终是平面，且ABCD 为矩形。

作如图辅助线有，MQHR 在yOz 面内，ANPU 垂直于地面，MNPQ 为地面（G 、J 在地面上），BS ⊥MR 交AN 于K ，FL ⊥HQ 交EL 于L ，NAG α=∠,则有1cos cos AN sNAG AG p α=∠== ④ 在Rt ABK 中，由勾股定理可得1L =， ⑤其中，S AK 21=，1BK BS SK h x =-=-， 从而我们可以得到h 的值（钢筋在最外侧位置到yOz 面的距离）。

在Rt EFL 中，由勾股定理可得222EF EL FL =+，即2221()()2ii L s h x =+- ⑥从而我们可以得到i L 的值（槽的靠近桌腿端与圆桌面边缘的距离EF ）。

进而由上述式子，我们可以得到槽长11()i i i C L x x L =+-+ ⑦在图4中，建立如图所示坐标系，设第i 根木条的中心线与圆桌边缘的交点E(,,0i i x y ),则F 点坐标为1111(sin ,,cos )L x y L αα+-11sin h L x α=+其中,，所以EF 的方向向量1(,0,cos )(,0,)i EF h x L m n α=--=.则EF 上任意一点T 的坐标0i i x x y y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩⑧ 其中，t 为参数，t 表示该点T 到圆桌边缘E 点的距离。

当2i at x =-时，即可以得到桌面边缘线方程。

3、模型的求解应用上述模型，我们代入数据：长方形平板的尺寸为120cm ×50cm ×3cm ，并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53 cm ，以及每根木条宽2.5 cm 。

将a =1200mm ，r =500mm, d =25mm 代入式②和③可得：当i =1,2,…，10时，AR 长度m x ，折叠桌的桌腿m p 的值如表1：表1因为折叠桌的桌面的底面到地面的距离s=53-3=50mm ，可由1cos sp α=得：折叠桌最外边缘木条与竖直面的夹角16.67α=同时联立⑤⑥⑦可得，折叠桌各木条的槽长i C ，如表2所示：表2 折叠桌各木条的槽长i C （i =1表示桌腿在最外端，i =10表示桌腿在最内端）令2m i at p x ==-，可得折叠桌的桌脚边线的方程为： x z ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩（Ⅰ） 通过Matlab 软件的plot 语句，可得桌面边缘线图形，如图5：图5问题二 1、问题的分析先对边缘桌脚进行受力分析:假设桌子整体重力为mg ，则N F =4mg，桌腿保持稳定时，tan =N N F F μαμ=。

假设折叠桌放置木板地面上，经查资料可知，木头与木头之间的摩擦因数μ的取值范围在0.4—0.6之间，考虑到桌子的必须保持稳固，取=0.4μ，得到=21.8α。

由此可知，当折叠桌保持稳定时，边缘桌腿与竖直方向的夹角取值范围是021.8α≤≤。

题中要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

当α较小时，在同一侧的边缘桌脚距离小，折叠桌不稳定，因此给出折叠桌的安全因数 1.2s n =，1tan =1.23μα=，得到=18.44α 2、模型的建立与求解折叠桌的稳固性好，要求021.8α≤≤，加工方便，需要木条的槽长之和最短，用材最少，则材料面积小。

因此考虑多目标规划问题中的加权系数法。

α为参变量，木条的槽长之和最短inM 1ni i c =∑，材料长度最小（宽度为D ，已知）in M a 为优化目标，但是在赋权时，权值分别为0-0.7 与1-0.3时，最优解不变，当权值为0.8和0.2时，最优解发生突变，因此，加权系数法无法解决折叠桌的设计问题。

因此我们转而考虑当=18.44α，折叠桌最稳固时，求各个加工参数的值。

桌面高度已知，桌面直径已知，=18.44α，加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到：优化目标为：Min 1ni i c =∑约束条件为：（1）圆桌上第i 根木条的长度与第i 根桌腿的长度和为木板总长度的二分之一：2i i a p x +=（2）边缘桌腿与竖直方向的夹角为α：1cos sp α= （3） 第i 条桌腿的槽长i c 等于折叠桌折叠成桌后钢筋的位置减去折叠桌平铺状态时钢筋时的位置：()()11=i i i x L x L c +-+（4） 对在圆桌上第i 根木条应用勾股定理得：()22212i i x h s L ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（5）由之前的条件可知：111sin =1cos =2L x hL sαα⨯+⨯ ()22212i d R R i d x ⎡⎤----=⎢⎥⎣⎦（6）为了使折叠桌折叠成桌后美观，钢筋在桌面的投影所在直线要与圆形桌面相交：1x h R <<（7） 折叠桌在折叠过程中，钢筋的位置条件需满足：112aR L x <+<（8）每根木条槽长需要满足的条件为：()1102i ac x L <<-+即： Min1ni i c =∑()()()()()111222111222111112cos =12sin =..1cos =212202i i i i i ii i i a p x s p x L x L c x h s L L x h s t L sd R R i d x x h R a R L x a c x L ααα⎧+=⎪⎪⎪=⎪⎪+-+⎪⎪⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎪⨯+⎪⎪⎨⨯⎪⎪⎪⎡⎤----=⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪<<⎪⎪<+<⎪⎪⎪<<-+⎪⎩ 考虑到木料切割加工的方便程度以及视觉上的美观性，我们令桌腿的宽度d =2.5cm 。

又已知，当桌高70 cm ，桌面直径80 cm ，将H =70，D =80，d =2.5cm 代入约束条件，用Lingo 求解，得到的解如下：木板长a =167.4156cm; 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.131562aL x -+cm. 每个木条的槽长分别是：（i =1表示桌腿在最外端，i =16表示桌腿在最内端）表3表4 每根桌腿的长度分别是：（i=1表示桌腿在最外端，i=10表示桌腿在最内端）问题三1、软件设计模型的建立题目要根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。